长郡中学2025届高三月考试卷（八）数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.复数z满足，则的虚部为（）A. B. C. D.【答案】D【详解】，则，故的虚部为.故选：D.2.已知集合，，则的真子集的个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【详解】或，∴，∴，故的真子集个数为3个.故选：C.3.若函数为偶函数，则实数（）A.1 B. C.－1 D.【答案】D【详解】由函数为偶函数，可得，即，解之得，则，，故偶函数，符合题意.故选：D.4.空间内有五点A，P，Q，S，T，则“”是“Q为重心”的（）A.充要条件 B.充分不必要条件C.既不充分也不必要条件 D.必要不充分条件【答案】D【详解】当Q为重心时，可得，所以，所以，所以，∴成立；设，如图所示则Q可不为重心.所以“”是“Q为重心”的必要不充分条件.故选：D.5.已知，，则（）A. B. C. D.【答案】C【详解】由两边平方，得，∴，，而，，∴，∴，∴.故选：C.6.若，，，，构成等差数列，公差，，且其中三项构成等比数列，设，，则下列说法正确的是（）A.k一定大于0 B.，，可能构成等比数列C.若，，则为5的倍数 D.【答案】C【详解】A.取，则，，为等比数列，，故A错误.B.，与公差，矛盾，故B错误.C.为5的倍数，故C正确.D.，故D错误.故选：C.7.双曲线C：的左、右焦点分别为，，离心率为，点P在C上，，则的外接圆与内切圆的半径之比为（）A. B. C. D.【答案】D【详解】设中的外接圆半径为R，内切圆半径为r，，，不妨设，则，中，由正弦定理，得，中，由余弦定理，得，∴，，∵，∴，∵，∴.故选：D.8.已知正方体，如图，延长至P使，O为的中点，设交平面于K，则下列说法正确的是（）A.与异面 B.C.的余弦值为 D.平面与平面的夹角的正切值为【答案】D【详解】连接，易知，，所以四边形为直角梯形，与相交，故A错误；令正方体的棱长为3，由知，，，所以，，故B错误；以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，，∴，故C错误；由，，，，，易知平面的法向量，设平面的法向量，则，则，可得，取，得，，则，∴，，，∴，，∴，D正确.故选：D.二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.下列结论正确的是（）A.若随机变量，则B.测量重力加速度大小实验中所测g的值服从正态分布，则越大时，测得的g在间的概率越大C.某次考试中有三道题，小黄同学做对每道题的概率均为，则他做对的题数的期望为2D.已知某10个数据的平均值为7，方差为1.1，则加入一个数据7后方差变为1【答案】CD【详解】对于A，，，故A错误；对于B，当为定值时，正态密度曲线的峰值与成反比，越大，峰值越低，测得的g越分散，即在间的概率越低，故B错误；对于C，做对的题数X服从二项分布，故，故C正确；对于D，，故D正确.故选：CD.10.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，交于点M，交于点D，则（）A. B.C. D.若的面积为18，，则【答案】ACD【详解】，当且仅当时取等，选项A正确；设，由可得，由B，D，C三点共线可得，，即，D是边BC的中点，选项B错误；因为D是边BC的中点，则，即，选项C正确；因为，则，由，可知，，则，且，则，选项D正确.故选：ACD.11.函数的定义域为，对，x，，恒成立，且，下列说法正确的是（）A.的图象关于对称B.若在上单调递减，则对x，，C.若是公差不为零且恒不为零的等差数列，则有D.若为等比数列，公比为3，则【答案】BD【详解】对于A，，，相加得，故，故的图象关于对称，故A错误；对于B，（*），又，所以即，故B正确；对于C，左边，右边，所以左边－右边，又对，x，，，所以，所以，故C错误；对于D，令，则，，由（*）得，所以，故D正确.注：是解之一，全部解为，，，因为.故选：BD.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知，其中，，则的最小值为______.【答案】20【详解】由知，由知，故，所以，所以，当且仅当时取等号.故的最小值为.故答案：20.13.已知，，则的值为______.【答案】0【详解】不妨令，设，因，则，，由可得：，故.故答案为：0.14.