高三联考数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A.B.C.D.2.某同学记录了当地2月最后8天每天的最低气温（单位：），分别为，则该组数据的第60百分位数为（）A.6B.7C.8D.93.已知焦点在轴上的椭圆的焦距为2，则其离心率为（）A.B.C.D.4.已知，则（）A.B.C.D.5.已知圆台甲､乙的上底面半径均为，下底面半径均为，圆台甲､乙的母线长分别为，则圆台甲与乙的体积之比为（）A.B.C.D.6.已知平面向量均为非零向量，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.已知且，若函数的值域为，则的取值范围是（）A.B.C.D.8.已知函数的图象关于直线对称，则当时，曲线与的交点个数为（）A.3B.4C.5D.6二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数满足，则（）A.B.C.的虚部为8D.在复平面内对应的点位于第一象限10.已知是抛物线的焦点，是的准线，点是上一点且位于第一象限，直线与圆相切于点，点在线段上，过点作的垂线，垂足为，则（）A.B.直线的方程为C.D.的面积为11.已知奇函数的定义域为，其导函数为，若，且，则（）A.B.C.D.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知等比数列的公比不为1，且成等差数列，则数列的公比为__________.13.有红色､黄色2套卡片，每套3张，分别标有字母A，B，C，若从这6张卡片中随机抽取4张，这4张卡片的字母恰有两个是相同的，则不同的取法种数为__________.14.若直线与曲线有3个交点，则的取值范围为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）已知的内角的对边分别为，且.（1）求；（2）若，求.16.（15分）如图，在三棱柱中，为边长为的等边三角形，.（1）证明：.（2）求平面与平面夹角的余弦值.17.（15分）已知甲､乙两人参加某档知识竞赛节目，规则如下：甲､乙两人以抢答的方式答题，抢到并回答正确得1分，答错则对方得1分，甲､乙两人初始分均为0分，答题过程中当一人比另一人的得分多2分时，答题结束，且分高者获胜，若甲､乙两人总共答完5题时仍未分出胜负，则答题直接结束，且分高者获胜.已知甲､乙两人每次抢到题的概率都为，甲､乙两人答对每道题的概率分别为，每道题两人答对与否相互独立，且每题都有人抢答.（1）求第一题结束时甲获得1分的概率；（2）记表示知识竞赛结束时，甲､乙两人总共答题的数量，求的分布列与期望.18.（17分）已知是双曲线的一条渐近线，点在上.（1）求的方程.（2）已知直线的斜率存在且不经过原点，与交于两点，的中点在直线上.（i）证明：的斜率为定值.（ii）若的面积为，求的方程.19.（17分）定义：对于函数，若，则称“”为三角形函数.（1）已知函数，若为二次函数，且，写出一个，使得“”为三角形函数；（2）已知函数，若“”为三角形函数，求实数的取值范围；（3）若函数，证明：“”为三角形函数.（参考数据：）高三联考数学参考答案1.C，则.2.C将这8个数据从小到大排列为，因为，所以该组数据的第60百分位数为8.3.B因为椭圆的焦点在轴上，所以，故椭圆的离心率.4.C因为，且，所以，所以0.因为，所以.5.A圆台甲的高为，圆台乙的高为，所以.6.B由可得，平方可得，解得，所以反向.故“”是“”的必要不充分条件.7.B在上的值域为.因为函数的值域为，所以在上的值域包含，则，且，解得，所以的取值范围是.8.B由题可知，则，解得，所以.在坐标系中结合五点法画出与的图象，如图所示.由图可知，共有4个交点.9.ACD由题可知，则，的虚部为在复平面内对应的点为，位于第一象限.故选ACD.10.BC可化为，所以圆心，半径为.由题知焦点，准线为直线，A错误.易知直线的斜率存在，设直线的方程为，所以，解得.因为切点在线段上，所以，故直线的方程为，B正确.联立可得，所以或（舍去），，C正确.，D错误.11.AD因为，所以.令，则，所以的图象关于直线对称.因为与都为奇函数，所以也是奇函数，则是以4为周期的周期函数，所以.由，可得，所以，则，解得，A正确.，B错误.由，求导可得，所以，即.由，求导可得，所以，C错误.D正确.12.设等比数列的公比为，由成等差数列，得，整理得，则.13.12从这6张卡片中随机抽取4张，这4张卡片的字母恰有两个相同的情况共有3种，字母不相同的2张卡片均有2种选择，所以不同的取法种数为.14.由，可得，则在上单调递减，在上单调递增，且当时，.直线恒过点，当直线与曲线相切于点时，即.令，则，所以在上单调递增.因为，所以，结合图象（图略）可知，若直线与曲线有3个交点，则的取值范围为.15.解：（1）由正弦定理可得，所以，得.因为，所以.（2）由余弦定理可得，因为，所以，化简可得，则，所以.16.（1）证明：过作的垂线，垂足为，连接.因为为等边三角形，所以.因为，所以，则.又，所以平面，因为平面，所以.（2）解：由（1）可知，所以，故，所以两两垂直，则以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.，则.设平面的法向量为，则即令，得.设平面的法向量为，则即令，得.，所以平面与平面夹角的余弦值为.17.解：（1）第一题结束时甲获得1分的概率为.（2）由（1）知，在每道题的抢答中，甲､乙得1分的概率分别为，的可能取值为.，，，245.18.（1）解：因为是双曲线的一条渐近线，所以，因为点在上，所以，解得，即的方程为.（2）（i）证明：设，由得，由题意得.设中点的坐标为，则所以.因为的中点在直线上，所以，即，因为，所以.（ii）解：，点到的距离，所以，解得，所以的方程为.19.（1）解：由，可得，令，解得，令，解得，可知在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为.因为“”为三角形函数，所以.因为，所以的图象关于直线对称，又为二次函数，所以.（答案不唯一，只需满足，且即可）（2）解：.当，即时，，此时，满足，符合题意；当，即时，是上的减函数，所以的值域为，因为，所以，得；当，即时，是上的增函数，所以的值域为，因为，所以，得综上，实数的取值范围是.（3）证明：由题可知.设，则在上恒成立，所以在上单调递减.又，所以存在，使得，即①当时，，则在上单调递增；当时，，则在上单调递减.故当时，取得唯一极大值，也是最大值，令的最大值为，则.将①式代入上式，可得.令，则由，可知在上单调递增，所以成立.故“”为三角形函数.