闵行区高一期末数学区统考试卷2025.01一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸相应位置直接填写结果．1.已知全集，集合，则______【答案】【解析】【分析】根据补集概念进行求解.【详解】.故答案为：2.若，用有理数指数幂的形式表示______【答案】【解析】【分析】，结合指数幂运算法则进行求解.【详解】，.故答案为：3.对任意，幂函数的图象一定不经过第______象限【答案】四【解析】【分析】分和两种情况，得到图像一定不经过第四象限.【详解】当时，若，则，此时幂函数经过第二象限，若，则，此时幂函数经过第三象限，当时，恒成立，此时幂函数经过第一象限，故图象一定不经过第四象限.故答案为：四4.已知，则函数的值域为______【答案】【解析】【分析】由指数函数性质得结论．【详解】，值域是．故答案为：．5.命题“若，则”是真命题，则实数a的取值范围为______【答案】【解析】【分析】根据命题的真假得出结论．【详解】命题“若，则”是真命题，则，故答案为：．6.若，对任意且，函数的图像必过定点______【答案】【解析】【分析】根据对数函数的性质求解．【详解】令，则，，图象过定点，故答案为：．7.已知是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，______【答案】【解析】【分析】根据条件得到时，，又f−x=−fx，求出答案.【详解】当时，，故，又y=fx是定义在R上的奇函数，故f−x=−fx，所以，故.故答案为：8.用函数的观点解关于x的不等式，可得解集为______【答案】【解析】【分析】设函数，根据函数单调性，即可解所求不等式.【详解】设函数，定义域为，根据幂函数单调性可得，和都是上增函数，所以函数是上增函数，又，则不等式的解集为.故答案为：9.若，，则______【答案】1【解析】【分析】指数式化为对数式，结合换底公式得到.【详解】由，得，，故，，故.故答案为：110.设，且函数是偶函数，若，则______【答案】【解析】【分析】根据偶函数的性质列出方程求解即可.【详解】因为函数y=gx是偶函数，所以，即，又因为，所以，故答案为：.11.雅各布·伯努利（JakobBemoulli）是17世纪著名的数学家，他在概率论、数学分析及无穷级数等多个领域作出了重大的贡献，对后世数学的发展产生了深远的影响．1689年，他提出了一个著名的不等式称为伯努利不等式，其内容如下：设，且，n为大于1的正整数，则．由此可知，函数在区间上的最小值是______【答案】1【解析】【分析】由题意得当且时，，并得到当时，，当时，，从而得到最小值.【详解】由题意得，当且时，，故，当时，，当时，，综上，在上的最小值为1，此时.故答案为：112.若函数在区间上的最小值为，则实数a的取值范围为______【答案】【解析】【分析】先得到在上恒成立，参变分离得到，求出，故，再由在上有根，即在上有根，求出，需满足，故.【详解】由题意得在上恒成立，故，，故只需求出，由对勾函数性质可知，在上单调递减，在上单调递增，且或2时，，故的最大值为3，故，故，另外，在上有根，即，，故在上有根，根据的单调性可知，在处取得最小值，故，，要想在上有根，需满足，综上，.故答案为：【点睛】方法点睛：分离参数法基本步骤为：第一步：首先对待含参的不等式问题在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，第二步：先求出含变量一边的式子的最值，通常使用函数单调性或基本不等式进行求解.第三步：由此推出参数的取值范围即可得到结论.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只—个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是（）A.与 B.与C与 D.与【答案】D【解析】【分析】A选项，对应法则不同；BC选项，定义域不同，D选项，两函数定义域和对应法则均相同，为同一函数.【详解】A选项，，，两函数对应法则不同，故不是同一函数，A错误；B选项，令，解得，的定义域为，的定义域为R，两函数定义域不同，不是同一函数，B错误；C选项，的定义域为0,+∞，的定义域为，两函数定义域不同，不是同一函数，C错误；D选项，，，两函数定义域和对应法则均相同，为同一函数，D正确.故选：D14.小明同学在用二分法研究函数在区间的零点时，发现，，，那么他下一步应计算（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由二分法的概念判断．【详解】由题意零点在区间上，因此应计算，故选：C．15.设、、、为实数，下列命题中成立的是（）A.如果，那么 B.如果，那么C.如果，，那么 D.如果，，那么【答案】A【解析】【分析】对于A、B选项，利用不等式的性质可判断原命题的真假；对于C、D选项，取特殊值可判断原命题的真假.详解】对于A，若，则，显然成立，选项A正确；对于B，若，当时，，当时，，选项B错误；对于C，令，满足，，但是，不满足，选项C错误；对于D，令，满足，，但是，不满足，选项D错误，故选：A.16.已知m、n都是实数，，若函数的值域为R，且对任意的实数t，关于x的方程有且只有一个实数解，则满足题意的实数对的个数为（）A.0 B.1 C.2 D.无数【答案】B【解析】【分析】再同一坐标系内画出和的图象，数形结合得到，且时满足题目中的两个条件，其他情况不合要求，得到答案.