第七节抛物线方程与性质知识框架知识点归纳1.抛物线的定义(1)平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线.定点F叫作抛物线的焦点，定直线l叫作抛物线的准线.(2)其数学表达式：{M||MF|＝d}(d为点M到准线l的距离).2.抛物线的标准方程与几何性质图形标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离性质顶点O(0，0)对称轴y＝0x＝0焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))离心率e＝1准线方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R开口方向向右向左向上向下[常用结论]1.通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于2p，通径是过焦点最短的弦.2.抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(x0，y0)到焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))的距离|PF|＝x0＋eq\f(p,2)，也称为抛物线的焦半径.题型归类题型一抛物线的定义和标准方程例1(1)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，M，N是抛物线上两个不同的点.若|MF|＋|NF|＝5，则线段MN的中点到y轴的距离为________.答案 eq\f(3,2)解析 由题意知抛物线的准线方程为x＝－1，分别过点M，N作准线的垂线，垂足为M′，N′(图略)，根据抛物线的定义得|MF|＝|MM′|，|NF|＝|NN′|，所以|MF|＋|NF|＝|MM′|＋|NN′|，所以线段MN的中点到准线的距离为eq\f(1,2)(|MF|＋|NF|)＝eq\f(5,2)，所以线段MN的中点到y轴的距离为eq\f(5,2)－1＝eq\f(3,2).(2)(2022·全国乙卷)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B(3，0)，若|AF|＝|BF|，则|AB|＝________.答案 2eq\r(2)解析 由题意可知F(1，0)，抛物线的准线方程为x＝－1.设Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(yeq\o\al(2,0),4)，y0))，则由抛物线的定义可知|AF|＝eq\f(yeq\o\al(2,0),4)＋1.因为|BF|＝3－1＝2，所以由|AF|＝|BF|，可得eq\f(yeq\o\al(2,0),4)＋1＝2，解得y0＝±2，所以A(1，2)或A(1，－2).不妨取A(1，2)，则|AB|＝eq\r(（1－3）2＋（2－0）2)＝eq\r(8)＝2eq\r(2).(3)(2021·新高考Ⅰ卷)已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，则C的准线方程为________.答案 x＝－eq\f(3,2)解析 法一(解直角三角形法) 由题意易得|OF|＝eq\f(p,2)，|PF|＝p，∠OPF＝∠PQF，所以tan∠OPF＝tan∠PQF，所以eq\f(|OF|,|PF|)＝eq\f(|PF|,|FQ|)，即eq\f(\f(p,2),p)＝eq\f(p,6)，解得p＝3，所以C的准线方程为x＝－eq\f(3,2).法二(应用射影定理法) 由题意易得|OF|＝eq\f(p,2)，|PF|＝p，|PF|2＝|OF|·|FQ|，即p2＝eq\f(p,2)·6，解得p＝3或p＝0(舍去)，所以C的准线方程为x＝－eq\f(3,2).法三(斜率法) 抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，因为P为C上一点，PF与x轴垂直，所以不妨取Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，p))，所以kOP＝2.因为PQ⊥OP，所以kPQ＝－eq\f(1,2)，因为Q为x轴上一点，所以设Q(x0，0)，则eq\f(0－p,x0－\f(p,2))＝－eq\f(1,2)，x0＝eq\f(5p,2)，所以|FQ|＝eq\f(5p,2)－eq\f(p,2)＝6，p＝3，所以C的准线方程为x＝－eq\f(3,2).感悟提升 求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.题型二抛物线的几何性质及应用角度1 焦半径和焦点弦例2(1)已知点F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，且eq\o(AF,\s\up6(→))＝teq\o(FB,\s\up6(→))(t＞1)，|AB|＝eq\f(16,3)，则t＝________.答案 3解析 由题意得焦点F(1，0)，设直线l为x＝λy＋1(λ≠0)，代入抛物线方程得y2－4λy－4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由韦达定理得y1y2＝－4，①由eq\o(AF,\s\up6(→))＝teq\o(FB,\s\up6(→))，即(1－x1，－y1)＝t(x2－1，y2)，有y1＝－ty2，②∴由①②得y2＝eq\f(2,\r(t))，y1＝－2eq\r(t)或y2＝－eq\f(2,\r(t))，y1＝2eq\r(t)，即x1＝t，x2＝eq\f(1,t)，∴|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(1,t)＋t＋2＝eq\f(16,3)，化简得3t2－10t＋3＝0，∴t＝3或t＝eq\f(1,3)(舍).(2)过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的长为8，则p＝________.