2024-2025学年江苏省连云港市赣榆高级中学等校高一下学期3月学情检测数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.sin60∘cos30∘−cos120∘sin30∘=(    )A.3−14 B.12 C.3+14 D.12.已知两个向量a=1,2，b=−x,1，若a/​/b，则x的值为(    )A.−12 B.12 C.32 D.−323.已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是(    )A.a+2b B.2a+b C.a−2b D.2a−b4.在△ABC中，“AB2+BC2b，则a>bC.两个非零向量a, b，若a+b=a−b，则a⊥bD.若a⋅c=b⋅c，则a=b10.已知α, β∈0, π2, cosα+β=513, sinα−β=35，则(    )A.sinα+β=1213 B.cosα−β=−45C.sin2α=6365 D.tanαtanβ=73311.正方形ABCD的边长为2，E在BC上，且BE=13BC，如图，点P是以AB为直径的半圆上任意一点，AP=λAD+μAE，则(    )A.λ最大值为13 B.μ最大值为1C.AP⋅AE最大值是2103+2 D.AP+12AD的最大值为3+22三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知平面内两向量a=3, 5, b=cosθ, sinθ，若a⊥b，则tanθ的值为          ．13.已知α∈0, π，且sinα−π3+3cosα=35，则cos2α−π12的值为          ．14.如图，在▵ABC中，AB=2, AC=1，D, E分别是直线AC, AB上的点，AE=2BE, CD=5AC，且BD⋅CE=−1，则∠BAC=          .若P是线段DE上的一个动点，则BP⋅CP的取值范围是          ．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知m=2e1+e2, n=λe1−e2，其中e1, e2是夹角为π3的单位向量．(1)当λ=3，求m与n夹角的余弦值；(2)若m与n夹角为钝角，求λ的取值范围．16.(本小题15分)已知α,β为锐角，tanα=12，cosα+β=−210．(1)求cos2α的值；(2)求α−β的值．17.(本小题15分)如图，A、B是单位圆上的相异两定点(O为圆心)，且∠AOB=θ(θ为锐角).点C为单位圆上的动点，线段AC交线段OB于点M．(1)求OA⋅AB(结果用θ表示)；(2)若θ=60∘，求CA⋅CB的取值范围．18.(本小题17分)设函数fx=cosxcosx−π6+3sin2x．(1)当x∈π12, π2时，求函数fx的最小值并求出对应的x；(2)在▵ABC中，角A,B,C的对边分别为a, b, c，若a=3，且fA2+π3=3，求▵ABC周长的取值范围．19.(本小题17分)设O为坐标原点，定义非零向量OM=a,b的“相伴函数”为fx=asinx+bcosxx∈R，向量OM=a,b称为函数fx=asinx+bcosx的“相伴向量”．(1)设函数ℎx=2sinπ3−x−cosπ6+x，求ℎx的“相伴向量”；(2)记OM=0,2的“相伴函数”为fx，若函数gx=fx+23sinx−1，x∈0,2π与直线y=k有且仅有四个不同的交点，求实数k的取值范围；(3)已知点Ma,b满足3a2−4ab+b2<0，向量OM的“相伴函数”fx在x=x0处取得最大值.当点M运动时，求tan2x0的取值范围．参考答案1.D 2.A 3.D 4.A 5.A 6.C 7.D 8.B 9.ABD 10.AC 11.BC 12.−35/−0.6 13.−31250 14.π3 ； ； ； ； ；；17128,25 15.【详解】(1)由已知，m=2e1+e2，e1, e2是夹角为π3的单位向量，所以m=m2=2e1+e22=4e12+4e1⋅e2+e22=4+4cosπ3+1=7，又λ=3，则n=3e1−e2，所以n=n2=3e1−e2=9e12−6e1⋅e2+e22=9−6cosπ3+1=7，又m⋅n=2e1+e2⋅3e1−e2 =6e12+e1⋅e2−e22=6+cosπ3−1=6+12−1=112，所以cosm, n=m⋅nm⋅n=1127⋅7=1114．(2)若m与n的夹角为钝角，则m⋅n<0且m, n不共线，所以m⋅n=2λe12+λ−2e1⋅e2−e22<0，且λ≠−2，2λ+λ−2cosπ3−1<0，且λ≠−2，所以λ<45且λ≠−2． 16.解：(1)因为α为锐角，且tanα=12，所以sinα=15，cosα=25，所以cos2α=2cos2α−1=2×(25)2−1=35．(2)由(1)知，sin2α=2sinαcosα=2×15×25=45，因为α，β为锐角，cos(α+β)=−210，所以sin(α+β)=1−cos2(α+β)=7210，则tan2α=43，tanα+β=−7，则tanα−β=tan2α−α+β=tan2α−tanα+β1+tan2αtanα+β=−1，因为α，β为锐角，所以−π2<α−β<π2，所以α−β=−π4． 17.【详解】(1)OA⋅AB=OA⋅OB−OA=OA⋅OB−1=cosθ−1=−2sin2θ2；(2)当θ=60∘时，OA⋅OB=12，CA⋅CB=OA−OC⋅OB−OC=OA⋅OB−OA⋅OC−OC⋅OB+1．设∠BOC=α，由条件知：α∈0,2π3，∴CA⋅CB=32−cosπ3+α−cosα=32−12cosα+32sinα−cosα=32−32cosα+32sinα=32−332cosα−12sinα=32−3cosα+π6，∵α∈0,2π3，则α+π6∈π6,5π6，∴cosα+π6∈−32,32，∴CA⋅CB∈0,3． 18.【详解】(1)因为fx=cosxcosx−π6+3sin2x=32cosxcosx+12cosxsinx+3sin2x=32cos2x+14sin2x+3sin2x=32sin2x+32+14sin2x=14sin2x−34cos2x+334=12sin2x−π3+334，因为x∈π12, π2，所以2x−π3∈−π6, 2π3，由y=sinx的图象与性质知，当2x−π3=−π6，即x=π12时，函数fx取到最小值为−14+334，即当x∈π12, π2时，函数fx的最小值为−14+334，此时x=π12．(2)因为fA2+π3=3，由(1)得到，12sin2×A2+π3−π3+334=12sinA+π3+334=3，即sinA+π3=32，又在▵ABC中A∈0, π，则A+π3∈π3, 4π3，所以A+π3=2π3，即A=π3，又a=3，由余弦定理a2=b2+c2−2bccosA，得到3=b2+c2−bc，又由基本不等式知，bc≤b+c22，当且仅当b=c取等号，所以3=b2+c2−bc=b+c2−3bc≥14b+c2，则b+c≤23，又因为b+c>a=3，所以23