2024—2025学年高三（上）质检联盟第一次月考数学注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．本试卷主要考试内容：集合、逻辑用语、不等式、函数、导数、概率统计、三角函数、平面向量。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，则（）A． B．C． D．2．曲线的一条对称轴的方程可以为（）A． B．C． D．3．已知向量不平行，向量与平行，则（）A． B． C． D．4．若，则（）A． B．C． D．5．若甲、乙、丙、丁四人同上一辆有12节车厢的动车，则这4人恰有3人上同一节车厢的概率为（）A． B． C． D．6．若函数在上单调递增，则的取值范围是（）A． B．C． D．7．已知函数对任意，都有的图象关于点对称，且，则（）A． B． C． D．8．已知函数，若关于的不等式有实数解，则的取值范围为（）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．某日，分针长为的时钟从走到，分针转动的弧度为，分针的针尖走过的弧长为，则（）A． B．C． D．10．已知一组数据为，其中，则（）A．这组数据的中位数不可能为3B．当这组数据的众数为1时，C．当时，这组数据的方差为1.25D．当这组数据的平均数为2.2时，的最小值为11．已知，则A． B． C． D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．若是定义在上的奇函数，当时，，则______．13．一质点沿着正西方向从点到达点，在点处测得点在其北偏西方向，且，则______．14．若函数的部分图象如图所示，且，则的最小正周期为______，在上的零点个数为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数的导函数为．（1）求函数的最小值；（2）求在上的单调区间与最值．16．（15分）在锐角中，内角所对的边分别为．（1）求；（2）若，求的周长．17．（15分）贵妃杏是河南省灵宝市黄河沿岸地区的一种水果，其果实个大似鹅蛋，外表呈橙黄色，阳面有晕．贵妃杏口感甜美，肉质实心鲜嫩多汁，营养丰富，是河南省的知名特产之一．已知该地区某种植园成熟的贵妃杏（按个计算）的质量（单位：克）服从正态分布，且．从该种植园成熟的贵妃杏中选取了10个，它们的质量（单位：克）为，这10个贵妃杏的平均质量恰等于克．（1）求．（2）求．（3）甲和乙都从该种植园成熟的贵妃杏中随机选取1个，若选取的贵妃杏的质量大于100克且不大于104克，则赠送1个贵妃杏；若选取的贵妃杏的质量大于104克，则赠送2个贵妃杏．记甲和乙获赠贵妃杏的总个数为，求的分布列与数学期望．18．（17分）已知函数．（1）若的终边经过点，求的值；（2）将的图象向左平移个单位长度后得到一个偶函数的图象，求的最小值；（3）若函数在上的最大值为整数，求的值．19．（17分）当一个函数值域内任意一个函数值都有且只有一个自变量与之对应时，可以把这个函数的函数值作为一个新的函数的自变量，而这个函数的自变量作为新的函数的函数值，我们称这两个函数互为反函数．例如，由，得，通常用表示自变量，则写成，我们称与互为反函数．已知函数与互为反函数，若两点在曲线上，两点在曲线上，以四点为顶点构成的四边形为矩形，且该矩形的其中一条边与直线垂直，则我们称这个矩形为与的“关联矩形”．（1）若函数，且点在曲线上．（i）求曲线在点处的切线方程；（ii）求以点为一个顶点的“关联矩形”的面积．（2）若函数，且与的“关联矩形”是正方形，记该“关联矩形”的面积为S．证明：．（参考数据：）2024—2025学年高三（上）质检联盟第一次月考数学参考答案1．C因为，所以．2．B令，得，所以曲线的一条对称轴的方程可以为．3．A因为向量与平行，所以．因为向量不平行，所以解得．4．D因为，所以，所以．5．A依题意可得这4人恰有3人上同一节车厢的概率为．6．D，依题意可得，当时，，则，所以．7．B（方法一）因为的图象关于点对称，所以，又，所以，所以是周期为的周期函数，所以（方法二）取满足题意，得．8．A令，则，则在上单调递增，因为，所以是奇函数．因为，所以等价于，则，所以，即，所以．9．AC因为分针是按照顺时针旋转的，所以转动的弧度为负数，所以10．BCD当时，这组数据的中位数为，A错误．当这组数据的众数为1时，若，则这组数据的众数为3，这与这组数据的众数为1矛盾，所以，B正确．当时，，C正确．当这组数据的平均数为2.2时，，则，当且仅当，即时，等号成立，D正确．11．ACD．令，则在上单调递减，所以，即．因为，所以．令，则在上单调递减，所以，即．12．2因为，所以．又，故．13．由题可知，在中，由余弦定理可得14．令，得，则．令，得，则．令，得，则．因为，所以，解得．所以的最小正周期为．当时，，令，得，所以在上的零点个数为350．15．解：（1），当且仅当，即，即时，等号成立，所以的最小值为．（2）令，得或．当时，的单调递减区间为．当或时，的单调递增区间为．因为，所以在上的最大值为5，最小值为-27．16．解：（1）因为，所以．因为，所以．因为为锐角，所以．（2）．在锐角中，，即，解得或．当时，为钝角，不符合题意．当时，经验证，符合题意．故的周长为．17．解：（1）．（2）因为，所以，所以．（3）设1人获赠贵妃杏的个数为，则．依题意可得的可能取值为，，，，，则的分布列为012340.250.30.290.120.04所以．18．解：（1）因为的终边经过点，所以，又，所以，所以．（2），则．将的图象向左平移个单位长度后得到的图象，依题意可得，则，因为，所以．（3）若，则，则．设，则．因为，所以为减函数，所以，又的最大值为整数，所以，即．19．（1）解：（i）因为点在曲线上，所以．由，得，则，则曲线在点处的切线方程为．（ii）由，得．根据对称性可设关于直线对称，可得，则．若，则直线的方程为，与曲线相切，不符合题意．若，则直线的方程为，联立方程组解得或（舍去），则，则该“关联矩形”的面积．（2）证明：由，得．显然，根据对称性可设关于直线对称，关于直线对称，且．设，其中，且．因为“关联矩形”是正方形，所以，．由，得．由，可得．令，则，则在上单调递增．由，可得．令，则，当时，单调递增，则从而．