山东新高考联合质量测评１０月联考（Ｂ版）→３３槡３→→所以ＡＳ＝（０，，），ＡＣ＝（３槡３，３，０），ＡＤ＝（３槡３，－３，０），２２!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!１２分高三数学参考答案及评分标准２０２４１０烄→３３槡３ＡＳ·ｎ１＝ｙ１＋ｚ１＝０，设平面ＳＡＣ的一个法向量为ｎ１＝（ｘ１，ｙ１，ｚ１），则烅２２→·，１．Ｃ ２．Ａ ３．Ｂ ４．Ａ ５．Ｃ ６．Ｄ ７．Ｃ ８．Ｂ ９．ＡＤ １０．ＢＣ １１．ＡＣＤ 烆ＡＣｎ１＝３３槡ｘ１＋３ｙ１＝０令，得平面的一个法向量为（，，），!!!!!!!!!分１２．２ １３．槡２ １４．１６ｘ１＝１ＳＡＣｎ１＝１－槡３１１３设平面ＳＡＤ的一个法向量为ｎ２＝（ｘ２，２，ｚ２），ａ－１１８ｙ１５．解：（１）因为ｆ（）ｘ是偶函数，所以ｆ（１）＝ｆ（－１）＝－１－３＝３ａ－＝，３３３烄→３３槡３ＡＳ·ｎ２＝ｙ２＋ｚ２＝０，解得ａ＝１，!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!２分则烅２２→１ｘ烆ＡＤ·ｎ２＝３３槡ｘ２－３ｙ２＝０，所以当ｘ≤０时，ｆ（）ｘ＝ｘ－３，!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!３分３令ｘ２＝１，得平面ＳＡＤ的一个法向量为ｎ２＝（１，槡３，－１），!!!!!!!!!１４分１－ｘｘ－ｘ当ｘ＞０时，可得－ｘ＜０，则ｆ（）－ｘ＝－ｘ－３＝３－３＝ｆ（）ｘ，!!!!!４分｜ｎ１·ｎ２｜３３所以平面ＳＡＣ与平面ＳＡＤ所成角的余弦值为ｃｏｓθ＝＝．!!１５分｜ｎ１｜·｜ｎ２｜５３－ｘ－３ｘ，ｘ≤０，所以函数ｆ（）ｘ的解析式为ｆ（）ｘ＝!!!!!!!!!!!!５分１７．解：（１）由题意，ａ１＝ｂ１＝ｃ１＝１，｛３ｘ－３－ｘ，ｘ＞０．２５１（）存在数列｛｝ｂｎ为单调递增的等比数列，ｂ１＋ｂ１ｑ＝ｂ１ｑ，解得ｑ＝２或ｑ＝（）舍，２．２２７７所以ｎ－１，!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!分假设存在正实数ｍ，ｎ，使得当ｘ∈［］ｍ，ｎ时，函数ｆ（）ｘ的值域为５－ｍ，５－ｎ，ｂｎ＝２２［３３］ｘ－ｘｎ＋１ｎ－１ｃｎ＋１１１因为当ｘ＞０时，ｆ（ｘ）＝３－３，所以ｆ（ｘ）在ｘ∈［ｍ，ｎ］上单调递增，!!!!６分２ｃｎ＋１－２ｃｎ＝０，即＝，所以数列｛｝ｃｎ为等比数列，ｃｎ＝ｎ－１，!!!!４分ｃｎ４４烄７ｆ（ｍ）＝５－ｍ１３ａｎ＋ｃｎ＝ａｎ＋１即ａｎ＋１－ａｎ＝ｎ－１，所以烅，４７ｆ（ｎ）＝５－ｎ１１１７１烆３所以ｎ≥２时，由叠加法ａｎ＝ａ１＋１＋＋２＋…＋ｎ－２＝－ｎ－２，!!!!６分４４４３３×４７ｘ－ｘ７所以ｍ，ｎ为方程ｆ（ｘ）＝５－ｘ的两个根，即３－３＝５－ｘ的两个根，!!!