2024-2025学年安康市高三年级第三次质量联考数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动、用椽皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的圈个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合17=[1,2,3,4,5,6),4={1,2,3),8={2,4,6},则([14)八8=A.(6)B.{4,6)C{2,4,6}D.{2,4,5,6}2.已知复数z=3—2i,则(n—z)z=A.8+121B.8-12iC.-8+12iD.-8-12i3.有一组样本数据』，工2，・一与，其平均数为三,方差为4,若样本数据一』+1,一工2+1，…,一4+1的平均数为三，方差为迷，则A.J72=J：1—1B.X2=X1C.S|=S2D.S；＞S：4已知抛物线—=16?上的点M到焦点F的距离为6,则点M到y轴的距离为A.272B.W2C.2D.4535.已知a=111方,6=方y=10823,则A.a+l%+2桁+3々加+之。2111.在平面直角坐标系上的一只蚂蚁从原点出发，每次随机地向上、下、左、右四个方向移动1个单位长度，移动6次，则A.蚂蚁始终未远离原点超过1个单位长度的概率是表B.蚂蚁移动到点(3,3)的概率为岛C.蚂蚁回到原点的概率为悬D.蚂蚁移动到直线y=工上的概率为弓10三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若函数ksin皿3>0)的最小正周期为千，则3=▲.13.函数fGr)=z2(ln工一D的谡小值为▲.av214.已知双曲线C：三一3=l(a>0,6>0)的左、右顶点分别为A1,Az，F是双曲线C的左焦点,P为双曲线C的左支上任意一点(异于点A]),若NFFA2=2NFA2F,则双曲线C的离心率为▲.【高三数学第2页(共4页)]四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)在AABC中，内角A,B,C所对的边分别为aAc,已知asinC=csin2A.(1)求角A的大小；(2)若AABC的周长为3a•证明:△ABC为等边三角形.16.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为矩形,PA=AD=2,AB=4,AD_LPB,PA_LAB,E是线段AB的中点.(D证明:PAJ_平面ABCD.(2)求平面APE与平面CPE夹角的余弦值.17.(15分)现有一堆除颜色外其他都相同的小球在甲、乙两个袋子中,其中甲袋中有3个红色小球和3个白色小球，乙袋中有2个红色小球和3个白色小球.小明先从甲袋中任取2个球不放回，若这2个球的颜色相同，则再从乙袋中取1个球;若这2个球的颜色不相同，则再从甲袋中取1个球.(D求小明第二次取到的球是红球的概率；(2)记X为小明取到的红球个数，求X的分布列及期望值.【高三数学第3页(共4页)]18.（17分）22给定椭圆C：3+%=l（〃>6>0）,将圆心为坐拆原点,6为半径的圆称为椭圆C的“内切ab圆”.已知椭圆c：3+方=1（〃>6>0）的两个顶点为A（O,1）,B（O,-D漓心率为9.aD4（1）求椭圆C的方程.（2）直线Z过椭圆C的右焦点，并与椭圆C相交于E,G两点，且|EG|=）,求直线/的方程.（3）M是椭圆C的“内切圆”上一点（M与A,B不重合），直线AM与桶圆C的另一个交点为N.记直线BM,BN的斜率分别为M也，证明:空为定值.力219.（17分）已知函数/（x）=3x2-8sin（x+^），其中I夕⑴若/（工）是偶函数,求夕；⑵当（p=0时，讨论”］）在［0,+8）上的零点个数；⑶已知少£（一半。］,若Vz>0,f（工））。，求cp的取值范围.【高三数学第4页（共4页）】2024-2025学年安康市高三年级第三次质量联考数学试卷参考答案1.B由题可知CuA={4,5,6},所以（CuA）nB={4,6}.2.D由z=3-2i,可得$=3+2i,故（z-1）z=（3-2i-3-2i）（3-2i）=-4i（3-2i）=-8-12i.3.C由题可知支2=—必+l，s：=M,故选C.4.B设MG。,？。），因为点M到焦点F的距离为6,所以y0+4=6,解得）。=2.因为式=16yo,所以|所|=4夜，即点M到y轴的距离为44.55.Aa=lnwVlV6,2c=21og23=log29>3=2Z>,所以«<60）,由S产2s3-Sz+6,可得劭=。3+6,因为。2=1，所以q2=q+6,解得q=3,故=々21=27.7.D连接ED（图略），则匕）川惭=4><3><6义2偌=12乃,%皿=4义6><焉><2乂2乃=OOu46,故六面体ABCDFE的体积为16痣.8.A因为/Q・+l）+i为偶函数，所以一1）一1,两边同时对1求导得，（1+]）+1=—/'（1一]）一1,即，（1+3）+，（1-2=-2,令Z=0,则/'（1）=一1,又，（1+l）+/'（1一胃）=一2,所以/'（一比）=一2一/'（2+i）,因为/'（1）为奇函数，所以/'（一]）=一/'包）,两式联立得一/'包）=一2—，（2+彳），即/'包+2）=/'（1）—2,所以/（101）=/,（2X504-l）=/（l）-2X50=-101.9.ABD|。