内江市高中２０２３届第一次模拟考试题数学（理科）参考答案及评分意见一、选择题（本大题共１２小题，每小题５分，共６０分．）１．Ａ ２．Ｄ ３．Ｄ ４．Ｃ ５．Ｂ ６．Ａ ７．Ｄ ８．Ｃ ９．Ｂ １０．Ａ １１．Ｂ １２．Ａ二、填空题（本大题共４小题，每小题５分，满分２０分．）１３．２ １４．５０ １５．－５ １６．①③三、解答题（共７０分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第１７～２１题为必考题，每个试题考生都必须作答，第２２、２３题为选考题，考生根据要求作答．）５６０１７．１６０６０×＝２８解：（）按性别分层抽样，参与调查的名学生中，女生人数为１２００（人），所以，ｘ＋ｙ＝２８，ｘ、ｙ∈Ｎ，!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!２分若ｘ≥１０且ｙ≥１０，则（ｘ，ｙ）的取值结果有（１０，１８）、（１１，１７）、（１２，１６）、（１３，１５）、（１４，１４）、（１５，１３）、（１６，１２）、（１７，１１）、（１８，１０），共９种，!!!!!!!!!!!!!!!３分其中，满足ｘ＞ｙ的结果有（１５，１３）、（１６，１２）、（１７，１１）、（１８，１０），共４种!!!!!４分４ｐ＝!!!!!６所以参与过滑雪运动的女生比未参与过滑雪运动的女生多的概率９分（２）参与调查的６０名学生中，女生人数为２８人，男生人数为３２人，则ｍ＝３２－２０＝１２，!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!７分由ｘ＋ｙ＝２８，且ｘ＝ｙ－８，得ｘ＝１０，ｙ＝１８，!!!!!!!!!!!!!!!!!９分列联表如下表所示：参与过滑雪未参与过滑雪男生２０１２女生１０１８６０×２０×１８－１２×１０２３０ Ｋ２＝（）＝≈４．２８６＜６．６３５!!!!!!!!!!!!!１１３２×２８×３０×３０７，分故没有９９％的把握认为“该校学生是否参与过滑雪运动与性别有关”!!!!!１２分ｘｘｘ１８．１ｍ珝＝３ｓｉｎ１珗ｎ＝ｃｏｓｓｉｎ２解：（）因为（槡２，），（２，２），ｘｘｘ３１－ｃｏｓｘｆｘ＝ｍ珝珗ｎ＝３ｓｉｎｃｏｓ＋ｓｉｎ２＝槡ｓｉｎｘ＋所以（）·槡２２２２２π１＝ｓｉｎｘ－＋!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!３（６）２，分π１ｆｘ＝０ｓｉｎｘ－＝－由已知（），得（６）２ππππ２π１ｓｉｎ２ｘ＋＝ｓｉｎ＋２ｘ－＝ｃｏｓ２ｘ－＝１－２ｓｉｎｘ－＝又（６）［２（３）］［（６）］（６）２π１ｓｉｎ２ｘ＋＝!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!６所以（６）２分３ｃ２①槡＋ｔａｎＡ＋ｔａｎＢ＝０（）若选ａｃｏｓＢ，３ｓｉｎＣｓｉｎＡｓｉｎＢ３ｓｉｎＣｓｉｎＡｃｏｓＢ＋ｓｉｎＢｃｏｓＡ槡＋＋＝０槡＋＝０由正弦定理可得ｓｉｎＡｃｏｓＢｃｏｓＡｃｏｓＢ，即ｓｉｎＡｃｏｓＢｃｏｓＡｃｏｓＢ，３ｓｉｎＣｓｉｎＣ槡＋＝０!