８分当ｎ＝１时，ａ１＝１符合，３３ｘ２ｘｘｘ７１即（３）－５·３＋６＝０的两根，整理得３＝２或３＝３，!!!!!!!!!!１０分故ａｎ＝－ｎ－２．!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!７分３３×４解得ｘ＝ｌｏｇ３２或ｘ＝１，!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!１２分２２２（２）由Ｓｎ＝ｎ得，ｎ≥２时，ｂｎ＝ｎ－（）ｎ－１＝２ｎ－１，ｎ＝１时，ｂ１＝１满足上式，所以又０＜ｍ＜ｎ，所以ｍ＝ｌｏｇ３２，ｎ＝１，ｂｎ＝２ｎ－１，!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!９分７７所以存在ｍ＝ｌｏｇ３２，ｎ＝１，使得当ｘ∈［ｍ，ｎ］时，函数ｆ（ｘ）的值域为５－ｍ，５－ｎ．ｃｎ＋１２ｎ－１［３３］所以（）２ｎ＋３ｃｎ＋１－（）２ｎ－１ｃｎ＝０，即＝，ｃｎ２ｎ＋３!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!１３分１３５２ｎ－３３（）证明：取中点，连结，，则，，且，所以所以ｎ≥２时，由叠乘法ｃｎ＝ｃ１×××…×＝，１６．１ＳＡＥＢＥＣＥＳＡ⊥ＢＥＳＡ⊥ＣＥＢＥ∩ＣＥ＝ＥＳＡ（５７９２ｎ＋１）（）２ｎ－１（）２ｎ＋１⊥平面ＢＣＥ，所以ＳＡ⊥ＢＣ，!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!３分当ｎ＝１时，ｃ１＝１符合，因为且，所以平面!!!!!!!!!!!分ＢＣ⊥ＡＢＳＡ∩ＡＢ＝ＡＢＣ⊥ＳＡＢ．６３３１１所以ｃｎ＝＝－，!!!!!!!!!!!!１１分（２）解：取ＡＢ中点Ｏ，以ＯＳ为ｚ轴，ＯＢ为ｙ轴，过Ｏ平行ＢＣ的线为ｘ轴，建立如图（）２ｎ－１（）２ｎ＋１２（２ｎ－１２ｎ＋１）所示坐标系．因为ＡＤ＝ＣＤ＝６，可得ＢＣ＝３３槡，所以ＡＣ＝６，所３１１１１１３１３ｎＴｎ＝１－＋－＋…＋－＝１－＝，因以△ＡＣＤ为等边三角形，!!!!!!!!!!!!!８分２［］（３）（３５）（２ｎ－１２ｎ＋１）２（２ｎ＋１）２ｎ＋１３３槡３为Ｔｎ＋１－Ｔｎ＝ｃｎ＋１＝０，所以数列｛｝Ｔｎ单调递增，所以（）Ｔｎｍｉｎ＝Ｔ１由ＡＢ＝３，ＣＤ＝６，得以下点的坐标Ｏ（０，０，０），Ｓ０，０，，（）（）＞（２）２ｎ＋１２ｎ＋３，!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!分３３９＝ｃ１＝１１３Ａ０，－，０，Ｃ３槡３，，０，Ｄ３槡３，－，０，!!!１０分（）２（）２（）２ｍｍ因为对任意正整数ｎ均有Ｔｎ＞成立，所以＜１，解得ｍ＜２０２５，因为ｍ∈Ｎ，２０２５２０２５所以ｍｍａｘ＝２０２４，所以ｍ的最大值为２０２４．!!!!!!!!!!!!!!!