2023年邵阳市高三第一次联考参考答案与评分标准数学 一、单选题(本大题共小题,每小题分,共分)8540.1B.2A【详解】因为(z)z,zz,()z,2+3i=32i+3i=33-2i=3i()所以z3i3i3+2i-6+9i69,z-69,==()()==-+i=--i3-2i3-2i3+2i1313131313故选:.A.3A【详解】母线长为,设底面圆半径为r,1则r,r1,2π=π∴=2故圆锥的全面积为SS底S侧ππ3π,=+=+=424故选:.A.4D【详解】因为→a→b2→a2→a·→b→b2,→a→b2→a2→a·→b→b2,|+|=+2+|-|=-2+以上两式相减可得,→a·→b→a→b2→a→b2,4=|+|-|-|所以→a→b2→a→b2→a·→b,即→a→b,|+|=|-|+4=16+4=20|+|=25故选:.D.5A【详解】从这种铅笔中任取一件抽到甲的概率为.,抽到乙的概率是.,0604抽到甲车间正品的概率P.(.).,1=06×1-01=054抽到乙车间次品的概率P.(.).,2=04×1-005=038任取一件抽到正品的概率PPP....=1+2=054+038=092故选:.A.6A.7Cxx【详解】令g(x)-1x,则g′(x)-1,=e-=e-1令g′(x),得x;令g′(x),得x;>0>1<0<1所以g(x)在(,)上单调递减,在(,)上单调递增,故g(x)g(),-11+min=1=0∞∞M又因为对于任意M,在(,)总存在xM,使得g(M)--1MM,>0x-∞1=--=e+>在(,)上由于y-1的增长速率比yx的增长速率要快得多,所以总存在xx,1+=e==0x∞使得0-1xM,e-0>所以g(x)在(,)与(,)上都趋于无穷大;-∞11+∞年邵阳市高三第一次联考参考答案与评分标准(数学)第页(共页)2023 114令h(x)x2mx,则h(x)开口向下,对称轴为xm,=-+2-1=所以h(x)在(,m)上单调递增,在(m,)上单调递增,故h(x)h(m)m2,max-∞x+∞==-1因为函数f(x){-1x,x2mx}有且只有三个=mine--+2-1零点,而g(x)已经有唯一零点x,所以h(x)必须有两个零点,则h=1(x),即m2,解得m或m,max>0-1>0<-1>1当m时,h()2mm,则f<-11=-1+2×1-1=-2+2<0(){g(),h()}h(),1=min11=1<0即f(x)在x处取不到零点,故f(x)至多只有两个零点,不满=1足题意,当m时,h()2mm,则f(){g(),h()}g()>11=-1+2×1-1=-2+2>01=min11=1=,所以f(x)在x处取得零点,0=1结合图像又知g(x)与h(x)必有两个交点,故f(x)在(,)与(m,)必有两个零点,-∞1+∞所以f(x)有且只有三个零点,满足题意;综上:m,即m(,).>1∈1+∞故选:.C.8D【详解】如下图所示:取BC的中点为W,分别连接SW和O′W,因为SWBC,⊥O′WBC,⊥所以SWO′为SBCA的二面角,SW∠--=2a21a3a,-()=222AWa21a3a,所以AO′2AW3a,所以=-()===22332SO′a2a6a,=-(3)=33O′W在直角三角形SO′W中,O′W(SW)2(SO′)23a,所以SWO′1=-=cos∠=SW=63所以二面角SBCA的余弦值为1,--3所以二面角ABCD的余弦值为1,故正确---A3因为棱长为a的正四面体的高h6a,=3所以V1·3(a)2·6·(a)·1·3a2·6a232a3,故正确;=33-4=B34334312设外接球的球心为O,ABC的中心为O′,NPQ的中心为O″,△△年邵阳市高三第一次联考参考答案与评分标准(数学)第页(共页)2023 