第五节椭圆的方程与性质知识框架知识点归纳1.椭圆的定义(1)平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫作椭圆.这两个定点叫作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距.(2)其数学表达式：集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：①若a＞c，则集合P为椭圆；②若a＝c，则集合P为线段；③若a＜c，则集合P为空集.2.椭圆的标准方程和几何性质标准方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|＝2c离心率e＝eq\f(c,a)∈(0，1)a，b，c的关系c2＝a2－b2[常用结论]1.若点P在椭圆上，F为椭圆的一个焦点，则(1)b≤|OP|≤a；(2)a－c≤|PF|≤a＋c.2.焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫作焦点三角形，r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S.(1)当r1＝r2，即点P的位置为短轴端点时，θ最大；(2)S＝b2taneq\f(θ,2)＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P的位置为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.3.焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin＝eq\f(2b2,a).4.若AB为椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则直线AB的斜率kAB＝－eq\f(b2x0,a2y0).题型归类题型一椭圆的定义及应用例1(1)若F1，F2是椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,7)＝1的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2＝45°，则△AF1F2的面积为( )A.7 B.eq\f(7,4)C.eq\f(7,2) D.eq\f(7\r(5),2)答案 C解析 由题意得a＝3，b＝eq\r(7)，c＝eq\r(2)，∴|F1F2|＝2eq\r(2)，|AF1|＋|AF2|＝6.∵|AF2|2＝|AF1|2＋|F1F2|2－2|AF1|·|F1F2|cos45°＝|AF1|2＋8－4|AF1|，∴(6－|AF1|)2＝|AF1|2＋8－4|AF1|，解得|AF1|＝eq\f(7,2).∴△AF1F2的面积S＝eq\f(1,2)×2eq\r(2)×eq\f(7,2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(7,2).(2)已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆M在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________.答案 eq\f(x2,64)＋eq\f(y2,48)＝1解析 设圆M的半径为r，则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16＞8＝|C1C2|，所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且2a＝16，2c＝8，所以a＝8，c＝4，b＝eq\r(a2－c2)＝4eq\r(3)，故所求动圆圆心M的轨迹方程为eq\f(x2,64)＋eq\f(y2,48)＝1.感悟提升 椭圆定义的应用技巧(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等.(2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题.题型二椭圆的标准方程例2求满足下列各条件的椭圆的标准方程：(1)长轴是短轴的3倍且经过点A(3，0)；(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为eq\r(3)；(3)经过点P(－2eq\r(3)，1)，Q(eq\r(3)，－2)两点；(4)与椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1有相同离心率，且经过点(2，－eq\r(3)).解 (1)若焦点在x轴上，设方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，∵椭圆过点A(3，0)，∴eq\f(9,a2)＝1得a＝3，∵2a＝3×2b，∴b＝1，∴方程为eq\f(x2,9)＋y2＝1；若焦点在y轴上，设方程为eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)，∵椭圆过点A(3，0)，∴eq\f(9,b2)＝1得b＝3，又2a＝3×2b，∴a＝9，∴方程为eq\f(y2,81)＋eq\f(x2,9)＝1.综上，所求椭圆的标准方程为eq\f(x2,9)＋y2＝1或eq\f(y2,81)＋eq\f(x2,9)＝1.(2)由已知，有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2c，,a－c＝\r(3)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2\r(3)，,c＝\r(3)，))b2＝9，∴所求椭圆的标准方程为eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,9)＝1或eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,12)＝1.(3)设方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，则有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(12m＋n＝1，,3m＋4n＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝\f(1,15)，,n＝\f(1,5)，))则所求椭圆的标准方程为eq\f(x2,15)＋eq\f(y2,5)＝1.(4)椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的离心率是e＝eq\f(1,2)，当焦点在x轴上时，设所求椭圆的方程是eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)＝\f(1,2)，,a2＝b2＋c2，,\f(4,a2)＋\f(3,b2)＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝8，,b2＝6，))∴所求椭圆方程为eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,6)＝1.当焦点在y轴上时，设所求椭圆的方程为eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)＝\f(1,2)，,a2＝b2＋c2，,\f(3,a2)＋\f(4,b2)＝1，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝\f(25,3)，,b2＝\f(25,4)，))∴椭圆的标准方程为eq\f(y2,\f(25,3))＋eq\f(x2,\f(25,4))＝1，所求椭圆标准方程为eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,6)＝1或eq\f(y2,\f(25,3))＋eq\f(x2,\f(25,4))＝1.感悟提升 求椭圆方程的方法：(1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹是否满足椭圆的定义.(2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m，n的值即可.题型三椭圆的简单几何性质角度1 离心率例3(1)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1且斜率为eq\f(\r(15),7)的直线l与C在x轴上方的交点为A.若|AF1|＝|F1F2|，则C的离心率是( )A.eq\f(2,3) B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),2) D.eq\f(\r(5),3)答案 A解析 设∠AF1F2＝α，由k＝tanα＝eq\f(\r(15),7)，得cosα＝eq\f(7,8)，易知|AF1|＝|F1F2|＝2c，在△AF1F2中，由余弦定理得|AF2|2＝4c2＋4c2－2·2c·2c·eq\f(7,8)＝c2，即|AF2|＝c.又|AF2|＝2a－|AF1|＝2a－2c，故c＝2a－2c，即e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2,3).(2)如图所示，设椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的两焦点分别为F1，F2，以F1为圆心，|F1F2|为半径的圆与E交于P，Q两点.若△PF1F2为直角三角形，则E的离心率为________.答案 eq\r(2)－1解析 ∵△PF1F2为直角三角形，∴PF1⊥F1F2，又|PF1|＝|F1F2|＝2c，∴|PF2|＝2eq\r(2)c，∴|PF1|＋|PF2|＝2c＋2eq\r(2)c＝2a，∴椭圆E的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(2)－1.角度2 与椭圆几何性质有关的最值、范围问题例4(1)若点O和点F分别为椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→))的最大值为( )A.2 B.3C.6 D.8答案 C解析 由椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1可得F(－1，0)，设P(x，y)(－2≤x≤2).则eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→))＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x2,4)))＝eq\f(1,4)x2＋x＋3＝eq\f(1,4)(x＋2)2＋2，－2≤x≤2，当且仅当x＝2时，eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→))取得最大值6.(2)已知F1，F2分别是椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使∠F1PF2＝90°，则椭圆的离心率e的取值范围为________.答案 eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))解析 若椭圆上存在点P，使得PF1⊥PF2，则以原点为圆心，F1F2为直径的圆与椭圆必有交点，如图，可得c≥b，即c2≥b2，所以2c2≥a2，即e2≥eq\f(1,2)，又e＜1，所以e∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)).感悟提升 1.求椭圆离心率或其范围的方法解题的关键是借助图形建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，转化为e的关系式，常用方法如下：(1)直接求出a，c，利用离心率公式e＝eq\f(c,a)求解.(2)由a与b的关系求离心率，利用变形公式e＝eq\r(1－\f(b2,a2))求解.(3)构造a，c的齐次式.离心率e的求解中可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e.2.利用椭圆几何性质求值域或范围的思路(1)将所求问题用椭圆上点的坐标表示，