石家庄市2024～2025学年度第一学期期末教学质量检测高一数学（本试卷满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，结合集合交集的概念，即可求解.【详解】由集合，集合B由，所有偶数构成，集合A中只有-2,2两个偶数，故.故选：B.2.已知幂函数的图象过点，则函数的定义域为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设，根据条件求出，然后根据函数的解析式，列出不等式求得定义域.【详解】设，∵函数的图象过点，∴，则，∴，∴，∴且，即，则函数的定义域为.故选：D.3.设，则“”是“”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】求绝对值不等式、一元二次不等式的解集，根据解集的包含关系即可判断充分、必要关系.【详解】由，可得，即；由，可得或，即；∴是的真子集，故“”是“”的充分而不必要条件.故选：A4.已知，则的值为（）A. B. C.1 D.2【答案】A【解析】【分析】先使用诱导公式，将要求的式子进行化简，然后再将带入即可完成求解.【详解】由已知使用诱导公式化简得：，将代入即.故选：A.5.已知定义在R上的函数f(x)满足f(﹣x)=f(x)，且函数f(x)在(﹣∞，0)上是减函数，若则a，b，c的大小关系为（）A.a生活中处处享受着科技带来的“红利”.例如主动降噪耳机让我们在嘈杂的环境中享受一丝宁静，它的工作原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的声波来抵消噪声（如图所示）.已知某噪声声波曲线为，且经过点，降噪芯片生成的降噪反向声波曲线为.下述四个结论：①函数是奇函数；②函数在区间上单调递减；③对于，都有；④.使得.其中所有正确结论的编号是______.【答案】①③【解析】【分析】由经过可求出的解析式，利用图象平移得到解析式，进而可以得到的解析式，就可判断①；求出相位的取值范围，再结合正弦曲线即可判断②；求的值，可判断③，利用，分、、三种情况求的化简式可判断④.【详解】因为经过，所以，即，解得，又，所以，则.对于①，令函数的周期为T，则由图可知，将噪声声波曲线向左平移，即可得到降噪反向声波曲线，所以;所以，所以函数是奇函数，故①对；对于②，因为，当时，，所以在时单调递增，故②错；对于③，，所以恒为0，故③对；对于④，当时，，当时，，当时，，故④错误；故答案为：①③四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知集合，.（1）若，求，及；（2）若，求的取值范围.【答案】（1），，.（2）.【解析】【分析】（1）运用集合交、并、补运算即可.（2）分别解、、时一元二次不等式的解集，结合集合包含关系求解即可.【小问1详解】当时，，又则，，.【小问2详解】因为，所以，又①当时，，显然成立；②当时，，显然不成立；③当时，，因为，，所以，即此时.综上，.故的取值范围为.16.已知不等式的解集是.（1）求常数的值；（2）若在上单调递减，求实数的取值范围.（3）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用韦达定理，由一元二次不等式的解集求系数；（2）由二次函数单调性的特征，求实数的取值范围；（3）由一元二次不等式恒成立的条件，求实数的取值范围.小问1详解】不等式的解集是，和3是方程的解，且，∴，解得.【小问2详解】若在上单调递减，则，解得，则实数的取值范围为.【小问3详解】若关于的不等式的解集为，则，解得，实数的取值范围为.17.已知锐角的终边与单位圆相交于点.（1）求实数及的值；（2）求的值；（3）若，且，求的值.【答案】（1），；（2）（3）【解析】【分析】（1）由题意列式即可求解m，再由正切函数定义即可得解；（2）由锐角的终边上点的坐标求得，结合余弦两角和公式和倍角公式即可计算得解；（3）由和角的范围，求得，再巧妙地把所求转化为，然后借助正弦两角差公式即可计算得解.【小问1详解】由于点在单位圆上，且是锐角，可得，，则，；【小问2详解】因为锐角的终边与单位圆相交于点，所以，，可得，，所以.【小问3详解】因为为锐角，所以，又，所以，因为，所以，所以.18.近年来，某市认真践行“绿水青山就是金山银山”生态文明理念，围绕良好的生态禀赋和市场需求，深挖冷水鱼产业发展优势潜力，现已摸索出以虹鳟、鲟鱼等养殖为主方向.为扩大养殖规模，某鲟鱼养殖场计划在如图所示的扇形区域OMN内修建矩形水池ABCD，矩形一边AB在OM上，点在圆弧MN上，点在边ON上，且，米，设.（1）求扇形OMN的面积；（2）若，求矩形ABCD的面积；（3）若矩形ABCD的面积为，当为何值时，取得最大值，并求出这个最大值.【答案】（1）平方米.（2）平方米.（3），最大值为.【解析】【分析】（1）由扇形面积公式可得；（2）根据，求得和的长度，即可求得矩形的面积；（3）利用直角三角形利用半径与分别表示出，进而可得矩形面积表达式，利用辅助角公式将化简变形，结合角的范围求最大值可得.【小问1详解】由题意，，扇形半径即米，则扇形OMN的面积为平方米.【小问2详解】因为，在中，，，在中，，则，所以.则矩形ABCD的面积.所以当时，矩形ABCD的面积平方米.【小问3详解】在中，，，在中，，则，所以.则矩形ABCD的面积，所以，其中.由于，则当时，即时，.所以当时，取得最大值，最大值为.19.已知函数.（1）判断的单调性，并用单调性的定义证明；（2）若对，都有成立，求实数的取值范围；（3）是否存在正实数，使得在上的取值范围是？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）在上单调递增，证明见解析（2）（3）存在，且【解析】【分析】（1）直接由指数函数单调性，单调性的定义证明即可.（2）将原问题转换为不等式对恒成立.通过换元法以及对勾函数性质即可得解.（3）由函数单调性以及换元法转换为一元二次方程根的分布问题即可得解.【小问1详解】在上单调递增.任取，且，那么，，因为，所以，可得，又，所以，即，所以在上单调递增.【小问2详解】因为，所以，所以，由第（1）问知在上单调递增，所以，所以，即对恒成立.令，，只需，令，则，，因为在上单调递增，所以当时，，所以小问3详解】由第（1）问知，在上单调递增，所以所以为方程的两个实数根，即方程有两个不等的实数根，令，即方程有两个不等的正根，所以即，且，解得且，所以存在实数满足题意，且.【点睛】关键点睛：第二问关键是分离参数，第三问关键是换元转换为一元二次方程根的分布问题，由此即可顺利得解.