１５分高三数学参考答案第１页（共４页）高三数学参考答案第 ２页（共４页）书１８．（１）证明：在△Ａ′ＣＤ内作Ａ′Ｏ′⊥ＣＤ于点Ｏ′，因为Ａ′－ＣＤ－Ｂ为直二面角，所以面２－槡２２－槡２２－槡２当０＜ｒ＜时，ｆ′（ｒ）＞０，ｆ（ｒ）单调递增，当＜ｒ＜时，ｆ′（ｒ）＜０，ｆ（ｒ）Ａ′ＣＤ⊥面ＢＣＤ，所以Ａ′Ｏ′⊥平面ＢＣＤ，!!!!!!!!!!!!!!!!２分３３２２ＣＥ２－２（２－２）π过Ｏ′作Ｏ′Ｅ⊥ＢＣ于点Ｅ，连接Ａ′Ｅ，所以Ａ′Ｅ⊥ＢＣ，所以ｃｏｓ∠Ａ′ＣＢ＝，单调递减，所以当ｒ＝槡时，圆柱体积的最大值为槡．!!!!!!１７分Ａ′Ｃ３２７Ｏ′ＣＣＥ３２ｃｏｓ∠Ａ′ＣＤ＝，ｃｏｓ∠ＢＣＤ＝，所以ｃｏｓ∠Ａ′ＣＢ＝ｃｏｓ∠Ａ′ＣＤｃｏｓ∠ＢＣＤ．１９．（１）解：ｇ（ｘ）＝ｆ（ｘ）＋７ｘ－＝３ｌｎｘ＋ａｘ＋ｘ＋３恰有一个不动点，Ａ′ＣＯ′Ｃ２!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!４分等价于方程ｇ（ｘ）＝ｘ在（０，＋∞）内只有一个根，π即３（１＋ｌｎｘ）＝－ａｘ２在（０，＋∞）内只有一个根，（２）解：①因为ＡＣ⊥ＢＣ，所以∠ＡＣＤ＝－∠ＢＣＤ，又∠Ａ′ＣＤ＝∠ＡＣＤ，所以ｃｏｓ２１＋ｌｎｘａ１＋ｌｎｘ等价于２＝－在（０，＋∞）内只有一个根，令ｈ（ｘ）＝２，π１πｘ３ｘ∠Ａ′ＣＢ＝ｃｏｓ∠ＢＣＤｃｏｓ（－∠ＢＣＤ）＝ｓｉｎ２∠ＢＣＤ，所以当∠ＢＣＤ＝时，∠Ａ′２２４１＋ｌｎｘａ等价于ｈ（ｘ）＝２与ｙ＝－有且仅有一个交点，!!!!!!!!!!!２分ＣＢ最小．!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!５分ｘ３１ｘ－２ｘ（１＋ｌｎｘ）－１－２ｌｎｘ－槡２（），（），２，过点Ａ作ＡＭ⊥ＣＤ，垂足为Ｍ，连接ＢＭ，在Ｒｔ△ＡＣＭ中，ＡＭ＝ＡＣ＝ｈ′ｘ＝４＝３ｈ′ｘ＝０ｘ＝ｅ２ｘｘ１１－－当ｘ∈（０，ｅ２）时，ｈ′（ｘ）＞０，ｈ（ｘ）在（０，ｅ２）上单调递增，２２２槡２１１１Ａ′Ｍ，ＣＭ＝ＡＣ，在△ＢＣＭ中，由余弦定理得ＢＭ＝ＢＣ＋ＡＣ－－２２当ｘ∈（ｅ２，＋∞）时，ｈ′（ｘ）＜０，ｈ（ｘ）在（ｅ２，＋∞）上单调递减，!!!!!!５分１－ｅ２２２１２所以（）（２），－２×槡ＡＣ槡ＢＣ＝ＢＣ＋ＡＣ－ＡＣＢＣ，!!!!!!!!６分ｈｘｍａｘ＝ｈｅ＝２２２２ａｅａ３因为ＡＭ⊥ＣＤ，所以Ａ′Ｍ⊥ＣＤ，因为面Ａ′ＣＤ⊥面ＢＣＤ，且面Ａ′ＣＤ∩面ＢＣＤ＝ＣＤ，所以－＝，或－≤０，即ａ＝－ｅ，或ａ≥０．!!!!!!!!!!!!!７分３２３２所以Ａ′Ｍ⊥面ＢＣＤ．又因为ＢＭ面ＢＣＤ，所以Ａ′Ｍ⊥ＢＭ．所以在Ｒｔ△Ａ′ＢＭ中，由（）证明：当３时，先证明当时，３（），２２２２２１２２ａ＝ｘ＞１ｌｎｘ＜ｘ－１勾股定理得Ａ′Ｂ＝ＢＭ＋ＡＭ，即Ａ′Ｂ＝ＢＣ＋ＡＣ－２２２３３１３２－３ｘ设ｎ（ｘ）＝ｌｎｘ－ｘ＋，ｎ′（ｘ）＝－＝０在（１，＋）上恒成立，所以１２２２２＜∞ＡＣＢＣ＋ＡＣ，所以Ａ′Ｂ＝ＢＣ＋ＡＣ－ＡＣＢＣ，!!!