214因为截角四面体上下底面距离为a6a26a,所以R2O′C2R2O″H26-=-+-=3326a,3a2a2所以R2R2a226a,所以R226aR2a2,-+-=-=--3333a2所以R28a2R2a246a·R2a2,所以R211a2,-=+---=3338所以SR211a2,故正确;=4π=πC2由正四面体SNPQ中,题中截角四面体由个边长为a的正三角形,-4个边长为a的正六边形构成,故S3a23a2a2,故错误.4=4×+4×6×=73D44故选:.D二、多选题(本大题共小题,每小题分,共分)4520.9ABD4[(i)x]xxx【详解】因为函数f(x)sin2-1xsin3sin5sin7,定义域为R,=i=i=sin+++∑12-1357(x)(x)(x)对于,f(x)(x)sin3π+3sin5π+5sin7π+7Aπ+=sinπ++++357xxx(x)(x)xsin3sin5sin7(x)sin-3sin-5=-sin---=sin-+++35735(x)sin-7f(x),=-7所以函数f(x)的图象关于直线xπ对称,故正确;=A2(x)(x)(x)xx对于,f(x)(x)sin-3sin-5sin-7xsin3sin5B-=sin-+++=-sin---35735xsin7f(x),=-7所以函数f(x)为奇函数,图象关于点(,)对称,故正确;00B对于,由题知f(x)f(x)f(x),故错误;C+π=-≠C对于,由题可知f′(x)xxxx,故正确.D=cos+cos3+cos5+cos7≤4D故选:.ABD.10ABD【详解】对于A,令xy,代入已知等式得f()f()g()g()f(),得f(),==00=00-00=00=0再令y,x,代入已知等式得f()f()g()g()f(),=0=11=10-10可得f()[g()]g()f(),结合f()得g(),g(),故11-0=-10=01≠01-0=00=1A正确;对于,再令x,代入已知等式得f(y)f()g(y)g()f(y),B=0-=0-0年邵阳市高三第一次联考参考答案与评分标准(数学)第页(共页)2023 314将f(),g()代入上式,得f(y)f(y),函数f(x)为奇函数,0=00=1-=-∴函数f(x)关于点1,对称,故正确;∴2-1(0)B2对于,再令x,y,代入已知等式,C=1=-1得f()f()g()g()f(),f()f(),f()f()[g()g()],2=1-1-1-1∵-1=-1∴2=1-1+1又f()f()f(),f()f()[g()g()],∵2=--2=-1∴-1=1-1+1f(),g()g(),故错误;∵1≠0∴1+-1=-1C对于,分别令y和y,代入已知等式,得以下两个等式:D=-1=1f(x)f(x)g()g(x)f(),f(x)f(x)g()g(x)f(),+1=-1--1-1=1-1两式相加易得f(x)f(x)f(x),所以有f(x)f(x)f(x),+1+-1=-+2+=-+1即:f(x)f(x)f(x),=-+1-+2有:f(x)f(x)f(x)f(x)f(x)f(x),-+=+1+-1-+1-+2=0即:f(x)f(x),f(x)为周期函数,且周期为,-1=+2∴3f()3,f()3,f()f()3,f()f(),∵1=∴-2=∴2=--2=-3=0=0222f()f()f(),∴1+2+3=02023f(n)f()f()f()…f()f()f()3,故正确.∴n∑=1+2+3++2023=2023=1=D=12故选:ABD..11ACDc【详解】椭圆C的离心率为e6-32=a==62设两条互相垂直的切线的交点为P(x,y),00当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为时,可得点P的坐标是(0±a,b),或(a,b).±-当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为时,可设点P的坐标是(x,00y)(xa,且yb),00≠±0≠±所以可设曲线C的过点P的切线方程是yyk(xx)(k).