铁人中学2024级高一下学期开学考试数学试题试题说明：1、本试题满分150分，答题时间120分钟。2、请将答案填写在答题卡上，考试结束后只交答题卡。第Ⅰ卷选择题部分一、单项选择题（本大题包括8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）1.已知集合，，则（    ）A． B．C． D．【分析】先分别求出集合，再根据交集的定义即可得解.【详解】，，所以.故选：C.2.设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】必要性：若，则可得，所以可得，必要性成立；若，则，而，故充分性不成立，“”是“”的必要不充分条件.故选：B3.已知幂函数过点，则函数定义域为（）A. B. C. D.【答案】D【分析】由条件结合幂函数定义求，再由函数的解析式求其定义域.【详解】因为函数为幂函数，故可设，因为函数的图象过点，所以，所以，所以，由有意义可得，所以，所以函数的定义域为.故选：D.4.年月日时分，宋令东等航天员乘坐的神舟十九号载人飞船由长征二号运载火箭成功发射至预定轨道.据科学家们测算：火箭的最大速度至少达到千米/秒时，可将载人飞船顺利送入外太空.若火箭的最大速度（单位：米/秒）、燃料的质量（单位：吨）和载人飞船的质量（单位：吨）近似满足函数关系式要使载人飞船顺利进入外太空，则燃料质量与载人飞船质量的比值至少为（）A.9B.9C.999D.9999【答案】B【分析】由条件，结合函数关系式列不等式可求燃料质量与载人飞船质量的比值的范围，由此确定结论.【详解】千米秒米秒，令，则，所以，所以，所以燃料质量与载人飞船质量的比值至少为.故选：B.5.已知角的终边经过点，则角的值可能为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由三角函数符号确定点角的终边所在象限，再利用三角函数定义，结合诱导公式求出角的值可能.【详解】由，则，点在第三象限，，，可以是，A是；对于B，，B不；对于C，，C不是；对于D，，D不是.故选：A6.已知函数是增函数，且满足，，则的值为（）A.7 B.8 C.9 D.12【答案】A【分析】由函数关系式利用赋值法求，，，再结合单调性及函数值为正整数求结论.【详解】因为，，所以，故，所以，故，所以，故，因为函数，所以,所以，.故选：A.7.已知函数，若，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先判断出函数的奇偶性与单调性，再根据函数的单调性和奇偶性解不等式，求出的范围，再根据二倍角的余弦公式即可得解.【详解】因为，定义域满足，解得，因为，所以，所以为奇函数，因为函数在上单调递增，，且设，则，又，因为，所以，所以，由于函数在上单调递增，所以，故函数在上单调递增，所以函数在上单调递增，由，得，所以，即，解得，则.故选：D.8.已知函数其中．若在区间上单调递增，则ω的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】D多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)9.下列说法正确的是（   ）ABDA.“集合”中只有一个元素是“”的必要不充分条件B．命题“”的否定为“”C．函数的零点所在的一个区间是D．已知，则的最小值为【详解】对于A，若集合中只有一个元素，当时，；当时，可得，所以必要性成立，故A正确对于B，正确；对于C，C错误；对于D，当时，，，当且仅当，即时取等号，D正确；10.给出下列四个命题，其中所有正确命题的选项是（）CDA．函数的图象过定点B．已知函数（且）在上是减函数，则实数a的取值范围是C．化简的结果为25D．已知.则11.已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则一定成立的有（    ）A．函数的图象关于直线对称B．函数的图象关于原点对称C．D．