2024学年第一学期丽水五校高中发展共同体10月联考高二年级数学学科试题考生须知：1．本卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。4．考试结束后，只需上交答题纸。选择题部分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知直线l过点A(1,0),B(2,3)，则直线l的倾斜角为（）25A．B．C．D．63362．已知直线l：mxy30和直线n：3m2xm2y10，则“m1”是“l∥n”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．已知a1,2,1,b2,2,0，则a在b方向上的投影向量的模长为（）3232A．6B．6C．D．2222224．圆C1：xy2x2y20与圆C2：xy4x2y10的公切线有且仅有（）A．1条B．2条C．3条D．4条5．正四棱锥PABCD中，PA2AB,E为PC的中点，则异面直线BE与AC所成角的余弦值为（）63226A．B．C．D．64436．已知点M4,2是直线l被椭圆x24y236所截得的线段AB的中点，则直线l的方程为（）A．2xy-80B．x2y-80C．x-2y-80D．2x-y-802π7．已知球O与正方体ABCDABCD的各个面相切，平面ACB1截球O所得的截面的面积为，则正方11113体棱长为（）31A．2B．1C．D．32x2y28．关于椭圆有如下结论：“过椭圆1ab0上一点Px0,y0作该椭圆的切线，切线方程为a2b2高二数学学科试题第1页(共4页)xxyyx2y2001.”设椭圆C：1ab0的左焦点为F，右顶点为A，过F且垂直于x轴的直线与Ca2b2a2b2的一个交点为M，过M作椭圆的切线l，若切线l与直线AM的倾斜角互补，则C的离心率为（）3121A．B．C．D．3322二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知空间中三点A(0，1，0)，B(1，2，0)，C(1，3，1)，则正确的有（）A．AB与AC是共线向量B．点C关于y轴的对称点的坐标是1，3，-13C．AB与BC夹角的余弦值是-62，2，D．与AB同向的单位向量是02210．已知线段AB是圆C:(x1)2(y3)24的一条动弦，G为弦AB的中点，AB23，直线l1:mxy3m10与直线l2:xmy3m10相交于点P，下列说法正确的是（）A．弦AB的中点轨迹是圆B．直线l1,l2分别过定点(0,1)和(-1,-3)22C．直线l1,l2的交点P在定圆xy4x2y0上D．线段PG的最小值为4-52211.已知椭圆：xy的左、右焦点分别为，过椭圆上一点和原点作直线交圆C1a2F1,F2CPOla23O：x2y2a26于M，N两点，下列结论正确的是（）A．实数a越小，椭圆C越圆2B．若PF1PF2，且OPPM，则e2C．若PF1PF26，则PMPN9D．当a2时，过F1的直线l1交C于A，B两点（点A在x轴的上方）且AF12F1B，则l1的斜率k5高二数学学科试题第2页(共4页)非选择题部分三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．如图，已知E，F分别为三棱锥DABC的棱AB,DC的中点，则直线DE与BF的位置关系是（填“平行”，“异面”，“相交”）．22．椭圆xy的左、右焦点分别为，点在椭圆上，如果的131F1,F2PPF143中点在y轴上，那么PF1是PF2的倍．14．已知圆M:x2y24x0,过圆M外点P向圆M引两条切线，（12题图）且切点分别为A,B两点，则PAPB最小值为．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．115．（满分13分）已知焦点在x轴上的椭圆C过点A0,3，离心率为，2（1）求椭圆C的方程；3313（2）斜率为的直线与曲线C相交于点D,E，弦长DE，求直线的方程．2216．（满分15分）已知圆M过点1，0，2，-1，5，-2三个点．（1）求圆M的标准方程；（2）已知ac2b,直线axbyc0与圆M相交于A,B两点，求AB的最小值．117．（满分15分）如图，在四棱锥PABCD中，BC平面PAB，AD//BC,ABADBC1，2πABP,E为PC的中点．2（1）证明：PC2DE；（2）若四棱锥PABCD的体积为1，求平面ADE与平面PCD夹角的余弦值．高二数学学科试题第3页(共4页)18．（满分17分）已知曲线M是平面内到1,0和1,0的距离之和为4的点的轨迹．（1）求曲线M的方程；（2）过点F(1,0)作斜率不为0的直线l交曲线M于A,B两点，交直线x4于点P，过点P作y轴的垂线，垂足为Q，直线AQ交x轴于C点，直线BQ交x轴于D点，求线段CD中点的坐标．19．（满分17分）如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧棱AA1底面ABCD，ABDC，AA11，AB3k，AD4k，BC5k，DC6k，（k0）（1）求证：CD平面ADD1A1；6（2）若直线AA与平面ABC所成角的正弦值为，求k的值；117（3）现将与四棱柱ABCDA1B1C1D1形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为fk，写出fk的解析式．