2024学年第一学期江浙皖高中（县中）发展共同体高三年级10月联考数学参考答案一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.）1.【答案】C【解析】由题设得：A＝{－1，5}，B＝{1，5}，所以A∪B＝{－1，1，5}，故答案选C2.【答案】Az＋1【解析】由＝1＋i，得z＝1－2i，故z的虚部是－2.z－13.【答案】Bx＋y220＋x＋y＋280x＋y【解析】设另两位学生的成绩为x，y，则＝，得＝250，故答案选B.2424.【答案】C.4sinα＝52sinα＋cosα＝124【解析】由题设可知，α∈(0，π)，3，所以sin2α＝2sinαcosα＝－.sin2α＋cos2α＝1cosα＝－2555.【答案】A【解析】＝－＝－＝.VABC1DV柱4VA1－ABD3624126.【答案】B.2x2222【解析】法一：F1(－22，0),设直线AB方程为：y＝k(x＋22)，代入＋y＝1整理得：(9k＋1)x＋362kx923π5π1＋72k－9＝0，由弦长公式及|AB|＝2得k＝±，故直线AB的倾斜角为或，所以S△FAB＝×|AB|3662211×|F1F2|sin∠AF1F2＝×2×42×＝22.222法二：设|AF1|＝x，∠AF1F2＝α，则|AF2|＝6－x，|F1F2|＝42，由余弦定理得：x＋32－2×42×x×21112cosα＝(6－x)，化简得：x＝，即|AF1|＝，同理可得：|BF1|＝，|AF1|3－22cosα3－22cosα3＋22cosα113π5π11＋|BF1|＝|AB|＝2，＋＝2，解得cosα＝±,所以α＝或，sinα＝，S△FAB＝×3－22cosα3＋22cosα266222|AB|×|F1F2|sinα＝22.7.【答案】D【解析】不妨设c＝(2，0)，则可设a＝(1，t)，b＝(2cosθ＋8，2sinθ)，则|a－b|＝(2cosθ－7)2＋(2sinθ－t)2≥|2cosθ－7|≥5.当a＝(1，0)，b＝(6，0)，|a－b|＝5.8.【答案】A【解析】由3x≥f(x＋3)－f(x－3)＝f(x＋3)－f(x＋1)＋f(x＋1)－f(x－1)＋f(x－1)－f(x－3)≥(x＋2)＋x＋(x－2)≥3x，所以f(x＋1)－f(x－1)＝x,即f(x＋2)－f(x)＝x＋1,所以f(51)＝f(51)－f(49)＋f(49)－f(47)＋…＋f(3)－f(1)＋f(1)＝2(50＋48＋…＋2)＋1＝651.高三数学参考答案（第1页共6页）{#{QQABIQAQggAIAIBAAAgCUwUICEOQkBAACQgOAFAIIAABCAFABAA=}#}二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.）9.【答案】BC1127【解析】由题设可知，随机变量Y~N(15，)，故标准差为，答案A错误，答案B正确；P(≤Y4222712733112733≤16)＝1－P(Y＜)－P(Y＞16)＝1－（1－P(≤Y≤)）－(1－P(14≤Y≤16)）)＝[P(≤Y≤)＋2222222211P(14≤Y≤16)]＝(0.9545＋0.9973)＝0.9759，答案C正确；P(Y＜14)＝（1－0.9545）＝0.02775，答案22D错误.10.【答案】AC【解析】因为f′(x)＝xsinx＞0，x∈(0，π)，所以f(x)在(0，π)上单调递增，答案A正确；当x∈(－π，0)时，f′(x)＝xsinx＞0，所以x＝0不是f(x)的极值点，答案B错误；当x∈(－2π，－π)时，f′(x)＜0，f(x)在(－2π，－π)上单调递减，当x∈(－π，π)时，f′(x)＞0，f(x)在(－π，π)上单调递增，当x∈(π，2π)时，f′(x)＜0，f(x)在(π，2π)上单调递减.