姓名座位号（在此卷上答题无效）绝密★启用前2024年“江南十校”新高三第一次综合素质检测数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号框。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将答题卡交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合Axlog2x2，Bxx4，ABA．(,4)B．(0,4)C．(4,4)D．(4,0)2．记等差数列an的前n项和为Sn，已知a3a68，则S8A．28B．30C．32D．3623．已知函数f(x)1，则对任意实数x，有2x1A．f(x)f(x)0B．f(x)f(x)0C．f(x)f(x)2D．f(x)f(x)21114．已知，都是锐角，cos，cos()，求cos7141395971A．B．C．D．29898985．已知12xn的展开式中各项系数的和为243，则该展开式中的x4项的系数为A．5B．16C．40D．80．已知正方体的棱长为，以顶点为球心，为半径作一个球，则球面6ABCDA1B1C1D13A2与正方体的表面相交所得到的曲线的长为35A．B．C．2D．22数学试题第1页（共4页）7．某次跳水比赛甲、乙、丙、丁、戊5名跳水运动员进入跳水比赛决赛，现采用抽签法决定决赛跳水顺序，在“运动员甲不是第一个出场，运动员乙不是最后一个出场”的前提下，“运动员丙第一个出场”的概率为3114A．B．C．D．13541318．对于x0，e2xlnx0恒成立，则正数的范围是11A．B．C．2eD．ee2e二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．设复数z在复平面内对应的点为Z，原点为O，i为虚数单位，则下列说法正确的是2A．zzzB．5i4iC．若z1，则z1或ziD．若1z2，则点Z的集合所构成的图形的面积为10．箱中装有5张相同的卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取两次，每次取1张卡片．A表示事件“第一次取出的卡片数字是奇数”，B表示事件“第二次取出的卡片数字是偶数”，C表示事件“两次取出的卡片数字之和是6”，则13A．P(AB)1B．P(BC)25C．A与B相互独立D．B与C相互独立11．定义：设f(x)是函数f(x)的导数，f(x)是函数f(x)的导数，若方程f(x)0有实数解x0，则称点(x0,f(x0))为函数yf(x)的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都5有“拐点”，且“拐点”就是三次函数图象的对称中心．已知函数f(x)ax3bx2，3(ab0)的对称中心为(1,1)，则下列说法中正确的有1A．a，b13121819B．f()f()f()f()的值是1910101010C．函数f(x)有三个零点1D．过(1,)只可以作两条直线与yf(x)图象相切3数学试题第2页（共4页）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．抛物线y2x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标为．13．已知样本x1,x2,,x6的平均数为3，方差为4，样本y1,y2,,y9的平均数为8，方差为2，则新样本x1,x2,,x6,y1,y2,,y9的方差为．1214．在△ABC中，ABCBACBCBC，则tan(BC)的最大值为．2四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（本小题满分13分）如图，一个质点在随机外力作用下，从原点O处出发，每次等可能地向左或者向右移动一个单位．（I）求质点移动5次后移动到1的位置的概率；（II）设移动5次中向右移动的次数为X，求X的分布列和期望．16．（本小题满分15分）如图，直角梯形ABCD中，AB//CD，ABBC，DAB60，ABAD4，等腰直角三角形ADE中，AEDE，且平面ADE平面ABC，平面ABE与平面CDE交于EF．（I）求证：CD//EF；（II）若CDEF，求二面角ABCF的余弦值．数学试题第3页（共4页）17．（本小题满分15分）已知a0，函数f(x)xexax．（I）证明f(x)存在唯一的极值点；（II）若存在a，使得f(x)b2a对任意xR成立，求实数b的取值范围．18．（本小题满分17分）已知圆M：(x1)2y216，动圆D过定点N(1,0)且与圆M内切，圆心D的轨迹为曲线C．（I）求曲线C的方程；（II）曲线C上三个不同的动点P，E，F满足PE与PF的倾斜角互补，且P不与曲线C的顶点重合，记P关于x轴的对称点为P，线段EF的中点为H，O为坐标原点，证明：P，H，O三点共线．19．（本小题满分17分）22设集合Maaxy,xZ,yZ．对于数列an，如果aiM，(i1,2,3...)，则称an为“平方差数列”．（）已知在数列中，，．求数列的通项公式，并证明数Iana13(n1)annan11an列an是“平方差数列”；n（II）已知bn2，判断bn是否为“平方差数列”？说明理由；（III）已知数列cn为“平方差数列”，求证：cicjM，(i,j1,2,3...)．数学试题第4页（共4页）