８分２２ｘ２２ｘ２ｎ（ｘ）在（１，＋∞）上单调递减，当ｘ＞１时，ｎ（ｘ）＜ｎ（１）＝０，因为为直角三角形，则有２２２，由均值不等式得２△ＡＢＣＡＢ＝ＡＣ＋ＢＣＡＣ＋３２２２即当ｘ＞１时，ｌｎｘ＜（ｘ－１），!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!９分ＢＣ≥２ＡＣＢＣ，当且仅当ＡＣ＝ＢＣ时取等号，所以Ａ′Ｂ＝ＡＢ－２２２２２２ＡＢＡＢ１ｘ３ｘｘＡＣＢＣ≥ＡＢ－＝．!!!!!!!!!!!!!!!!９分则当ｘ＞１时，ｌｎｘ＋＋－ｘ＜－，２２２４４４４１１１１ｘ２３由题知焦点Ｆ（０，），直线ＡＢ可设为ｙ－＝ｋｘ，即ｙ＝ｋｘ＋，设Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｌｎｘ＋＋２２２（）则２４４１（），即ｆｘ１（），２－１＜ｘ－１＜ｘ－１ｙ２），联立方程组消ｙ得ｘ－２ｋｘ－１＝０，所以ＡＢ＝ｙ１＋ｙ２＋１＝ｋ（ｘ１＋ｘ２）＋２＝ｘ４６ｘ４２（ａｎ）２２ＡＢ２２ｆ１１２（ｋ＋１），所以Ａ′Ｂ≥＝２（ｋ＋１），所以当ｋ＝０时Ａ′Ｂ取最小值，最小＜（ａｎ－１），ａｎ＋１－１＜（ａｎ－１），!!!!!!!!!!!!!!!!１１分２６ａｎ４４若ａｎ＞１，则ａｎ＋１＞１，因此，若存在正整数Ｎ，使得ａＮ≤１，则ａＮ－１≤１，从而ａＮ－２≤１，值为槡２．!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!１１分，３，，，２－槡２重复这一过程有限次后可得ａ１≤１与ａ１＝矛盾故ｎ∈Ｎａｎ＞１!!!１３分②由①知ＢＤ＝ＣＤ＝１＝Ａ′Ｄ，则三角形ＢＣＤ内切圆半径Ｒ＝，设圆柱底面半径２２由于，，所以，，故１，故１－ｈｒａｎ＞１ａｎ＋１＞１ａｎ－１＞０ａｎ＋１－１＞０ａｎ＋１－１＜ａｎ－１为ｒ，高为ｈ，则＝，则ｈ＝１－（２＋槡２）ｒ，!!!!!!!!!!!!１２分４１２－槡２１１１１１ｎ－１ａｎ－１＜ａｎ－１－１＜２ａｎ－２－１＜…＜ｎ－１ａ１－１＝，所以对任意ｎ２４４４２（４）２所以圆柱体积２２［（）］，!!!!!!!!!!!!!!分１１１１１１Ｖ＝πｒｈ＝πｒ１－２＋槡２ｒ１３∈Ｎ，｜ａ１－１｜＋｜ａ２－１｜＋…＋｜ａｎ－１｜＜＋×＋×＋…＋×２２４２（４）２２３２－槡２２令ｆ（ｒ）＝ｒ－（２＋槡２）ｒ（０＜ｒ＜），ｆ′（ｒ）＝２ｒ－３（２＋槡２）ｒ＝ｒ［２－３（２＋槡２）ｒ］１１２１－ｎ１ｎ－１２（４）２１２＝＝１－＜．!!!!!!!!!!!!!!!!１７分２－２（４）１３（４ｎ）３＝０，得ｒ＝槡，!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!１４分１－３４高三数学参考答案第３页（共４页）高三数学参考答案第 ４页（共４页）