重庆市育才中学校高2025届2024-2025学年(上)12月月考数学试题本试卷为第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分,共150分,考试时间120分钟。注意事项:1.答卷前,请考生务必把自己的姓名、准考证号填写在答题卡上；2.作答时,务必将答案写在答题卡上,写在本试卷及草稿纸上无效;3.考试结束后,将答题卡交回。第I卷一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的。1.设集合M=x∣x2−3≤0,N={−2,−1,0,1,2},则M∩N=A.{0,1}B.{−1,0,1}C.{−1,0,1,2}D.{−2,−1,0,1,2}2.已知随机变量ξ服从正态分布N2,σ2,P1<ξ≤2=0.2,则Pξ>3=A.0.1B.0.2C.0.3D.0.43.已知直线l//平面α,点P∈α,那么过点P且平行于直线l的直线A.有且只有1条,且在平面α内B.有且只有1条,不在平面α内C.有无数条,不都在平面α内D.有无数条,都在平面α内4.函数fx=cosx−x的零点所在区间为A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)5.若正实数a,b满足a=1−2b,则2a+1b的最小值为A.1B.6C.8D.96.从3名男生和2名女生中任选3人参加一项创新大赛,则选出的3人中既有男生又有女生的概率为A.110B.310C.35D.9107.已知sinα+β=12,tanα=5tanβ,则sinα−β=A.14B.13C.12D.348.若正实数x,y满足x+y>ex+lny,则下列不等式成立的是A.x−y<−1B.x−y>−1Cx+y<1D.x+y>1二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。9.已知点A0,2、B2,0、C1,y,其中y∈R,则A.若A、B、C三点共线,则y=1B.若AB⊥AC,则y=3C.若AB=AC,则y=2−7D.当y=2时,⟨AB,AC⟩=π410.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2,E、F分别为棱AB、AA1的中点,则A.E、F、D1、C四点共面B.直线AD与D1E所成角的正切值为52C.二面角A−FD1−E的大小为π4D.三棱锥B1−CEF的体积为111.若数列Fn满足F1=F2=1,Fn+2=Fn+1+Fnn∈N∗,设an=−1FnFn−1,则A.a4=1B.a2024+a2025=2C.an=an+3D.若数列an的前n项和为30,则n=90或n=92第II卷三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。第14题第一空2分,第二空3分。12.已知复数z=11+2i(其中i为虚数单位),则z⋅z=_____.13.若函数fx=13x3+x2−mxm∈R在R上单调递增,则实数m的取值范围为_____.14.若正四面体A−BCD的棱切球(球与正四面体的棱均相切)半径为1,则正四面体A−BCD的棱长为_____；该棱切球的球面与正四面体A−BCD的表面相交所得曲线的总长度为_____.四、解答题:本题共5题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。15.(本小题满分13分)已知非零数列an满足:a1=1,an−an+1=2an⋅an+1n∈N∗.(1)求证:1an是等差数列；(2)求数列an⋅an+1的前n项和Sn16.(本小题满分15分)若△ABC中的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且满足bsinA=3a1−cosB.(1)求角B;(2)若b=23,请从下列两个条件:①a=2c,②cosC=34c中任选一个作为已知条件,求△ABC的面积。注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答给分。17.(本小题满分15分)如第(17)题图,在四棱锥S−ABCD中,底面ABCD为菱形,点E为棱SA的中点,BD⊥SC.(1)求证:SC//平面BED；(2)求证:平面SAC⊥平面ABCD；(3)若SC⊥AC,且AB=SC=2,∠ABC=120∘,求直线AB与平面SAD所成角的正弦值。第(17)题图18.(本小题满分17分)育才中学为普及法治理论知识,举办了一次法治理论知识闯关比赛。比赛规定:三人组队参赛,按顺序依次闯关,无论成败,每位队员只闯关一次。如果某位队员闯关失败,则由该队下一队员继续闯关,如果该队员闯关成功,则视作该队获胜,余下的队员无需继续闯关；若三位队员闯关均不成功,则视为该队比赛失败。比赛结束后,根据积分获取排名,每支获胜的队伍积分Y与派出的闯关人数X的关系如下:Y=40−10XX=1,2,3,比赛失败的队伍则积分为0。现有甲、乙、丙三人组队参赛,他们各自闯关成功的概率分别为p1、p2、p3,且每人能否闯关成功互不影响。(1)已知p1=34,p2=23,p3=12,(i)若按甲、乙、丙的顺序依次参赛,求该队比赛结束后所获积分Y的期望;(ii)若第一次闯关从三人中随机抽取,求该队比赛结束后所获积分Y=30的概率。(2)若甲只能安排在第二位次参赛,且0ex+lny,整理得x−ex>lny−y,即x−ex>lny−elny(*),构造函数fx=x−exx>0,∴不等式(*)等价为fx>flny,∵x>0,∴f′x=1−ex<0,∴fx=x−ex在0,+∞单调递减,∴00,∴EY1–EY2<0,即EY10,∵函数gx在定义域内有三个不同的极值点,∴g′x在0,+∞上有三个不同的变号零点,又∵g′1=0,令hx=aex−x,∴hx在0,+∞上至少有两个不为1的不同零点,∵h′x=aex−1,x∈0,+∞,①当a∈−∞,0]时,∴h′x≤0,∴hx在0,+∞上单调递减，hx最多有一个零点，∴舍②当a∈0,+∞时,∵函数ℎ′x在0,+∞上单调递增,令ℎ′x=0得x=−lna,(i)若a∈[1,+∞),∴lna≤0,此时h′x≥0在0,+∞恒成立,∴hx在0,+∞上单调递增,hx最多有一个零点,∴舍;(ii)若a∈0,1,−lna>0,∴ℎ′x与ℎx随x的变化情况如下表所示x0,−lna−lna,+∞+h(x)单调递减单调递增又∵ℎ0=a>0,limn→+∞ℎx=+∞,∴当ℎx最小值ℎ−lna=1+lna<0,即a<1e时,ℎx在0,+∞上有两个不为1的变号零点,即函数gx在定义域内有了两个不同的极值点,不妨分别记作m,nm