又因为f(－2π)＞0，f(－π)＜0，f(π)＞0，f(2π)＜0，所以f(x)在(－2π，2π)上有3个零点，答案C正确；当x＝π＋2kπ，k∈Z时，f(π＋2kπ)＝π＋2kπ，所以f(x)不是周期函数，答案D错误.11.【答案】ABD→→→【解析】由题设可知F(1，0)，FA＋FB＋FC＝(x1－1，y1)＋(x2－1，y2)＋(x3－1，y3)＝(x1＋x2＋x3－3，＋＋，，所以＋＋且＋＋故正确；2＋2≤2＋2所y1y2y3)＝(00)x1x2x3＝3，y1y2y3＝0，Ay1＝(y2y3)2(y2y3)，以，x1≤2(x2＋x3)＝2(3－x1)x1≤2，同理可得，x2≤2，x3≤2，故B正确；不妨设y1≥0，y2≥0，y3＜0，则y1＝2x1，y2＝2x2，y3＝－2x3，代入y1＋y2＋y3＝0，得2x1＋2x2－2x3＝0，所以x1＋x1＋x2＋x3＝3，322222x2＝x3，故C不正确；由x1x2＝(x1＋x2－)，x＋x＋x＝(x1＋x2＋x3)－2(x1x2x1＋x2＝x3，2123322＋x2x3＋x3x1)＝9－2x1x2－2x3(x1＋x2)＝9－2(x1＋x2－)－2[3－(x1＋x2)](x1＋x2)＝9－2(x1＋x2)＋6(x12929＋x2)－－6(x1＋x2)＋2(x1＋x2)＝，故D正确.22三、填空题（本题共3小题，每5分，共15分.）12.【答案】－3r【解析】设r＋1项为x2项，则5－r－＝2，解得r＝2，其系数为C2a3＝－270，故a＝－3.25313.【答案】2561【解析】甲最终以4比2获胜，即甲在第2，3，4，5局比赛中胜3局，且第6局获胜，其概率为：C3()344×3＝3425614.【答案】390n11n212122【解析】an＝k，则∈(k－，k+)，∈(k－k＋，k+k＋)，n∈[3k－3k+1，3k＋3k]，故有6k322344个n，使an＝k，所以a1＋a2＋…＋a100＝6×1＋12×2＋18×3＋24×4＋30×5＋10×6＝390.高三数学参考答案（第2页共6页）{#{QQABIQAQggAIAIBAAAgCUwUICEOQkBAACQgOAFAIIAABCAFABAA=}#}四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．(本题满分13分）解：（1）因为a＋ccosB＝c＋bcosC，由余弦定理得：a2＋c2－b2a2＋b2－c2a＋c×＝c＋b×，2分2ac2aba2＋c2－b21整理得：＝，4分2ac2ππ又B∈(0，)，所以B＝.6分232（2）S△ABC＝2RsinAsinBsinC＝43sinAsinC7分2π＝43sinAsin(－A)331＝43sinA(cosA＋sinA)22311＝23(sin2A＋－cosA)222π＝23sin(2A－)＋3.10分6ππ因为△ABC是锐角三角形，所以＜A＜，62ππ5π1π所以，＜2A－＜，即＜sin(2A－)≤1，12分66626π所以23＜23sin(2A－)＋3≤33.13分616．(本题满分15分）（1）证明：设C1D的中点为F，过F作GG1∥AA1分别交AC，A1C1于G，G1，则G，G1分别为AC，A1C1的中点，2分1所以FG1＝A1D＝1，2由BB1＝AA1＝4，BE＝3B1E，得B1E＝1，即FG1＝B1E，又因为FG1∥B1E，所以四边形B1EFG1是平行四边形，所以EF∥B1G1，4分因为G1是A1C1的中点，△A1B1C1为正三角形，所以B1G1⊥A1C1，由正三棱柱的性质得,AA1⊥底面A1B1C1，且B1G1底面A1B1C1，所以B1G1⊥AA1，A1C1∩AA1＝A1所以B1G1⊥平面AA1C1C．6分又因为EF∥B1G1，所以EF⊥平面AA1C1C，EF平面C1DE，所以平面C1DE⊥平面AA1C1C．