|=厅百=所,A正确;a+25=（l,2）+2（l,-l）=（3,0）,B正确；cos〈a,B〉=:面、义\=_噜>（3错误;a在b上的投即向量的坐标为宿=-1）=（­y,4-）,D正确.10.ABD令相=1,可得<2+]=〃“+（2]+2〃=4+27?+1,即a”+]—a”=2〃+l>0,B正确;a„—a|+（42-即）+（43—42）+，+（々”-a„-i）=1+3+5+…+2〃­1=彳~-^—=产,所以卬=16,匕”}不是等差数列，A正确,C错误；因为★=*；=!—*，所以南+春+W+…+藐%=（】一3）十弓得）+…+忌得）=算口正确.11.ACD蚂蚁始终未远离原点超过1个单位长度的概率是（十）3=专,A正确.将蚂蚁向上、下、左、右四个方向移动的步数分别记为U,D,L,R,则U+D+L+R=6.【高三数学•参考答案第1页（共5页）】..蚂蚁移动到点(3,3),则。=3,。=01=0,1?=3,所以蚂蚁移动到点(3,3)的概率为*=念，B错误.蚂蚁移动到原点，则U-D=O，L—R=O,当U=D=3,L=H=0或U=D=0,L=R=3时，有2a=40种走法;当U=D=1,L=R=2或U=D=2,L=R=1时，有2C|C；Cj=4002S360种走法.所以蚂蚁回到原点的概率为学=彘,C正确.蚂蚁移动到点(2,2),则U—D=2,R—L=2,则U=3,D=l,R=2,L=0或U=2,D=0,R=3,L=l,有C；戢C；=120种走法.蚂蚁移动到点(1,1),则U-D=1,R-L=1,当。=3,£)=2,火=1,1=0或。=1,。=0,R=3,L=2时，有2C|Cf=120种走法；当U=2,D=1,R=2,L=1时，有C|C；Cj=180种走法.所以蚂蚁移动到直线丁=支上的概率为(2°+12°+；?°)X2+400=卜，口正确.12.8依题意得红=手，所以3=8.O)413.—t1)+彳=£(2仙1),支＞0,令，(龙)=0,解得比=e所以/(1)在乙1±1/1\(0,r)上单调递减，在(e+8)上单调递增，故/(%)的最小值为/(e7)=ex(y-l)=__e~~2,14.2设P(£o，y()),则x0<­a，不妨令yQ>0.tanZ-PFA2=—~r~,tanZ,PA2F=lo十c2yQ—2”o(1ro-a)—2vo(io—a)所以tan2/_PA2F=---—―-(a。-a一代(x0—a)z—b2(^—l)J。-a—2»o_-2^o_.f~一Vo再--------不_tan/P——汴,~b^=xQ-a---7(io+a)(1a'一了15.(1)解：由asinC=csin2A及正弦定理，得sinAsinC=sinCsir12A..........2分因为sinC>0,所以sinA=2sinAcosA,................................4分则cosA=•，得A=^\.............................................6分LtO(2)证明：由余弦定理得/+,.2—6,=/...................................8分【高三数学•参考答案第2页(共5页)】因为△ABC的周长为3a,即。+c=2a,...9分所以4/+4c2-4A=(6+c)2,即(〃一c)2=0,11分所以b=c=a，故△ABC为等边三角形...........13分16.(1)证明：由题意得ABJ_AD,因为ADJ_PB,ABnPB=B,ABU平面PAB,PBU平面PAB,所以ADJ_平面PAB,.........................3分又PAU平面PAB,所以AD_1_PA.....................5分因为PAJ_AB,ABnAD=A,所以PAJ_平面ABCD..............................7分(2)解：由(1)知AB,AD,AP两两互相垂直，以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0),D(0,2,0),P(0,0,2),C(4,2,0),E(2,0,0),所以PC=(4,2,-2),PE=(2,0,-2).8分设平面CPE的法向量为〃=Cr,y,z),n•PC=0,4支+2)-2z=0,则_A即令2=1,得1=1,丁=-1,n•PE=Qy2a—2z=0,所以〃=(1,-1,1)...................10分又平面PAE的一个法向用为无方=(0,2,0),12分_A__D__•_n__2所以|cos〈A$,〃〉|=\AD\\n\一痣X2-3'/o故平面APE与平面CPE夹角的余弦值为号.15分O17.解：(1)设“小明第一次取到的2个球颜色不同”为事件4，“小明第一次取到的2个球都是红球”为事件A、，“小明第一次取到的2个球都是白球”为事件43，“小明第二次取到的球是红球”为事件B,C'C19c2-I-C2则P(B)=P(A])P(B|A|)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=Mx?+^r^