答案 2解析 直线AB的方程为y＝x－eq\f(p,2)，与抛物线方程消去y得x2－3px＋eq\f(1,4)p2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，根据抛物线的定义，得|AB|＝x1＋x2＋p＝4p＝8，∴p＝2.角度2 与抛物线有关的最值问题例3(1)若在抛物线y2＝－4x上存在一点P，使其到焦点F的距离与到A(－2，1)的距离之和最小，则该点的坐标为________.答案 eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，1))解析 如图，∵y2＝－4x，∴p＝2，焦点坐标为(－1，0).依题意可知当A，P及P到准线的垂足Q三点共线时，点P与点F、点P与点A的距离之和最小，故点P的纵坐标为1.将y＝1代入抛物线方程求得x＝－eq\f(1,4)，则点P的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，1)).(2)已知抛物线x2＝4y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为________.答案 2解析 由题意知抛物线的准线l：y＝－1，过点A作AA1⊥l交l于点A1，过点B作BB1⊥l交l于点B1，设弦AB的中点为M，过点M作MM1⊥l交l于点M1，则|MM1|＝eq\f(|AA1|＋|BB1|,2).∵|AB|≤|AF|＋|BF|(F为抛物线的焦点)，即|AF|＋|BF|≥6，∴|AA1|＋|BB1|≥6，2|MM1|≥6，|MM1|≥3，故点M到x轴的距离d≥2，故最短距离为2.感悟提升 与抛物线有关的最值问题的两个转化策略转化策略一：将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”“三角形两边之和大于第三边”，使问题得以解决.转化策略二：将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.题型三抛物线的综合问题例4已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为eq\f(3,2)的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.(1)若|AF|＋|BF|＝4，求直线l的方程；(2)若eq\o(AP,\s\up6(→))＝3eq\o(PB,\s\up6(→))，求|AB|.解 设直线l的方程为y＝eq\f(3,2)x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2).(1)由题设得Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，0))，故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋eq\f(3,2).又|AF|＋|BF|＝4，所以x1＋x2＝eq\f(5,2).由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\f(3,2)x＋t，,y2＝3x，))可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，其中Δ＝144(1－2t)>0，则x1＋x2＝－eq\f(12（t－1）,9)，从而－eq\f(12（t－1）,9)＝eq\f(5,2)，得t＝－eq\f(7,8)(满足Δ>0)，所以l的方程为y＝eq\f(3,2)x－eq\f(7,8).(2)由eq\o(AP,\s\up6(→))＝3eq\o(PB,\s\up6(→))，可得y1＝－3y2.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\f(3,2)x＋t，,y2＝3x，))可得y2－2y＋2t＝0，其中Δ＝4－8t>0，所以y1＋y2＝2，从而－3y2＋y2＝2，故y2＝－1，y1＝3.代入C的方程得x1＝3，x2＝eq\f(1,3).所以A(3，3)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，－1))，故|AB|＝eq\f(4\r(13),3).感悟提升 1.有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.2.涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法.提醒 涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解.题型四抛物线中的二级结论抛物线焦点弦的有关性质是高中数学的重要部分，了解和掌握相关结论，在解题时可迅速打开思路，抛物线焦点弦的常见结论如下：设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1·x2＝eq\f(p2,4)，y1y2＝－p2；(2)若A在第一象限，B在第四象限，则|AF|＝eq\f(p,1－cosα)，|BF|＝eq\f(p,1＋cosα)，弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2α)(α为弦AB的倾斜角)；(3)eq\f(1,|FA|)＋eq\f(1,|FB|)＝eq\f(2,p)；(4)以弦AB为直径的圆与准线相切；(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切；(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上；(7)通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p.例1过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝2|BF|，则|AB|等于( )A.4 B.