一副二色牌共有纸牌22张，其中红、蓝每种颜色各11张，编号分别为0，1，2，…，10，从这副牌中任取若干张牌，然后按照如下规则计算分值：每张编号为k的牌记为分，若它们的分值之和为2025，就称这些牌为一个“好”牌组，则“好”牌组的个数为______.【答案】2026【详解】因，设x为一个“好”牌组中，未出现的编号的最大值（且），由知“好”牌组中不可能每种编号的牌都有，知x必然存在，当时，由于，则编号为，，…，10的牌各恰有一张，此时剩余要取出的分值为，且此时只能从编号为0，1，2，…，的牌中取，而编号为0，1，2，…，的所有牌的分值总和为，因此只需从编号为0，1，2，…，的牌中去除21分，由于，则只能从编号为0，1，2，3，4的牌中取出21分，又，共种取法，对，6，7，8，9，10进行计数，总共有种取法；当时，则编号为5，6，7，8，9，10的牌各恰有一张，此时剩余要取出的分值为，又，共种取法，以上取法均满足，那么总共有种取法，综合与的情况，可得共有个“好”牌组.故答案为：2026.四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知数列满足，，令.（1）证明：数列为等比数列；（2）在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列.在数列中是否存在3项，，（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）不存在，理由见解析【小问1详解】法一：∵，∴若，则；若，则，∵，∴，∴，∴为等比数列.法二：∵，，∴，∴，即，又，所以是首项为，公比为的等比数列.【小问2详解】由（1）知，由题意知，即，假设存在3项，，成等比数列，则，∴，∵，∴化简可得，∴，这与已知条件m，k，p互不相等矛盾，所以不存在3项，，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列.16.已知抛物线C：，直线交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，.（1）求证：弦过定点；（2）已知弦的中点为T，点关于直线对称的点Q在抛物线C上，求的面积.【答案】（1）证明见解析（2）【小问1详解】设直线：，，，联立，∴，又，代入得，∴，∴弦过定点.【小问2详解】由（1）知定点也为抛物线焦点，又关于直线对称，∴，可得，即，∴，当时，的中点为，则，：，∴，∴，此时；由对称性可知，当时，.综上，.17.如图，直三棱柱中，，，.（1）当时，证明：平面平面；（2）当，记平面与平面，平面，平面，平面所成的角分别为，，，，，求的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）【小问1详解】设，∵为直三棱柱，且，当时，此时P为的中点，∴在中，，，则，∵平面，平面，∴，又∵，，∴平面，又平面，∴，∵，平面，∴平面.∵平面，∴平面平面.【小问2详解】由（1）知，，两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，.设平面的法向量，则令，则，同理，平面的法向量，平面的法向量，平面的法向量，平面的法向量，∴，同理，，，∴，，∴，∴的取值范围为.18.已知函数.（1）求的定义域；（2）求证：无论a取何值，都有两个极值点；（3）设的极大值点为，极小值点为，求证：.【答案】（1）（2）证明见解析（3）证明见解析【小问1详解】函数中，，解得或，所以函数的定义域为.【小问2详解】求导得，令，由，，得，，因此方程有两个不等实根，显然，当或时，，当或时，，则有两个变号零点，所以函数始终有两个极值点.【小问3详解】由（2）知，，，，，由，得，，，，，令，则，令，求导得，函数在上单调递增，，所以.19.（1）已知集合，，若集合，其中，，满足，写出所有符合条件的C；（2）集合，，从M，N中各自等概率地取出一个元素a和b，，求X的数学期望；（3）若集合，，满足，，考虑以下2500个数（可以相同）：，，对，设为k在上面2500个数中出现的次数，证明：.（注：表示，，…，中最小的数，.）【答案】（1），，，；（2）；（3）证明见解析【详解】（1），，，.（2）1出现50次，2、3出现49次，4、5出现48次，…，98、99出现1次，100出现0次.故.（3）不妨设，即满足的组数，刚只需且，这样的组数有组.由基本不等式，而为所有小于11的，的数量，即，故，即证