九江市2023年第一次高考模拟统一考试数学试题（文科）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.全卷满分150分，考试时间120分钟.考生注意：1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名等内容填写在答题卡上.2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第II卷用黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效.第Ⅰ卷（选择题60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则(A)A. B. C. D.解：，，故选A.2.复数满足，则的虚部为（A）A. B. C. D.解:，虚部为，故选A.3.若实数满足约束条件，则的最大值为(D)A. B. C. D.解：由约束条件作出可行域，如图中阴影部分所示.易知目标函数的最大值在处取得，.故选D.4.已知等差数列的前项和为，若，，则(C)A. B. C. D.解：依题意得，解得，，故选C.5.为了学习、宣传和践行党的二十大精神，某班组织全班学生开展了以“学党史、知国情、圆梦想”为主题的党史暨时政知识竞赛活动.已知该班男生20人，女生30人，根据统计分析，男生组成绩和女生组成绩的平均分分别为，则该班成绩的平均分是（D） A. B. C. D.解：该班成绩的平均分是，故选D.6.在几何学中，单叶双曲面是通过围绕其主轴旋转双曲线而产生的表面.由于有良好的稳定性和漂亮的外观，单叶双曲面常常应用于一些大型的建筑结构，如发电厂的冷却塔.已知某发电厂的冷却塔的立体图如图所示，塔的总高度为150m，塔顶直径为80m,塔的最小直径（喉部直径）为60m，喉部标高（标高是地面或建筑物上的一点和作为基准的水平面之间的垂直距离）为110m，则该双曲线的离心率约为（精确到0.01）(B) A. B. C. D.解：设双曲线标准方程为(，)，依题意知，点在该双曲线上，，，，，，故选B.7.已知，则(C)A. B. C. D.解：，，即，.故选C.8.三棱锥中，与均为边长为的等边三角形，若平面平面，则该三棱锥外接球的表面积为（B）AEO1OO2BDCA. B. C. D.解:分别过与外接圆圆心作平面与平面的垂线，交于点，即为球心.易得，，，.故选B.9.已知，，，则的大小关系是(B)A. B. C. D.解：，，由指数函数单调递减，可知，，故选B.10.已知椭圆()的左右焦点分别为，过的直线交于两点，直线交轴于点，若，，则椭圆的焦距为（A）A. B. C. D.解：如图，，，为的中点，又为的中点，轴，轴，为等边三角形，，，，故选A.11.已知函数的定义域为，若为偶函数，且，，则(A)A. B. C. D.解：由，令，得.令，得，，.为偶函数，，即，曲线关于直线对称.又，曲线关于点中心对称，的周期.，，.故选A.12.已知函数()，点位于曲线的下方，且过点可以作3条直线与曲线相切，则的取值范围是(D)A. B. C. D.解：，设切点为，切线方程为，由于切线过点，，整理得.构造函数，有三个不同的零点，，易知，，即，即，又因为点在曲线下方，，即，，故选D.第Ⅱ卷（非选择题90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22-23题为选考题，学生根据要求作答.二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量，，若，则.解：，，，解得.14.2022年11月第十四届中国国际航空航天博览会在珠海举办.在此次航展上，国产大飞机“三兄弟”运油-20、C919、AG600M震撼亮相，先后进行飞行表演.大飞机是大国的象征、强国的标志.国产大飞机“三兄弟”比翼齐飞的梦想，在航空人的接续奋斗中成为现实.甲乙两位同学参观航展后各自从“三兄弟”模型中购买一架，则两位同学购买的飞机模型不同的概率是.解：设三架飞机模型分别为A,B,C.甲乙各购买一架的可能情况有9种：AA,AB,AC,BA,BB,BC,CA,CB,CC，其中两位同学购买的飞机模型不同有6种情况：AB,AC,BA,BC,CA,CB，所以两位同学购买的飞机模型不同的概率是.15.如图，在正三棱柱中，，为的中点，为线段上的点.则的最小值为. 解：将矩形沿翻折，使得六点共面，连接交于，则此时的值最小为.16.中，三内角所对边分别为，已知，，则角的最大值是.解法一：，由正弦定理得，由余弦定理得.而，消去可得，当且仅当时取等号.在上单调递减，.解法二：，又，，为锐角，且，即，为钝角，为锐角，而，在上单调递增，.三、解答题:本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)50607080901000.0500.0450.0400.0350.0300.0250.0200.0150.0100.005成绩(分)频率组距A地区分公司某IT公司在A，B两地区各开设了一家分公司，为了解两家分公司员工的业务水平，对员工们进行了业务水平测试，满分为100分，80分及以上为优秀.A地区分公司的测试成绩分布情况如下：成绩[50，60)[60，70)[70，80)[80，90)[90，100]频数52050205(1)完成A地区分公司的频率分布直方图，并求出该公司员工测试成绩的中位数；(2)补充完成下列列联表，并判断是否有的把握认为两家分公司员工业务水平有差异.