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!８ｓｉｎＡｃｏｓＢｃｏｓＡｃｏｓＢ，分高三一模考试数学（理科）试题答案第 １页（共４页）由于ｓｉｎＣ≠０，所以槡３ｃｏｓＡ＋ｓｉｎＡ＝０，ｔａｎＡ＝－槡３，!!!!!!!!!!!!!!９分２ππ０＜Ａ＜πＡ＝０＜Ｂ＜!!!!!!!!!!!!!!!!!１０由于，得３，所以３，分ππππ１－＜Ｂ－＜０＜ｓｉｎＢ－＋＜１所以６６６，得（６）２，即ｆ（Ｂ）的取值范围是（０，１）!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!１２分若选②（２ｃ＋ｂ）ｃｏｓＡ＋ａｃｏｓＢ＝０，由正弦定理可得２ｓｉｎＣｃｏｓＡ＋ｓｉｎＢｃｏｓＡ＋ｓｉｎＡｃｏｓＢ＝０，即２ｓｉｎＣｃｏｓＡ＋ｓｉｎ（Ａ＋Ｂ）＝２ｓｉｎＣｃｏｓＡ＋ｓｉｎＣ＝０，!!!!!!!!!!!!!!８分１ｓｉｎＣ≠０ｃｏｓＡ＝－!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!９由于，所以２，分２ππ０＜Ａ＜πＡ＝０＜Ｂ＜!!!!!!!!!!!!!!!!!!１０又，得３，所以３，分ππππ１－＜Ｂ－＜０＜ｓｉｎＢ－＋＜１所以６６６，得（６）２，即ｆ（Ｂ）的取值范围是（０，１）!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!１２分ｎ１９．解：（１）由已知ａ１＋２ａ２＋３ａ３＋…＋（ｎ－１）ａｎ－１＝２＋（ｎ－２）·２，ｎ≥２，①ｎ－１当ｎ≥３时，有ａ１＋２ａ２＋３ａ３＋…＋（ｎ－２）ａｎ－２＝２＋（ｎ－３）·２，②!!!!!２分ｎ－１ｎ－１①－②得，（ｎ－１）ａｎ－１＝（ｎ－１）２ａｎ－１＝２（ｎ≥３）（）!!!!!!!!!４分在①中，令ｎ＝２，得ａ１＝２，满足（）；令ｎ＝３，得ａ２＝４，也满足（）!!!!!!５分ｎ所以ａｎ＝２，ｎ∈Ｎ!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!６分２ｎ１１（２）由（１）知，ｂｎ＝ｎｎ＋１＝ｎ－ｎ＋１，!!!!!!!!!!!８分（２－１）（２－１）２－１２－１１１１１１１Ｔ＝－＋－＋＋－故ｎ（２１－１２２－１）（２２－１２３－１）…（２ｎ－１２ｎ＋１－１）１＝１－!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!９２ｎ＋１－１，分１Ｔ＜ｍ２－３ｍ＋３１－＜ｍ２－３ｍ＋３于是，ｎ２ｎ＋１－１１１－ｎｍ２－３ｍ＋３≥１!!!!!!!!!!１０因为２ｎ＋１－１随的增大而增大，所以，分解得，ｍ≤１或ｍ≥２．所以实数ｍ的取值范围是（－∞，１］∪［２，＋∞）!!!!!!!!!!!!!!１２分２０．解：（１）∵ｆ（ｘ）＝ｘ３＋ｘ２－ｘ＋ａ，∴ｆ′（ｘ）＝３ｘ２＋２ｘ－１＝（３ｘ－１）（ｘ＋１），!!!２分１ｆ′ｘ＞０ｘ＞ｘ＜－１由（），解得３或；１ｆ′ｘ＜０－１＜ｘ＜由（），解得３，１１ｘ∈－１２ｆｘ－１２．!!!!