重庆八中离心率求法专题研究【知识梳理】c1.离心率公式：e=(其中c为圆锥曲线的半焦距)a(1)椭圆：e∈(0,1)(2)双曲线：e∈(1,+∞)(3)离心率是圆锥曲线的一个重要几何性质，一方面刻画了椭圆，双曲线的形状，另一方面也体现了参数a,c之间的联系。2.求离心率的方法：求椭圆和双曲线的离心率主要围绕寻找参数a,b,c的比例关系(只需找出其中两个参数的关系即可)，方法通常有两个方向：(1)利用几何性质：如果题目中存在焦点三角形(曲线上的点与两焦点连线组成的三角形)，那么可考虑寻求焦点三角形三边的比例关系，进而两条焦半径与a有关，另一条边为焦距，从而可求解。(2)利用坐标运算：如果题目中的条件难以发掘几何关系，那么可考虑将点的坐标用a,b,c进行表示，再利用条件列出等式求解。3.离心率的范围问题：在寻找不等关系时通常可从以下几个方面考虑：(1)题目中某点的横坐标(或纵坐标)是否有范围要求：例如椭圆与双曲线对横坐标的范围有要求。如果问题围绕在“曲线上存在一点”；则可考虑该点坐标用a,b,c表示，且点坐标的范围就是求离心率范围的突破口。(2)若题目中有一个核心变量，则可以考虑离心率表示为某个变量的函数，从而求该函数的值域即可(构造函数)。(3)通过一些不等关系得到关于a,b,c的不等式，进而解出离心率。注：在求解离心率范围时要注意圆锥曲线中对离心率范围的初始要求：椭圆：e∈(0,1)，双曲线：e∈(1,+∞)4.求椭圆或双曲线的离心率的值或取值范围，一般要尽快的列出与a,b,c有关的方程或不等式，然后消去b，转化为关于a,c的齐次方程或不等式，就能进一步解决问题.(求双曲线的渐近线的斜率的值或取值范围可借鉴此方式)①求值的问题主要是利用题中的等量关系，列出与a,b,c有关的方程.②求范围的问题相对复杂一些，主要是找出与a,b,c有关的不等关系，列出不等式或建立函数关系.【适当注意椭圆的焦半径|PF|∈[a-c,a+c]，双曲线的焦半径|PF|≥c-a或|PF|≥c+a以及双曲线的浙近线的斜率能否起作用；还有点在曲线上，坐标有限制：方程组或方程有解(判别式法；三角形中的边角不等关系.】5.解析几何的题中有时给出一些较复杂的向量关系式，首先应该考虑直接运用向量的相关知识(几何意义)化简，直接坐标化化简一般较繁琐!【方法归类】一.由特征量建立a,b,c的关系(特殊三角形、等量关系转换a,b,c的齐次式等)22xy2221.过双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一个焦点作圆x+y=a的两条切线，切点分别为A,B.若a2b2∠AOB=120°(O是坐标原点)，则双曲线C的离心率为()35A.B.2C.D.322a1c【解析】sin30°==，e==2.c2a【答案】Bx2y22.设F,F为双曲线-=1(a>0,b>0)的两个焦点，若F,F,P(0,2b)是正三角形的三个顶点，则双12a2b212曲线的离心率为()35A.B.2C.D.382∘2b22222222【解析】3=tan60=，4b=3c⇒4c-4a=3c⇒c=4a，e=4c【答案】Bx2y23.从椭圆+=1(a>b>0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F，A是椭圆与x轴正半轴的a2b21交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是()2123A.B.C.D.4222b2【解析】解法一(代数法)AB=(-a,b)OP=-c,a2b2222221AB∥OB⇒-a×=-c⋅b⇒b=c⇒a-c=c⇒a-2c⇒e=a2b2ba解法二(几何法)α=β⇒tanα=tanβ⇒=⇒b=cac【答案】Cx2y24.已知椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l:3x-4y=0交椭圆Ea2b24于A,B两点.若|AF|+|BF|=4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是5()3333A.0B.0C.1D.12424【解析】由l:3x-4y=0榸及椭圆均关于原点对称，连接AF1,BF1得▱AF1BF⇒4=|AF|+|BF|=|AF|+AF1⇒4=2a⇒a=2.4b4222cc3又d=≥⇒b≥1⇒b=4-c≥1⇒c≤3⇒e==≤.55a22【答案】A22xy2225.设F是椭圆+=1(a>0,b>0)的左焦点，若椭圆上存在点P，使得直线PF与圆x+y=b相a2b22π切，当直线PF的倾斜角为时，此椭圆的离心率是3()272523A.B.C.D.7522【解析】PF:y=-3⋅(x+c)⇒3x+y+3c=0d=3c=b⇒3c2=4b2=4a2-4c224a2=7c2e2=47【答案】A6.设椭圆C的两个焦点是F1,F2，过点F1的直线与椭圆C交于P,Q.若PF2=F1F2，且3PF1=4QF1，则椭圆的离心率为.【解析】不妨令PF1=4,QF1=32a-4=2C①222222(2a-3)=(3+2)+DF2=5+(2c)-2②2a-4=2c由①，②推出(2a-3)2=21+4c2利用3PF1=4QF1利用条件+作垂线勾服三角形⇒(2c+1)2=21+4c2⇒c=5,a=725b=24,e=7【答案】57二.回代点的坐标(点在圆锥曲线上)建立a,b,c的关系7.已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且BF=2FD，则椭圆C的离心率为.