-0=-0≠0ìx2y2ï由ía2+b2=1,得(a2k2b2)x2ka2(kxy)xa2(kxy)2a2b2,ï+-20-0+0-0-=0îyyk(xx)-0=-0由其判别式的值为,得(x2a2)k2xyky2b2(x2a2),00--200+0-=00-≠0因为kPA,kPB(kPA,kPB为过P点互相垂直的两条直线的斜率)是这个关于k的一元二次方程的两个根,y2b20所以kPA·kPB-,=x2a20-由此,得kPA·kPBx2y2a2b2,=-1⇔0+0=+即C的蒙日圆方程为:x2y2;+=9年邵阳市高三第一次联考参考答案与评分标准(数学)第页(共页)2023 414因为蒙日圆为长方形的外接圆,设rOA,AOBθ,==3∠=则矩形面积公式为S·1r2·θθ,显然θ,=4sin=18sinsin=12即矩形四条边都相等,为正方形时,S.max=18故答案为:ACD..12ABD【详解】对于A,当x时,x,令tx,则t,g(t)tt,>0e>1=e>1=-lntg′(t)1-1,当t时,g′(t)恒成立,g(t)在(,)上单调递增;∵=1-t=t∴>1>0∴1+∞tx在(,)上单调递增,∵=e0+∞根据复合函数单调性可知:g(x)在(,)上为增函数,A正确;∴e0+∞对于B,当x时,x2,又a为正实数,axa,>1ln>ln1=0∴>>0f′(x)x,当x时,f′(x)恒成立,f(x)在(,)上单调递增,∵=e-1∴>0>0∴0+∞x则由f(ax)f(x2)得:axx2,即a2ln,≥ln≥ln≥xx(x)令h(x)2ln(x),则h′(x)21-ln,=x>1=x2当x(,)时,h′(x);当x(,)时,h′(x);∴∈1e>0∈e+∞<0h(x)在(,)上单调递增,在(,)上单调递减,h(x)h()2,∴1ee+∞∴max=e=ea2,则正实数a的最小值为2,B正确;∴≥ee对于C,f′(x)x,当x时,f′(x);当x时,f′(x);∵=e-1∴<0<0>0>0f(x)在(,)上单调递减,在(,)上单调递增;f(x)f(),则t;∴-∞00+∞∴min=0=1>1不妨设xx,则必有xx,1<21<0<2若xx,则xx,等价于f(x)f(x),1+2>02>-1>02>-1又f(x)f(x),则等价于f(x)f(x);2=11>-1xx令F(x)f(x)f(x)(x),则F′(x)-,=--<0=e+e-2xxxxxxx,,-,-·-,即F′(x),∵<0∴01∴e+e>2ee=2>0F(x)在(,)上单调递增,F(x)F(),即f(x)f(x),∴-∞0∴<0=0<-f(x)f(x),可知xx不成立,C错误;∴1<-11+2>0xx对于D,由f(x)g(x)t(t),xx得:1xxxln2xt1=2=>22>1>0e-1=2-ln2=e-ln2=(t),即f(x)f(x)t(t),>21=ln2=>2由C知:f(x)在(,)上单调递减,在(,)上单调递增;-∞00+∞f(),x,则xx,x,1=e-1<2∴1>12>1>1∴ln2>0xttttxx,即1x,lnxlnlnln;∴1=ln2e=2∴xx=1x=f(x)=t2-1e-11tt令φ(t)ln(t),则φ′(t)1-ln,=t>2=t2年邵阳市高三第一次联考参考答案与评分标准(数学)第页(共页)2023 514当t(,)时,φ′(t);当t(,)时,φ′(t);∴∈2e>0∈e+∞<0φ(t)在(,)上单调递增,在(,)上单调递减,φ(t)φ()1,∴2ee+∞∴max=e=et即ln的最大值为1,正确xxeD.2-1故选:ABD.三、填空题(本大题共小题,每小题分,共分)4520.13128【详解】(xy)3(yz)5(zx)7利用二项展开式的通项公式进行展开,设(xy)3-2-2-2-2项为k,(yz)5项为n,(zx)7项为m.-k2kk-n2nnmmmknm展开后得x3-(y)·y5-(z)·y7-(z)对每一项进行合并得C3-2C5-2C