【答案】AC【解析】由定义域为，且为偶函数，∴①，∴关于直线对称，故A正确；又为奇函数，∴，即，用替换上式中，得②，∴关于点对称，又关于直线对称，故关于轴对称，即为偶函数，无法确定的图象是否关于原点对称，故B错误；由①②得③，∴④，∴，∴，所以函数周期为4，在②式中，令得，解得，①式中令得，②式中令得，∴，故C正确，无法判断结果，故D错误.填空题(本题包括3小题，每小题5分，共15分，把正确答案填在答题卡中横线上)12.已知扇形的周长是其半径的4倍，若该扇形的面积为2，则该扇形的周长为_______．【答案】【分析】由扇形的周长公式求得圆心角，再代入扇形的面积公式求得扇形的半径，将求得结果代入扇形的周长公式即可.【详解】设扇形的半径为，圆心角为，则扇形的周长，∴，∴扇形的面积，∴，∴扇形的周长.故答案为：.13.函数在区间上的一个对称中心是，则的值为______【答案】【详解】由题得，令，则，当时，，，故的值为.14.已知函数，若关于的方程有三个不相等的实数解，则实数的取值范围为.【答案】【详解】画出函数图象:设有三个不同实数解,方程有两个根.其中一个在区间0,1上,一个根为或在区间上,若方程一个根为,,另一根为,不满足条件.故方程有两个根,其中一个在区间0,1上,一个在区间令①当时则解得:②当时即,故,将代入可得:,解得:满足方程两个根中,一个在区间0,1上,一个在区间综上所述,实数的取值范围为:.故答案为:.解答题(本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15.已知关于的不等式的解集为，其中.（1）若，求的值；（2）求不等式的解集.【答案】（1）（2）答案见解析【解析】【分析】（1）分析可知，关于的方程的两根分别为、，利用韦达定理可求得实数的值；（2）对实数的取值进行分类讨论，结合一次不等式或二次不等式的解法可求得集合；解：（1）当时，则关于的方程的两根分别为、，由韦达定理可得，解得.（2）原不等式即为.当时，原不等式即为，解得，此时，；当时，方程的解为，，若，解不等式可得或，此时，；若，即，则原不等式即为，此时，；若，即，解不等式可得，此时，；若，即，解不等式可得，此时，.综上所述，当时，；当时，；当时，；当时，；当时，.已知.（1）若，求的值；（2）若，且，，求的值.解：（1）因为.因为，则，所以，.（2）由，，可知，，所以.因为、，则，且，可得，则，所以.已知函数（1）若a=2，当时，求函数的值域；（2）若关于的方程在区间上有两个不相等的实根，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【详解】（1）当时，.设，因为，所以.则，.因为该函数在上单调递减，在上单调递增.且，，所以，所求函数的值域为：（2）设，因为，所以.问题转化为：方程在1,4上有两个不等实根.所以.所以，实数的取值范围是：18.已知函数，若函数在区间上的最大值为.（1）求实数的值；（2）将函数的图象向左平移个单位长度，得到图象.若对任意，，当时，都有成立，求实数的最大值.【答案】（1）.（2）.【分析】（1）化简函数解析式可得，结合正弦函数性质求在上的最大值，列方程求；（2）由条件可得函数在单调递增，根据函数变换求，结合辅助角公式化简，求其单调递增区间，列不等式求的最大值.解（1）当时，，所以当，即时，有最大值为，所以，所以.（2）因为对任意，，当时，都有，即，记，则，所以在上是增函数.又.所以所以令，求得.故的单调增区间为，，所以，当且仅当取时满足条件，所以所以实数的最大值为.19.已知函数（1）若函数为奇函数，求实数值；（2）对于给定的常数，是否存在实数，使得函数的图象关于直线对称，如果存在，求出的值，如果不存在，说明理由；（3）当时，比较与的大小，并给出证明.【答案】（1）（2）存在，（3）相等，证明见解析【分析】（1）根据奇函数的定义列方程求；（2）假设存在满足条件，由次可得函数为偶函数，结合偶函数性质列方程求；（3），展开结合指数幂运算及性质证明结论.解：（1）因为为奇函数，所以，故，所以，因此，（2）存在.假设函数的图象关于直线对称，则函数为偶函数，所以，所以，所以，所以，所以，所以，，因此当时，使得函数的图象关于直线对称；（3）.