2025年普通高等学校招生全国统一考试模拟测试（二）数学参考答案一、单项选择题题号12345678答案DCABCBAD二、多项选择题题号91011答案BCBCDACD三、填空题12.13.14.，解答题15.解：（1）由余弦定理得， 2分所以， 4分（没变形但答案正确不扣分）所以. 6分（2）由正弦定理得， 7分整理得， 8分（正弦定理与正弦二倍角公式各1分）因为，所以， 9分所以， 10分（化简最后结果正确即可得分）因为，所以，解得， 11分所以， 12分（与都没有扣1分）所以. 13分（答案正确，面积公式没写不扣分）解：（1）由已知得， 1分设点，则，且，所以， 2分因为，所以， 3分因为，所以，所以. 5分另解：因为，所以， 3分因为，所以，所以. 5分（x范围写错，但题目过程思路正确，给3分）（2）解法一：假设四边形是以为对称轴的，则，且的中点在上, 6分设，，则，，， 7分（说明M是AC中点，且写出中点坐标关系即可得分）所以， 8分因为点在第一象限，且，所以， 9分所以， 10分所以， 11分因为三点共线，所以， 12分所以， 13分因为，与矛盾，故假设不成立， 14分所以四边形不能是以为对称轴 15分解法二：假设四边形是以为对称轴的，则，且的中点在上， 6分因为点在第一象限，所以直线斜率存在且直线不过原点， 7分设直线的方程为， 8分联立得，消去并整理得， 5分（注：设直线AC方程时，没有说明ｋ存在，扣１分）设，则 10分所以的中点为， 11分因为三点共线，所以， 12分所以， 13分因为，与矛盾，故假设不成立， 14分所以四边形不能是以为对称轴 15分另解：因为，所以，则直线OB方程为： 12分因为的中点在上，所以代入直线OB方程得：，解得ｍ＝０，即直线AC过原点O 14分所以A、O、C三点共线，与OABC为四边形矛盾，所以四边形不能是以为对称轴 15分17.解：（1）如图，连接，，，和 1分因为，，为中点，所以， 2分又因为，平面，所以平面 3分同理平面 4分因为平面与平面有公共点，且垂直于同一条直线 5分所以，，，四点共面 6分注：①第5分，原因有道理即可给分，若没有写，这1分不给（2）法一：如图，以，分别为轴，轴，以过点且垂直于平面的直线轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，，， 8分由（1）得为二面角的平面角设，则点 9分故，，，设平面的法向量为，则，即，解得,取,得 11分设直线与平面所成角为，则 12分其中，， 13分当时，取得最大值， 14分所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为. 15分注：②第8分，建系正确就给1分，建系正确且D点坐标正确就给2分③以下是x轴和y轴正方向不同时，对应的A，C，D的坐标及平面ACD的法向量，供参考（2）法二：如图，以，分别为轴，轴，以过点且垂直于平面的直线轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，，， 8分设点， 9分故，，，设平面的法向量为，则，即，解得,取,得 11分设直线与平面所成角为，则 12分求的最大值，即求的最大值令，即表示一条直线，表示圆，所以当直线与圆相切时，取得最大值 13分则圆心到直线的距离等于圆的半径3，即，所以 14分所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为. 15分解：（1）质点运动3次后停在原点右侧的情况有4种，分别是：0次不动、3次向右、0次向左；1次不动、2次向右、0次向左；0次不动、2次向右、1次向左；2次不动、1次向右、0次向左. 2分所以质点运动3次后停在原点右侧的概率. 4分说明：每1种情况分析、列式正确得1分.（分类不完整，每少一种情况扣2分；分类完整，概率计算错误扣1分）（2）①质点在运动过程中出现在原点左侧就停止运动且运动5次后停在原点右侧的情况有4种：5次向右；第1次向右、后4次有3次向右1次向左；前2次向右、后3次有1次向右2次向左；第1次向右、第2次向左、第3次向右、后2次有1次向右1次向左. 6分所以质点在运动过程中出现在原点左侧就停止运动且运动5次后停在原点右侧的概率. 8分说明：每1种情况分析、列式正确得1分.（分类不完整，每少一种情况扣2分；分类完整，概率计算错误扣1分）②第一轮游戏结束进入第二轮游戏的情况有2种，分别是3次向右；2次向右，1次向左.其概率为； 9分设两轮游戏最终得分的随机变量为，则的所有可能取值为0，1，3，易知的期望仅与1，3的概率只有关，因此，， 10分所以最终得分的期望， 11分（计算每个概率时未乘，给1分）因为，所以，即，所以当时，；当时，； 12分记，求导得记， 13分解法一、①当时，，因为，，，所以由零点存在定理，存在，使得；存在，使得，当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以是的极大值点，所以. 15分②当时，，因为，，，所以由零点存在定理，存在，使得；存在，使得，若要使得在上存在极大值点，则，解得或，因为，所以.综上所述. 17分解法二、令，得，令，，①当时，，，，，易得在上单调递增，，（ⅰ）当时，当时，，由极大值点的定义判断，函数在上存在唯一极大值点；（ⅱ）当时，，，当时，恒成立，即，由极大值点的定义判断，函数在上存在唯一极大值点；所以. 15分②当时，，，，，易得在上单调递增，当时，，由极大值点的定义判断，只需即可，即，解得解得或，因为，所以.综上所述. 17分（①②两种情况中，未区分当时，；当时，两种情况，对进行分析，酌情给1-2分）19.解：（1）由题意得,， 2分（与每算对一个给1分）所以，. 4分（与每算对一个给1分）（2）由题得，所以. 5分因此中的数对必由中的数对经运算得到，中的数对必由中的或数对经运算得到， 6分（能说明“要产生，必需，要产生，则需要或给2分）因为是数组，其中有一半的项为0，即个0，经过两次运算能在中产生个数对， 7分因为中数对的个数为个，经过两次运算能在中产生个数对， 8分所以，即， 9分所以，（少此步扣1分）所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列. 10分（3）当为奇数时，，累加得因为，所以（为奇数）. 11分当为偶数时，，累加得因为，所以（为偶数）. 12分所以，故. 13分（或均得1分）因为当且为偶数时，. 14分①当时，； 15分②当且为奇数时，； 16分③当且为偶数时，因为对任意的都有，所以;综上所述，对任意的都有. 17分