南宁二中2024年11月高三月考数学（时间120分钟，共150分）一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若全集，集合，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据补集的定义可得，再由并集的定义求解即可.【详解】解：因为，，所以，所以.故选：A.2.已知复数是的共轭复数，则（）A.2 B.3 C. D.【答案】D【解析】【分析】由复数四则运算、共轭复数以及模的概念即可求解.【详解】.故选：D.3.已知双曲线的一条渐近线方程为，则（）A. B. C.3 D.【答案】C【解析】【详解】根据双曲线的方程写出渐近线方程，对照条件可求答案．【解答】解：因为双曲线为，所以它的渐近线方程为，因为有一条渐近线方程为，所以．故选：．4.已知实数，，满足，且，则下列说法正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据已知等式可确定，结合不等式性质和作差法依次判断各个选项即可.【详解】由题，，取，则，故A错误；，故B错误；，故D错误；因为，所以，即，故C正确.故选：C.5.天上有三颗星星，地上有四个孩子．每个孩子向一颗星星许愿，如果一颗星星只收到一个孩子的愿望，那么该愿望成真，若一颗星星收到至少两个孩子的愿望，那么向这颗星星许愿的所有孩子的愿望都无法成真，则至少有两个孩子愿望成真的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用古典概型的概率公式，结合排列组合知识求解．【详解】四个孩子向三颗星星许愿，一共有种可能的许愿方式.由于四个人选三颗星星，那么至少有一颗星星被两个人选，这两个人愿望无法实现，至多只能实现两个人的愿望，所以至少有两个孩子愿望成真，只能是有两颗星星各有一个人选，一颗星星有两个人选，可以先从四个孩子中选出两个孩子，让他们共同选一颗星星，其余两个人再选另外两颗星，有种情况，所以所求概率为.故选：C.6.已知，则（）A. B. C.1 D.3【答案】B【解析】【分析】由三角恒等变换可得，进一步由同角三角函数关系以及商数关系、二倍角公式化简求值即可.【详解】由，解得，故.故选：B.7.已知函数（）的零点在区间内，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】可将函数转化，令，结合构造函数法转化成直线与圆的位置关系进行求解即可【详解】由，令，，要使，（）的零点在区间内，即在内，与有交点，画出与图像，如图：当时，，此时；当时，，此时故故选C【点睛】本题考查根据函数零点区间求解参数问题，构造函数法求解参数，属于中档题8.已知函数在区间上是增函数，若函数在上的图象与直线有且仅有一个交点，则的范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】结合函数对称性，及在区间上的单调性，可知，又函数与直线交点的横坐标为，从而得，进而可求出的取值范围.【详解】因为函数的图象关于原点对称，并且在区间上是增函数，所以，所以，又，得，令，得，所以在上的图象与直线的第一个交点的横坐标为，第二个交点的横坐标为，所以，解得，综上所述，.故选：.【点睛】关键点点睛：关于三角函数中的取值范围问题，结合三角函数的单调性与最大（小）值列关于的不等式，从而求解即可.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.某科技攻关青年团队共有10人，其年龄（单位：岁）分布如下表所示，则这10个人年龄的（）年龄454036322928人数121321A.中位数是34 B.众数是32C.第25百分位数是29 D.平均数为34.3【答案】BCD【解析】【分析】根据给定数据，利用中位数、众数、百分位数、平均数的定义计算判断即可.【详解】把10个人的年龄由小到大排列为，这组数据的中位数为32，众数为32，A错误，B正确；由，得这组数据的第25百分位数是第3个数，为29，C正确；这组数据的平均数，D正确.故选：BCD10.如图所示，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，是正三角形，为线段的中点，点为底面内的动点：则下列结论正确的是（）A.若，平面平面B.若，直线与平面所成的角的正弦值为C.若直线和异面，点不可能为底面的中心D.若平面平面，且点为底面的中心，则【答案】ACD【解析】【分析】先证明平面，再利用面面垂直的判定定理，即可判断A，根据线面角的定义，结合垂直关系，构造线面角，即可判断B，根据三点所确定的平面，再结合异面直线的定义，即可判断C，根据几何关系计算和，即可判断D.【详解】对于A，因为，平面，所以平面，平面，所以平面平面，故A正确；对于B，设的中点为，连接，则.平面平面，平面平面平面.平面，又平面，则，设与平面所成角为，则，由，则，则，故B错误；对于C，连接，易知平面，由确定的面即为平面，当直线和异面时，若点为底面的中心，则，又平面，则平面，又平面，则平面，则与共面，矛盾，故C正确；对于D，结合选项A，B的推理知平面，又平面，则，同理可证,分别为的中点，则，又，故，，则，故D正确.故选：ACD.11.设定义在上的函数与的导函数分别为和.若，，且为奇函数，则下列说法中一定正确的是（）A.函数的图象关于点对称B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】由已知条件得到，结合，得，通过赋值求得，确定为周期函数，进而逐个判断即可.【详解】对于A，由为奇函数，得，即，因此函数的图象关于点对称，A正确；由，得，则，又，于是，令，得，即，则，因此函数是周期函数，周期为4，对于B，由，得，B正确；对于C，因为函数是周期函数，周期为4，显然函数是周期为4的周期函数，，，则C错误；对于D，，则，D正确.故选：ABD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知正三角形的边长为2，为中点，为边上任意一点，则______.