圆锥曲线在高考小题中的考法探究题型归纳[题型一]曲线与轨迹已知双曲线：的左右焦点分别为，，过的直线与圆相切于点，且直线与双曲线的右支交于点，若，则双曲线的离心率为______.【答案】如图，由题可知，，则，又，，，又，作，可得，，则在，，即，又，化简可得，同除以，得解得双曲线的离心率为方法总结(1)椭圆定义：动点P满足：|PF1|＋|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c且a>c(其中a>0，c0，且a，c为常数)(2)双曲线定义：动点P满足：||PF1|－|PF2||＝2a，|F1F2|＝2c且a＜c(其中a，c为常数且a>0，c>0).(3)抛物线定义：|PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于M.[题型二]三曲线定义法已知双曲线：的左右焦点分别为，，过的直线与圆相切于点，且直线与双曲线的右支交于点，若，则双曲线的离心率为______.【答案】如图，由题可知，，则，又，，，又，作，可得，，则在，，即，又，化简可得，同除以，得解得双曲线的离心率为方法总结(1)椭圆定义：动点P满足：|PF1|＋|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c且a>c(其中a>0，c0，且a，c为常数)(2)双曲线定义：动点P满足：||PF1|－|PF2||＝2a，|F1F2|＝2c且a＜c(其中a，c为常数且a>0，c>0).(3)抛物线定义：|PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于M.[题型三]双曲线渐近线已知、分别为双曲线的两个焦点，双曲线上的点到原点的距离为，且，则该双曲线的渐近线方程为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题首先可以结合题意绘出双曲线的图像，然后根据得出，根据双曲线的定义得出，再然后根据得出以及，根据得出，最后将点坐标代入双曲线中，通过化简即可得出结果.【详解】设为双曲线的下焦点，为双曲线的上焦点，绘出双曲线的图像，如图，过点作于点,因为，所以，，因为，所以，因为双曲线上的点到原点的距离为，即，且，所以，，故，，因为，所以，，将代入双曲线中，即，化简得，，，，，解得或（舍去），，，则该双曲线的渐近线方程为，故选：A.方法总结与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)．[题型四]三大曲线焦半径已知过抛物线的焦点，且斜率为的直线与抛物线交于两点，则____________．【答案】【详解】方法一：方法二：抛物线的焦点的坐标为斜率为且过焦点的直线方程为联立抛物线方程，得，化简得设两个交点坐标分别为所以则所以方法总结圆锥曲线焦半径统一结论，其中p为交点到准线的距离，对椭圆和双曲线而言对于抛物线，则常见抛物线的（为焦准距）（1）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；（2）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则；（3）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；（4）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则.[题型五]三大曲线焦点弦双曲线，，方向向量为的直线过点且与双曲线交于两点，,，，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如图，由题意知D为BC的中点，且，所以．过点D作轴于，则．在中，，根据三角形的相似可得，∴．又，∴，∴，∴．故点D的坐标为．设，由点差法可得，即，∴．∴．选A．[题型六]焦点三角形已知，分别是椭圆的左､右焦点，若在椭圆上存在点，使得的面积等于，则椭圆的离心率的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据给定条件用表示出，再结合椭圆定义并借助均值不等式计算作答.【详解】依题意，，而，则有，由椭圆定义知：，当且仅当，即时取“=”，于是有，则，又，即有，所以椭圆的离心率的取值范围为.