8分（2）以BC中点O为原点，OA，OC，OO1(O1为B1C1中点）分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角311坐标系O－xyz，则D(，0，2)，E(0，－，3)，C1(0，，4)，10分222易得平面ABC的一个法向量n1＝(0，0，1)，11分设向量n2＝(x，y，z)为平面C1DE一个法向量，→31→C1D＝(，－，－2)，C1E＝(0，－1，－1)，22→→31则由n2·C1D＝0，n2·C1E＝0，得x－y－2z＝0，y+z＝0，22高三数学参考答案（第3页共6页）{#{QQABIQAQggAIAIBAAAgCUwUICEOQkBAACQgOAFAIIAABCAFABAA=}#}令z＝1，得n2＝(3，－1，1)，13分设平面C1DE与平面ABC的夹角为θ，n1·n25则cosθ＝||＝．|n1|·|n2|55所以平面C1DE与平面ABC的夹角的余弦值为．15分517．(本题满分15分）解：（1）抛物线C的焦点F(2，0)．1分由题意可知，直线AB的斜率存在并设为k，故直线AB方程为：y＝k(x－2)，代入y2＝8x整理得：k2x2－4(k2＋2)x＋4k2＝0．3分4(k2＋2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，k24(k2＋2)8y1＋y2＝k(x1－2)＋k(x2－2)＝k(x1＋x2－4)＝k[－4]＝，k2k→→4(k2＋2)8OA+OB＝(x1＋x2，y1＋y2)＝(，)，5分k2k→→因为向量OA+OB与向量a＝(2，2)共线，2k2所以＝，解得k＝2，7分k2＋22故所求直线AB的方程为：2x－y－22＝0．8分22（2）不妨设A(2t1,4t1)，B(2t2,4t2)(t10,t20)，2当y0时，y22x，y'，x11从而点A处的切线斜率为k1，同理，k2，t1t2π22因为∠AOB＝，所以1，即t1t2411分2t1t211又点A处的切线方程为yx2t1，点B处的切线方程为yx2t2，t1t21y0x02t1t1设交点P的坐标为(x0,y0)，则，1y0x02t2t22从而t1和t2方程2ty0tx00的两个解x所以tt04，即x8，1220所以点P的轨迹方程为x8.15分高三数学参考答案（第4页共6页）{#{QQABIQAQggAIAIBAAAgCUwUICEOQkBAACQgOAFAIIAABCAFABAA=}#}18．(本题满分17分）aa－x解：（1）f(x)＝alnx－x－a的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－1＝．1分xx当a≤0时，x∈(0，＋∞)，f′(x)＜0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减；2分当a＞0时，x∈(0，a)，f′(x)＞0时，x∈(a，＋∞)时，f′(x)＜0，所以，f(x)在x∈(0，a)上单调递增，在(a，＋∞)上单调递减．3分（2）①因为x1，x2(x1＜x2)是f(x)的两个零点，由（1）可知a＞0，x1∈(0，a)，x2∈(a，＋∞)，2且fnax(x)＝alna－2a＞0，解得：a＞e．5分而当a＞e2时，f(1)＝－1－a＜0，f(a4)＝4alna－a4－a＜4a2－a4－a＜－a＜0，所以，f(x)有两个零点．故a的取值范围是(e2，＋∞)．7分②因为x1，x2(x1＜x2)是f(x)的两个零点，所以，alnx1－x1－a＝0－＝x2x1，分－－＝a9alnx2x2a0lnx2－lnx1－＋x2x1－x2x1x2＋x1lnx2－lnx12f′()＝，2x2＋x12令x2＝tx1，代入上式得：x2＋x12(t－1)－(t＋1)lntf′()＝(t＞1)．11分2(t＋1)lnt令g(t)＝2(t－1)－(t＋1)lnt(t＞1)，1111－tg′(t)＝1－－lnt，g′′(t)＝－＝＜0(t＞1)，13分tt2tt2所以g′(t)在(1，＋∞)上单调减，且g′(1)＝0，所以g′(t)＜0(t＞1)，所以g(t)在(