【详解】定义域为，其在定义域内单调递减，定义域为R，且，故为偶函数，当x∈0,+∞时，单调递增，由复合函数单调性得单调递减，同一坐标系内，画出和的图象，如下：的值域为R，显然，若，此时不满足值域为R，若，此时y=fx图象如下：满足值域为R，但不满足关于x的方程有且只有一个实数解，不合要求，若，此时y=fx图象如下：满足值域为R，也满足关于x的方程有且只有一个实数解，满足要求，若，此时y=fx的值域不为R，舍去，综上，满足要求，即满足要求的只有1个，即−3,2.故选：B【点睛】方法点睛：方程解的问题转化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何化，借助图象分析，大大简化了思维难度，首先要熟悉常见的函数图象，包括指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等，还要熟练掌握函数图象的变换，包括平移，伸缩，对称和翻折等，涉及零点之和问题，通常考虑图象的对称性进行解决.三、解答题（本大题共有5题，满分78分）17.已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根为、．（1）求实数m的取值范围；（2）若，求实数m的取值范围．【答案】（1）．（2）．【解析】【分析】（1）由判别式大于0可得；（2）由韦达定理求解．【小问1详解】由题意，解得或，的范围是．【小问2详解】由题意，，所以，解得，又，所以，即．18.已知，．（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）若，证明：在区间上是严格增函数．【答案】（1）奇函数，理由见解析；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先判断定义域是否关于原点对称，再根据与的关系判断即可；（2）根据函数单调性定义证明即可.【小问1详解】y=fx是奇函数，理由如下：的定义域为，关于原点对称，，根据函数奇偶性定义知，为奇函数；【小问2详解】时，，设，则因为，所以，，所以，即，即，根据函数单调性定义知，y=fx在区间上是严格增函数．19.当某外来物种进入某地区时，种群数量会先缓慢增长，然后再加速增长，再然后增速减缓，最终与当地环境达到自然平衡（如图所示）．数学生物学研究表明，种群数量与时间t的关系可以用逻辑斯蒂方程（LogisticEquation）：来表示，其中K表示环境容量（特定环境能够稳定承载的最大种群数量），表示种群初始数量，r表示物种内禀增长率（没有环境限制时种群数量的固有增长率）．某环境保护组织计划对一个新建的池塘放养某鱼类F．已知池塘对鱼类F的环境容量为1000条，初始投入100条，鱼类F的年内禀增长率为30％．（1）预计放养5年后的同一天，该池塘里有鱼类F多少条?（结果保留整数）（2）如果某一天与它前一年同一天相比，鱼类F的年增长率小于或等于5％，则称此时鱼类F与当地环境接近自然平衡．问至少需要经过多少年鱼类F才能与池塘环境接近自然平衡?（结果保留整数），其中，，，【答案】（1）333（2）14【解析】【分析】（1）代入数据，得到，计算出，得到答案；（2）得到不等式，求出，故至少14年鱼类F才能与池塘环境接近自然平衡.【小问1详解】由题意得，当时，，预计放养5年后的同一天，该池塘里有鱼类F条数为333；【小问2详解】由题意得，化简得，其中，，，由于单调递减，当时，，当时，，解得，故至少14年鱼类F才能与池塘环境接近自然平衡.20.在平面直角坐标系中，若点，，称为A，B两点的绝对和，记为．（1）若，，求；（2）已点，点在直线上，证明；（3）已知点，，动点在函数，的图象上，记的最大值为，求函数的最小值．【答案】（1）（2）证明见详解（3）【解析】【分析】（1）由Ax1,y1，Bx2,y2两点绝对和的定义即可求解；（2）根据点在直线上，设点，代入两点绝对和公式，再利用绝对值不等式即可证明；（3）易知，设，.根据函数的奇偶性，只需讨论在的最大值.对参数进行分类讨论，去绝对值，研究二次函数单调性与最值即可求得，再根据分段函数单调性即可求解.【小问1详解】，，∴由题知.【小问2详解】∵点在直线上，∴设.，.由绝对值不等式可知：，当且仅当，即时等号成立..【小问3详解】∵动点在函数，的图象上，∴设，.，.设，.则的定义域关于原点对称，且，∴函数，为偶函数，故只需研究函数在的最大值即可.当时，，，由二次函数性质可知：图象开口向上，对称轴为，故函数在上单调递增，；当时，，，由二次函数性质可知：图象开口向下，对称轴为，故函数在上单调递增，在上单调递减，；当时，令得，，由二次函数性质可知：开口向下，对称轴为；开口向上，对称轴为，故在上单调递增.①当，即时，在上单调递增，此时，，；②当，即时，在上单调递增，在上单调递减，此时，，.综上，.当时，在上单调递减，；当时，在上单调递增，.∴函数的最小值为.【点睛】本题为新定义题型，在理解题意的基础上写出函数，再利用分类讨论和数形结合思想研究二次函数最值即可.21.已知集合，n是正整数，，…，，都是实数．若，则称A为n元“M集”，记作．（1）判断是否为真命题；（2）若，x、y均为正实数，求的取值范围；（3）若，，，且，．记，．证明：当时，对任意实数x恒成立，且．【答案】（1）为真命题，理由见解析（2）（3）证明过程见解析【解析】【分析】（1）验证满足，故为真命题；（2）由题意得到，变形得到，结合，求出，进而得到的取值范围；（3）首先得到，，又，作差变形得到，从而得到，再根据变形得到.【小问1详解】为真命题，理由如下：，，所以满足，为真命题；【小问2详解】由题意得，故，，，因为x、y均为正实数，故，所以，故当时，取得最大值，且，所以，的取值范围为【小问3详解】，故，所以，同理可得，故，又，所以，因为，，，所以，，故，下证，由于，即，若，因为，，所以，所以，满足，满足要求，又因为，，，若，其中，此时，，此时，不合要求，综上，.【点睛】关键点点睛：第三问，作差法比较大小，反复用到，，又，对式子变形，因式分解，进而判断出大小，得到答案.