绵阳南山中学集团学校高2022级10月联考数学参考答案一、单选题(本题共8小题,每小题5分,共40分.)DBDAABBC二、多选题(本题共3小题,每小题6分,共18分.)9.AD10.BC11.ACD三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分.)12.2n-113.114.126四、解答题(本题共5小题,共77分.)15.(1)应在A组抽取人,应在B组抽取人.(2)零假设为H0：选报奥数延时课与喜欢奥数无关联,根据列联表中的数据,经计算可得,根据小概率值α=0.005的独立性检验,我们推断零假设不成立,即认为选报奥数延时课与喜欢奥数有关联,此推断犯错误的概率不大于0.005.16.(1)由题意知ax3+bx2+cx+d=a(x-x1)(x-x2)(x-x3),展开得:ax3+bx2+cx+d=ax3-ax1+x2+x3x2+ax1x2+x2x3+x3x1x-ax1x2x3,比较系数得d=-ax1x2x3,即x1x2x3=-da.(2)令fm=fn=ft=s,则m,n,t是方程fx-s=0的三根,即为x3-6x2+9x+1-s=0的三个不等根,由上知mnt=s-1.f'x=3x2-12x+9=3(x-3)(x-1),于是fx在-∞,1上递增,在1,3上递减,在3,+∞上递增,且f0=f3=1,f1=f4=5,函数fx的大致图象如下:为使得y=fx与y=s有三个不同的交点,则s∈1,5,故mnt=s-1∈0,4.17.如下图所示,过C作CD⊥l1,过B作BE⊥l1,垂足分别为D、E.因∠CAF=α,且∠CAB=π3,所以0<α<2π3,∠BAE=2π3-α.在△ACD中,AC=3sinα,在△ABE中,AB=2sin2π3-α.(1)由△ABC是正三角形,则AC=AB,即3sinα=2sin2π3-α,3sin2π3-α=2sinα,332cosα=12sinα,得tanα=33,于是sinα=3327,所以边长AC=3sinα=2213.(2)由上知,S△ABC=12AB∙AC∙sinπ3=332∙1sinαsin2π3-α=332∙132sinαcosα+12sin2α.而32sinαcosα+12sin2α=34sin2α-14cos2α+14=12sin⁡(2α-π6)+14.因为0<α<2π3,所以-π6<2α-π6<7π6,所以当2α-π6=π2,即α=π3时,32sinαcosα+12sin2α取最大值34.从而α=π3时,S△ABC取最小值332∙43=23,故S△ABC的最小值为23.18.(1)f'x=24ax+4-1x=24ax2+4x-1x,由条件知f'x≤0x>0恒成立,即24ax2+4x-1≤0⇒24a≤(1x)2-4×1x=(1x-2)2-4,因为=(1x-2)2-4≥-4,所以24a≤-4,则a≤-16.(2)上述解答不正确.由条件知,gx=24ax2+4x-1在(0,1)上只有一个变号零点.当a=0时,gx=0得x=14∈0,1,且fx在(0,14)上是减函数,在(14,1)上是增函数,符合题意;当a>0时,为使gx在0,1上只有一个变号零点,则a>0g1≥0,解得a>0;当a<0时,为使gx在0,1上只有一个变号零点,则a<0g1≥0,解得-18≤a<0.综上,实数a取值的集合是[-18,+∞).(3)因为函数fx有两个极值点x1,x2,所以gx=24ax2+4x-1=0在(0,+∞)上的两个不等实根为x1,x2,于是△=16+96a>0-112a>0⇒-1614,于是fx1+fx2=1+8t-lnt.令ht=1+8t-lnt(t>14),h't=8-1t=8t-1t>0,所以ht=1+8t-lnt在(14,+∞)上是增函数,所以ht>h(14)=3+2ln2,即fx1+fx2>3+2ln2.19.(1)g(x)=ex-ax-1,则g'(x)=ex-a。①若a≤0,则g'(x)>0,g(x)在(-∞,+∞)上单调递增;②若a>0,令g'(x)=0,解得x=lna当x∈(-∞lna)时,g'(x)<0,g(x)单调递减,当x∈(lna,+∞)时,g'(x)>0,g(x)单调递增.综上,当a≤0时,g(x)的单调递增区间为(-∞,+∞);当a>0时,g(x)的单调递减区间为(-∞,lna),单调递增区间为(lna,+∞).(2)由题意易得曲线y=fx在点(n,fn)处的切线方程为y-en=en(x-n).设切线与x轴、y轴相交所得的横截距与纵截距分别为an,bn.则令y=0,解得an=n-1,令x=0,解得bn=-en(n-1).则所围成三角形的面积Sn=12anbn=12(n-1)2en则cn=Snn2=(n-1)2en2n2,lncn=ln(n-1)2en2n2=ln12+ln(n-1)2n2+lnen=2lnn-1n+n-ln2,i=2nlncn=i=2n2lnn-1n+n-ln2=i=2n2lnn-1n+i=2nn-i=2nln2=2ln1n+(2+n)(n-1)2-(n-1)ln2=n2+n-22-2lnn-(n-1)ln2.(3)fax≥sinx-cosx+2即,令,则,①当时,因为,所以,,令,则,则函数单调递增,且,即;由(1)可知当a=1时,g(x)≥g(0)=0,即fx≥x+1,所以,则,所以函数在上单调递增,且,即恒成立.②当时,,存在实数,使得均有,则函数在上单调递减,且,不符合题意,所以当时,不符合题意.综上,a的取值范围为.