【解析】解法一(向量外D点坐标)BF=(c,-b)，FD=(x-c,y)cx=22c=2x-2c23bxy⇒⇒⇒Dc,-代回+=122-b=2yy=-b22ab29c24192321⇒+=1⇒e=⇒e=a24443解法二(几何法)3b222242:1⇒Dc,-⇒(c+a)y-2bc∙y-b=022B(x1,y1),D(x2,y2)⇒y1=-2y2解法三(不对称问题--线性关系)lBF:x=-by+c椭:b2x2+a2y2-a2b2=041(y1+y2)4c222421-==222⇒b(c+a)=8c⇒e=2y1y2-b(c+a)3【答案】33x2y28.已知过椭圆+=1(a>0,b>0)的左顶点A(-a,0)作直线l交y轴于点P，交椭圆于点Q，若a2b2ΔAOP是等腰三角形，且PQ=2QA，则椭圆的离心率为.【解析】PQ=(x,y-a),QA=(-a-x,-y)⇒PQ=2⋅QA⇒(x,y-a)=2⋅(-a-x,-y)x=-2ax=-2a-2x32a⇒⇒⇒Q-a,回代椭圆y-a=-2yy=a33322224aa2a-b14⇒+=1⇒=5⇒e==1-=99b2b2a255【答案】255x2y29.双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F(-c,0),F(c,0),M,N两点在双曲线C上，且a2b212MN∥F1F2,F1F2=4|MN|，线段F1N交双曲线C于点Q，且F1Q=QN，则双曲线C的离心率为.c【解析】x=N422222xN2ec⇒y=b⋅-1=b⋅-1⇒N,b⋅e-1Na2164163b2中点Q-c,⋅e-182162921e回代点Q⇒e-⋅-1=184416⇒e2=6【答案】6三.由线段长(范围)、点的坐标范围建立a,b,c的关系(三角形中边角关系、焦点三角形、焦半径范围、椭圆或双曲线中的点的横纵坐标范围等)x2y23a10.设F、F是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线x=上一点，ΔFPF是底角为30°12a2b2212的等偠三角形，则E的离心率为()1234A.B.C.D.234533【解析】a-c=pF⋅sin30°=c⇒e=224【答案】Cx2y2a211.(线段长不等式)设F，F分别是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点，若在直线x=上存在P，12a2b2c使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是()2323A.0,B.0,C.,1D.,123232a2221【解析】解法一：|P2|≥|QF|⇒2c≥-c⇒a≤3c⇒e≥2c32222a22aa解法二：P,m⇒m=(2c)--c≥0⇒2c≥-cccc【答案】Dx2y212.(焦半径范围)椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F(-c,0),F(c,0)，若椭圆上存在一点P，a2b212ac使=，则离心率的取值范围为.sin∠PF1F2sin∠PF2F1【答案】(2-1,1)x2y213.(焦半径范围)双曲线-=1(a>b>0)的两个焦点为F,F，若P为其上一点，且PF=2PF，则a2b21212双曲线离心率的取值范围为()A.(1,3)B.(1,3]C.(3,+∞)D.[3,+∞)r1-r2=2ar=2a【解析】⇒2r=4ar1=2r21PF2≥QF2⇒2a≥c-a⇒3a≥c⇒e≤3【答案】Bx2y214.(焦半径范围)点P是双曲线-=1(a>0,b>0)左支上的一点，其右焦点为F(c,0)，若M为线段a2b2cFP的中点，且M到坐标原点的距离为，则双曲线的离心率e的取值范围是()8445A.(1,8]B.1,C.,D.(2,3]333c4【解析】pF≥QF⇒≥c-a⇒e≤1143【答案】Bxy15.(横坐标范围)已知椭圆C:+=1(a>b>0)，点M,N分别是椭圆C半长轴OA,OA的中点，若椭a2b212圆C上存在点P满足4PM⋅PN=a2，则此椭圆离心率的取值范围是.a2aa【解析】解法一(点范围)=pM⋅PN=--x,-y⋅-x,-y42002002222a2a22a2x0=x-+y⇒x-+b⋅1-404004a22122e≥2a2a222⇒x0=-b⋅2∈0,a⇒2⇒≤e<12ca22≤a2222aa21解法er(几何法)由解法一⇒x+y=，又P轨与椭圆有交点⇒≥b⇒e≥002222【答案】,12xy16.(点横坐标范围)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的右顶点A(a,0)，其上存在一点P，使得∠APO=a2b290°，求椭圆的离心率的取值范围.【解析】解法一：点P(x0,y0)在OA为直径的圆上，又在椭圆C上，则有：22x-a+y2=a①a2-b2-ab20202x2y20+0=1(2)1-a②1-aa2b2222322①代入②中⇒a-bx0-a⋅x0+ab=0222⇒a-bx0-ab⋅x0-a=0又x02b0a2-b22221⇒a<2c⇒e>,00,b>0)的两焦点，以线段FF为边作正三角形MFF，若边MF12a2b212121的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是()3+1A.4+23B.3-1C.D.3+12【解析】ΔMF1F2⇒NF2=3C定义一⇒|N2|-|NF1=2a2即3c-c=2a⇒e==3+13-1【答案】D222xy22a18.过双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点F(-c,0)(c>0)，作圆：x+y=的切线，切点为E，延a2b241长FE交双曲线右支于点P，若OE=(OF+OP)，则双曲线的离心率为.2【解析】r2=pF2=2OE=ar1=r2+2a=3a2222225RtΔ⇒r+r=(2c)⇒10a=4c⇒e=122【答案】102π19.已知F,F是椭圆和双曲线的公共焦点，P是