【答案】3【解析】【分析】由已知可得，从而利用可求值.【详解】因为三角形是正三角形，为中点，所以，所以，又正三角形的边长为2，所以，所以.故答案为：.13.已知三棱锥，二面角的大小为，当三棱锥的体积取得最大值时，其外接球的表面积为______.【答案】【解析】【分析】利用已知条件得到要使棱锥体积最大，需保证到面的距离最大，，进而求棱锥外接球半径，即可得表面积.【详解】要使棱锥体积最大，需保证到面的距离最大，此时，又都在面上，故面，且故，设外接圆半径，则由余弦定理，所以，所以，即，所以，外接球半径，故其表面积为，故答案为：.14.拿破仑定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个正三角形，则这三个正三角形的中心恰为另一个正三角形的顶点.”利用该定理可为任意形状的市区科学地确定新的发展中心区位置，合理组织人流､物流，使城市土地的利用率，建筑的使用效率达到最佳，因而在城市建设规划中具有很好的应用价值.如图，设代表旧城区，新的城市发展中心，分别为正，正，正的中心､现已知，的面积为，则的面积为___________.【答案】【解析】【分析】连接，易得，进而得到，利用勾股定理得到，然后再利用余弦定理求得即可.【详解】如图所示：连接，由题意得：，又因为，所以，，解得，由勾股定理得，即，即，由余弦定理得，解得，所以三角形ABC的面积为，故答案为：【点睛】关键点点睛：本题关键是证得，再利用勾股定理和余弦定理求得而得解.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知等差数列{an}中，a5＝8，a10＝23．（1）令，证明：数列{bn}是等比数列；（2）求数列{nbn}的前n项和Sn．【答案】（1）见解析（2）Sn＝（n﹣1）•2n+1+2．【解析】【分析】（1）由题意可得an＝3n-7，则，即可得证；（2）由nbn＝n•2n利用错位相减法即可求得Sn，即可得解.【详解】（1）证明：设等差数列{an}的公差为d，∵a5＝8，a10＝23，∴a1+4d＝8，a1+9d＝23，联立解得：a1＝-4，d＝3，∴an＝-4+3（n﹣1）＝3n-7．∴，∴2．∴数列{bn}是等比数列，首项为2，公比为2．（2）nbn＝n•2n．∴数列{nbn}的前n项和Sn＝2+2×22+3×23+……+n•2n．∴2Sn＝22+2×23+……+（n﹣1）•2n+n•2n+1．∴两式相减得﹣Sn＝2+22+……+2n﹣n•2n+1n•2n+1．∴Sn＝（n﹣1）•2n+1+2．【点睛】本题考查了等差数列通项公式的应用和等比数列的证明，考查了错位相减法求数列前n项和的应用，属于基础题.16.米接力短跑作为田径运动的重要项目，展现了一个国家短跑运动的团体最高水平.每支队伍都有自己的一个或几个明星队员，现有一支米接力短跑队，张三是其队员之一，经统计该队伍在参加的所有比赛中，张三是否上场时该队伍是否取得第一名的情况如下表.如果依据小概率值的独立性检验，可以认为队伍是否取得第一名与张三是否上场有关，则认为张三是这支队伍的明星队员.张三是否上场队伍是否取得第一名的情况取得第一名未取得第一名上场1040未上场6合计24（1）完成列联表，并判断张三是否是这支队伍的明星队员.（2）米接力短跑分为一棒､二棒､三棒､四棒4个选手位置.张三可以作为一棒､二棒或四棒选手参加比赛.当他上场参加比赛时，他作为一棒､二棒､四棒选手参赛的概率分别为，相应队伍取得第一名的概率分别为.当张三上场参加比赛时，队伍取得第一名的概率为0.7.（i）求的值；（ii）当张三上场参加比赛时，在队伍取得某场比赛第一名的条件下，求张三作为四棒选手参加比赛的概率.附：.0.150100.050.0250.0100.0012.0722.7063.8415.0246.63510.828【答案】（1）列联表见解析，是（2）（i）（ii）【解析】【分析】（1）由已知条件直接给出列联表，再求得，即可判断；（2）由全概率计算公式及条件概率计算公式即可求解.【小问1详解】根据题意，可得的列联表：张三是否上场队伍是否取得第一名的情况合计取得第一名未取得第一名上场301040未上场61420合计362460零假设：队伍是否取得第一名与张三是否上场无关；，依据小概率值的独立性检验，可以认为队伍是否取得第一名与张三是否上场有关；故张三是这支队伍的明星队员.【小问2详解】由张三上场时，作为一棒､二棒､四棒选手参赛的概率分别为，相应队伍取得第一名的概率分别为.设事件：张三作为一棒参赛，事件：张三作为二棒参赛，事件C：张三作为四棒参赛，事件D：张三上场且队伍获得第一名；则；（i）由全概率公式：，即，又，联立解得：.（ii）由条件概率公式：.17.如图，在四棱锥中，为等边三角形，底面是矩形，平面平面分别为线段的中点，点在线段上（不包括端点）.（1）若，求证：点四点共面；（2）若，是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，求出，若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）存在，或【解析】【分析】（1）方法1：利用向量的线性运算结合图形关系得到，即可证明；方法2：过作直线与平行，延长与交于点，连接，再利用平行线段对应成比例得到即可证明；（2）先由面面垂直的性质证明平面，再建系，找到平面的法向量和，再利用线面角的公式求出值即可.【小问1详解】证明：方法1：，系数和为1，根据平面向量共线定理可知四点共面.方法2：过作直线与平行，延长与交于点，连接.因为底面是矩形，是的中点，所以，且.所以，则直线与直线相交，记交点为.因为是的中点，可得，则，所以.因为，所以点即点，所以四点共面.【小问2详解】因为是的中点，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面.取中点，连接，易知两两相互垂直，如图，分别以为轴建立空间直角坐标系，则，.设平面的法向量为，则即，令，则，所以.设，则.设与平面所成角，则，解得或，则或.18.已知椭圆，四点，其中恰有三点在椭圆上.（1）求