优秀不优秀合计A地区分公司B地区分公司4060合计附：0.1000.0500.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.82850607080901000.0500.0450.0400.0350.0300.0250.0200.0150.0100.005成绩(分)频率组距A地区公司解：(1)A地区分公司的频率分布直方图如右：………3分由图知A地区分公司员工成绩在[50，70)的频率为………4分设该公司员工成绩的中位数为，则………5分解得………6分(2)补充完成列联表如下：优秀不优秀合计A地区分公司2575100B地区分公司4060100合计65135200………8分………10分故有的把握认为这两家分公司员工业务水平有差异………12分18.(本小题满分12分)已知数列的前项和为，且满足，，数列的前项积.(1)求数列和的通项公式；(2)求数列的前项和.解:(1)当时，，………1分当时，，化简得………2分，，数列是首项为2，公差为2的等差数列，………3分当时，………4分当时，………5分综上………6分(2)，设①则②………8分①-②得………9分………11分………12分19.(本小题满分12分)如图，直角梯形中，，，，，将沿翻折至的位置，使得.(1)求证：平面平面；DABCHDBFC(2)若，分别为，的中点，求三棱锥的体积.解:(1)，，，平面，平面………1分又平面，………2分由直角梯形，，，，，得………3分HDBFCE又，平面，平面………4分又平面，平面平面………5分(2)取的中点，连接，，，又平面平面，平面………6分直角梯形中，，，，,，………7分………9分………10分………11分，即三棱锥的体积为………12分20.(本小题满分12分)已知函数().(1)当时，求的最大值；(2)若，，求的取值范围.解:(1)当时，，………1分当时，；当时，………2分在上单调递增，在上单调递减………3分………4分(2)，易知在上单调递减………5分①由(1)知，当时，，符合题意………6分②当时，，，存在，使得………7分故当时，，单调递减，，不符题意，舍去………8分③解法一：当时，，，存在，使得………9分故当时，，单调递减，………10分令()，则，故在上单调递减，，，符合题意………11分综上所述，的取值范围是………12分解法二：当时，………9分，，故当时，，单调递减，………10分令()，则，故在上单调递减，，，符合题意………11分综上所述，的取值范围是………12分21.(本小题满分12分)已知过点的直线与抛物线交于两点，过线段的中点作直线轴，垂足为，且.(1)求抛物线的方程；(2)若为上异于点的任意一点，且直线与直线交于点，证明：以为直径的圆过定点.解:(1)由题意，可设直线的方程为.将代入，消去得………1分设，，则，………2分是线段的中点，，，即，又轴，垂足的坐标为………3分则，，xyPlBCADR，对任意的恒成立………4分，解得，故抛物线的方程为………5分(2)设，由(1)可知，，，，………6分则，直线的方程为………7分令，则，，同理………9分由抛物线的对称性可知，若以线段为直径的圆过定点，则定点必在轴上，设该点坐标为，则，，且，………10分，或………11分以线段为直径的圆过定点和………12分请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.(本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，已知曲线的参数方程为(为参数)，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为(为直线的倾斜角).(1)求直线的直角坐标方程和曲线的普通方程；(2)设，直线与曲线相交于两点，求的最大值.解:(1)由，得………1分由，，得直线的直角坐标方程为………2分由(为参数)，两式相除得………3分，整理得曲线的普通方程为()………4分(2)解法一：直线经过点，的参数方程为(为参数)，代入中，得………5分由，得………6分，………7分………8分,，，，当且仅当时，等号成立………9分故的最大值为………10分解法二：直线经过点，………5分由切割线定理得………7分，当且仅当为圆的直径时，等号成立………9分故的最大值为………10分23.(本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知均为正实数，且.(1)求的最大值；(2)求的最小值.解:(1)，又，，………1分………2分，当且仅当时，等式成立………3分即的最大值为………4分(2)令，，，则………5分，，，，当且仅当，即时，等式成立………6分由(1)知，………7分，………8分即，当且仅当时，等式成立………9分故的最小值为………10分