2025年1月“八省联考”考前猜想卷02数学·参考答案与评分标准一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。12345678CBAAADBA二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．91011ABDACABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．240或384013．14．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。15．（13分）【详解】（1）学生甲恰好答对3道题有以下两种情况：第一种情况是学生甲答对组的2道题和组的1道题，其概率；...........................................................................（2分）第二种情况是学生甲答对组的l道题和组的2道题，其概率．故学生甲恰好答对3道题的概率．.............................................（5分）（2）由题意可知的所有可能取值为．，，，，...........................................................................................（9分）由（1）可知，则的分布列为01234故．............................................................（13分）16．（15分）【详解】（1）证明：由三棱柱的性质可知．因为平面，所以平面．因为平面，所以．........................................................................（2分）因为为的中点，且是等边三角形，所以．因为平面，且，所以平面．.....................................................................................................（6分）（2）取的中点，连接．由题意可得两两垂直，故以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．设，则，故．...................................（8分）设平面的法向量为，则令，得．设平面的法向量为，则令，得．设平面与平面所成的锐二面角为，则，即平面与平面所成锐二面角的余弦值为．............................................（15分）17．（15分）【详解】（1），，，，所以在点1,f1处的切线方程为，整理得：；..........................................................................................（4分）（2）函数定义域为0,+∞，..........................（6分）当时，f'x≥0，此时在0,+∞上单调递增；当时，令，得，此时在上f'x<0，在单调递减，在上f'x>0，在单调递增，综上：时，的递增区间为0,+∞，无递减区间；时，的递减区间为，递增区间为；..........................................（9分）（3）由（2）可知，当时，才有两个不相等的实根，且，则要证，即证，即证，而，则，否则方程不成立），所以即证，化简得，................................................................（11分）令，则，当时，，所以在0,1单调递减，当时，，所以在1,+∞单调递增，...........................................（13分）所以，而，所以，所以，得证．...................................................................................................（15分）18．（17分）【详解】（1）设动圆的半径为r，圆的圆心，半径，显然点在圆内，则，于是，因此动点M的轨迹C是以，为焦点，长轴长为4的椭圆，.................................（2分）长半轴长，半焦距，则短半轴长，所以轨迹C的方程为.........................................................................................（4分）（2）（i）设，，，由（1）知，，显然，，而，则.（7分），又，即，所以，为定值............................................................................（11分）（ii）由消去x得，，由（i）得，又，......................................（14分）则，解得，满足，因此直线PQ的方程为，所以直线PQ过定点.................................................................................................（17分）19．（17分）【详解】（1）由，且为“2数列”，得，即，...........（2分）则，，，．.............................................................（5分）（2）设数列bn的公比为，由，得，....................................................................................（6分）即，则．两式相减得，即．因为是首项为2的“数列”，所以，....................................................（8分）即，所以，即对任意的恒成立．因为，，则，即，解得，．.........................................................................................................（11分）又由，即，得，所以．检验可知符合要求，故数列bn的通项公式为．..................................（12分）（3）因为为“数列”，所以，即对任意的恒成立，因为，，所以．再结合，，，反复利用，可得对任意的，．设函数，则．.....................................................................（15分）由，得．当时，f'x<0，所以在1,+∞上单调递减．所以当时，，即．又，所以．可得，，，，累加可得，即，即，所以．.............................................................................................................（17分）