４又［，］，所以（）在［，３］上单调递减，在［３，］上单调递增分１５ｆ－１＝ａ＋１ｆ２＝１０＋ａｆ＝－＋ａ又（），（），（３）２７，５∴ｆｘ１０＋ａ－＋ａ．!!!!!!!!!!!!!!!!!６（）最大值是，最小值是２７分（２）设切点Ｑ（ｘ，ｘ３＋ｘ２－ｘ＋ａ）ｘ３＋ｘ２－ｘ＋ａ－４∴ＰＱｋ＝ｆ′ｘ＝３ｘ２＋２ｘ－１＝!!!!!!!７直线的斜率为ＰＱ（）ｘ－１，分高三一模考试数学（理科）试题答案第 ２页（共４页）整理得２ｘ３－２ｘ２－２ｘ＋５－ａ＝０，由题意知此方程应有３个不同解．令μ（ｘ）＝２ｘ３－２ｘ２－２ｘ＋５－ａ，∴μ′（ｘ）＝６ｘ２－４ｘ－２＝２（３ｘ＋１）（ｘ－１），１１μ′ｘ＞０ｘ＞１ｘ＜－μ′ｘ＜０－＜ｘ＜１!!!!!!!８由（）解得或３，由（）解得３，分１１∴μｘ－∞－１＋∞－１．函数（）在（，３），（，）上单调递增，在（３，）上单调递减１１１４５∴ｘ＝－μｘμ－＝－ａ当３时，（）有极大值为（３）２７； 当ｘ＝１时，μ（ｘ）有极小值为μ（１）＝３－ａ；!!!!!!!!!!!!!!!!１０分１１４５μ－＝－ａ＞０１４５μｘ＝０３（３）２７３＜ａ＜要使得方程（）有个根，则，解得２７，{μ（１）＝３－ａ＜０１４５∴ａ３．!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!１２实数的取值范围为（，２７）分１１１２１．１０πａ＝ｆｘ＝ｘ＋ｃｏｓｘｆ′ｘ＝－ｓｉｎｘ解：（）函数的定义域为［，］，当２时，（）２，（）２，π５πｆ′ｘ＝０ｘ＝!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!２令（），得６或６，分πｘ∈０ｆ′ｘ＞０ｆｘ当（，６）时，（），（）单调递增，π５πｘ∈ｆ′ｘ＜０ｆｘ当（６，６）时，（），（）单调递减，５πｘ∈πｆ′ｘ＞０ｆｘ!!!!!!!!!!!!!!!!!４当（６，）时，（），（）单调递增，分π５π０π!!!!!!!!!!!!!!!!５所以函数的单调递增区间为［，６］和［６，］分（２）ｆ（ｘ）＝ａｘ＋ｃｏｓｘｆ′（ｘ）＝ａ－ｓｉｎｘ，因为函数ｆ（ｘ）恰有两个极值点，所以方程ｆ′（ｘ）＝ａ－ｓｉｎｘ＝０有两个不相等的实根，设为ｘ１、ｘ２且ｘ１＜ｘ２，π０≤ｘ≤πｙ＝ｓｉｎｘｘ＝当时，函数图象关于直线２对称，则ｘ１＋ｘ２＝π，ｓｉｎｘ１＝ｓｉｎｘ２＝ａ，!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!６分易知ａ≠０，ａ≠１，所以ａ∈（０，１）!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!７分当ｘ∈（０，ｘ１）时，ｆ′（ｘ）＞０，ｆ（ｘ）单调递增，当ｘ∈（ｘ１，ｘ２）时，ｆ′（ｘ）＜０，ｆ（ｘ）单调递减，当ｘ∈（ｘ２，π）时，ｆ′（ｘ）＞０，ｆ（ｘ）单调递增，所以ｘ１、ｘ２分别是函数ｆ（ｘ）的极大值点和极小值点，即ｍ＝ｆ（ｘ１）＝ａｘ１＋ｃｏｓｘ１，ｎ＝ｆ（ｘ２）＝ａｘ２＋ｃｏｓｘ２，于是有２ｍ－ｎ＝２（ａｘ１＋ｃｏｓｘ１）－（ａｘ２＋ｃｏｓｘ２），因为ｘ１＋ｘ２＝π，所以ｘ２＝π－ｘ１，所以２ｍ－ｎ＝３ａｘ１＋３ｃｏｓｘ１－ａπ，而ｓｉｎｘ１＝ａ，所以２ｍ－ｎ＝３ｘ１ｓｉｎｘ１＋３ｃｏｓｘ１－πｓｉｎｘ１，!!!!!!!!!!!!!!!!!!