（直接写出答案，不必说明理由）高二数学学科试题第4页(共4页)2024学年第一学期丽水五校高中发展共同体10月联考高二数学答案（2024.10）一、单项选择题BADBCBAD二、多项选择题9．BCD10．ACD11．ABC三、填空题512．异面13．14.82-123四、解答题b3c115.解：（1）由题意得得c23,a212.........3分a2222abcx2y2椭圆方程为1.....................................5分1293（2）设直线L：yxm,D(x,y),E(x,y)211223yxmx1x2m222联立整理得，2分223x3mxm90m9.....................................8xyx1x2131299m291336m2313DE1k2xx1m24()..................................10分1243232解得m3符合0.....................................12分3直线l方程为yx3,即3x2y60....................................13分216.解：（1）设圆的方程为x2y2DxEyF01DF0带入各点得：412DEF0D0,E4,F-1545D2EF0所求圆的一般方程为：x2y24y10标准方程为：x2(y2)25.........................................7分（2）把c2ba代入直线方程得：axby2ba0，所以直线过定点N1，-2.......................11分又MN15,所以定点N在圆内，..........................12分当时，分MNABABmin4.........................................1517.解：（1）解法一：因为BC平面PAB，且AB，PB平面PAB，π所以BCAB，BCPB，又ABP，即ABPB，2以BA,BP,BC分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz，1设PBt(t0)，由ABADBC1，E为PC的中点，2t得D1,0,1，P(0,t,0)，C0,0,2，E(0,,1)，2t所以PC(0,t,2)，DE(1,,0)，2222tt4所以PCt4，DE1，42所以PC2DE.........................................6分解法一：连接DB,得DB2，CD2,BC2,所以CDBD,又PBAB,PBCB,ABCBB,所以PB面CDB,PBCD,BDPBB,所以CD面PDB,所以CDPD,CDP为直角三角形，E为斜边上中点，则有PC2DE.................................6分（2）由四棱锥PABCD的体积为1解得PB2,可得A1,0,0，D1,0,1，E(0,1,1),P(0,2,0),C0,0,2，所以AD0,0,1，AE(1,1,1)，DC1,0,1，PC(0,2,2),DP(1,2,1)设平面ADE的法向量为m(x，y，z)，所以ADm0z0m(1,1,0)AEm0xyz0设平面PCD的一个法向量为na,b,c.PDn0x2yz0n(1,1,1)PCn02y2z0mn26所以cosm,n，mn2336所求角的余弦值为.............................................15分3x2y218.解：（1）由椭圆定义可知轨迹为椭圆，设曲线M的方程1(ab0)，a2b2则c1,2a4,a2,a24,b2413，x2y2曲线的M方程1；.............................................5分43（2）方法一：直线l的斜率存在且不为0，设直线l方程为ykx1k0，.................................6分x2y21联立43，整理得，ykx122223+4��−8��+4�−12=064k416(34k2)(k23)144k21440，8k24k212设Ax1,y1,Bx2,y2，则xx，xx，..........................................9分1234k21234k2直线l交直线x4于P4,3k，则Q0,3k，y3k1所以直线AQ的方程为yx3k，x10，x13kx3kx令y0，解得x1，则C1,0，..........................................10分3ky13ky1y3k2所以直线BQ的方程为yx3k，x20，x23kx3kx令y0，解得x2，则D2,0，..........................................11分3ky23ky23kxy3kxy3k3kxkx4xkx43kx13kx21221122123ky13ky2y13ky23kkx14x2416k24k21212