９分πｈｘ＝３ｘｓｉｎｘ＋３ｃｏｓｘ－πｓｉｎｘ０＜ｘ＜ｈ′ｘ＝３ｘ－πｃｏｓｘ设（），２，则（）（），ππｈ′ｘ＝０ｘ＝令（），得３或２，π０＜ｘ＜ｈ′ｘ＜０ｈｘ当３时，（），（）单调递减，高三一模考试数学（理科）试题答案第 ３页（共４页）ππ＜ｘ＜ｈ′ｘ＞０ｈｘ!!!!!!!!!!!!!!!!!１０当３２时，（），（）单调递增，分ππ３ｘ＝ｈｘ＝ｈ＝所以当３时，函数有最小值，即（）ｍｉｎ（３）２，ππｈ０＝３ｈ＝．又（），（２）２π３３３＞ｈｘ∈３２ｍ－ｎ３!!!!!!!!!１２２，因此（）［２，），即的取值范围是［２，）分２２．解：（１）曲线Ｃ的参数方程消去参数可得：ｘ２＋（ｙ－１）２＝ｃｏｓ２α＋ｓｉｎ２α＝１故曲线Ｃ化为普通方程为：ｘ２＋（ｙ－１）２＝１，!!!!!!!!!!!!!!!!２分π２ρｃｏｓθ＋＝－２ρｃｏｓθ－ρｓｉｎθ＝－２!!!!!!!!!!!!!!!３由槡（４），得，分ｘ＝ρｃｏｓθ!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!４结合{ｙ＝ρｓｉｎθ分所以直线ｌ的直角坐标方程为ｘ－ｙ＋２＝０!!!!!!!!!!!!!!!!!５分（２）Ｃ的普通方程可化为ｘ２＋ｙ２－２ｙ＝０，ｘ２＋ｙ２－２ｙ＝０ｘ＝－１ｘ＝０!!!!!!!!!!!!!!!!７联立{ｘ－ｙ＋２＝０，解得{ｙ＝１或{ｙ＝２，分３ππ２２!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!１０化为极坐标可得（槡，４），（，２）分２３．解：（１）当ａ＝２时，原不等式可化为｜３ｘ－１｜＋｜ｘ－２｜≥３!!!!!!!!!１分１①ｘ≤１－３ｘ＋２－ｘ＝３－４ｘ≥３ｘ≤０∴ｘ≤０!!!!!!!!!!２当３时，，解得，；分１②＜ｘ＜２３ｘ－１＋２－ｘ＝２ｘ＋１≥３ｘ≥１∴１≤ｘ＜２!!!!!!!３当３时，，解得，；分３③ｘ≥２３ｘ－１＋ｘ－２＝４ｘ－３≥３ｘ≥∴ｘ≥２!!!!!!!!!!４当时，，解得２，；分１｜ｘ－｜＋ｆｘ≥１ｘ｜ｘ≤０ｘ≥１!!!!!!!!５综上所述：不等式３（）的解集为｛或｝分１２｜ｘ－｜＋ｆｘ≤ｘ｜３ｘ－１｜＋｜ｘ－ａ｜≤３ｘ（）由３（），知，１１∵Ｍ［３，２］，１１∴｜３ｘ－１｜＋｜ｘ－ａ｜≤３ｘ!!!!!!!!!!!!!!!６在［３，２］上恒成立，分∴３ｘ－１＋｜ｘ－ａ｜≤３ｘ，即｜ｘ－ａ｜≤１，∴－１≤ｘ－ａ≤１，解得ａ－１≤ｘ≤ａ＋１，!!!!!!!!!!!!!!!!!!!８分１ａ－１≤３１４∴－≤ａ≤!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!９１，解得２３，分ａ＋１≥{２１４ａ－!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!１０即实数的取值范围为［２，３］分高三一模考试数学（理科）试题答案第 ４页（共４页）