故选：A[题型七]中点弦抛物线的焦点为，已知点为抛物线上的两个动点，且满足，过弦的中点作准线的垂线，垂足为，则的最大值为（）A.1 B. C.2 D.【答案】D如图所示，设|连接由抛物线定义，得|在梯形中，由余弦定理得，配方得又得到|所以，即的最大值为[题型八]焦点圆已知椭圆的左顶点和上顶点分别为，，左、右焦点分别是，，在线段上有且只有一个点满足，则椭圆的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意可求得的方程，设出点坐标，代入的方程，由，得，结合椭圆的离心率的性质即可求得答案.【详解】解：依题意，作图如下，，，，直线的方程为：，整理得：，设直线上的点，则，，，，令，则，由得：，于是，，整理得：，又，，，，又椭圆的离心率，，椭圆的离心率为.故选：A.[题型九]双余弦定理如图所示，为椭圆的左右焦点，过的直线交椭圆于B．D两点且，E为线段上靠近的四等分点．若对于线段上的任意点P，都有成立，则椭圆的离心率为________．【答案】【分析】取的中点Q，连EQ．PQ．根据向量的加法和减法转化，同理，等价于，由点的任意性判断，得到，根据几何关系和椭圆定义得到边长，根据余弦定理建立方程求椭圆的离心率.【详解】解：取的中点Q，连EQ．PQ．，同理，恒成立等价于，因为点是线段上的任意一点，故，得到，设，则，，由，得，，，在中，，在中，又所以，解得．故答案为：[题型十]双角度已知椭圆的两个焦点分别为，点为椭圆上一点，且，，则椭圆的离心率为__．【答案】【分析】由题意得到，即，进而求得，结合，得到，即可求得椭圆的离心率.【详解】因为，，则，所以,且，所以，又由，即，即，所以.故答案为：[题型十一]四心与曲线.已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上不与左右顶点重合的任意一点，，分别为的内心和重心，当轴时，椭圆的离心率为A． B． C． D．【答案】A【分析】结合图像，利用点坐标以及重心性质，得到G点坐标，再由题目条件轴，得到点横坐标，然后两次运用角平分线的相关性质得到的比值，再结合与相似，即可求得点纵坐标，也就是内切圆半径，再利用等面积法建立关于的关系式，从而求得椭圆离心率.【详解】如图，令点在第一象限（由椭圆对称性，其他位置同理），连接，显然点在上，连接并延长交轴于点，连接并延长交轴于点，轴，过点作垂直于轴于点，设点，，则，因为为的重心，所以，因为轴，所以点横坐标也为，，因为为的角平分线，则有，又因为，所以可得，又由角平分线的性质可得，，而所以得，所以，，所以，即，因为即，解得，所以答案为A.[题型十二]切线两个长轴在x轴上、中心在坐标原点且离心率相同的椭圆.若A，B分别为外层椭圆的左顶点和上顶点，分别向内层椭圆作切线AC，BD，切点分别为C，D，且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】法一，用判别式等于零求两条切线得斜率，因为它们相乘等于，可得，所以椭圆的离心率为；法二，用极点极线得方法得到两条切线得斜率，再根据条件即得.【详解】法一：设内椭圆方程为，外椭圆为，切线的方程为，联立消去可得：，因为直线为椭圆的切线，所以，化简可得：，设直线的方程为：，同理可得，因为两切线斜率之积等于，所以，所以椭圆的离心率为.故选：B.法二；设内层椭圆：，外层椭圆：.设切点，，，，切线：，切线：，∴①，②，又∵，即，即，即，∴，同理，∴，∴，将，代入椭圆中得：，经分析得：，由①②可知，∴，∴，∴.故选：B.[题型十三]小题大做:坐标运算已知椭圆内有一定点，过点P的两条直线，分别与椭圆交于A、C和B、D两点，且满足，，若变化时，直线CD的斜率总为，则椭圆的离心率为A． B． C． D．【答案】A【分析】设出四点的坐标，将两点坐标代入椭圆方程并化简，同理将两点坐标代入椭圆方程并化简，根据化简上述两个式子，由此求得的值，进而求得椭圆离心率.【详解】设因为，且，所以，同理.将两点坐标代入椭圆方程并化简得，即，同理，由于，，所以，即，即，两式相加得，即，所以，所以，故选A.课时训练1．已知曲线：，为上一点，①的取值范围为；    ②的取值范围为；③不存在点，使得；    ④的取值范围为.则上述命题正确的个数是（    ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】对于①，分段化简方程，得到图形，数形结合得到①错误；对于②，数形结合，结合椭圆性质得到②正确；对于③，根据渐近线性质及图形可得③正确；对于④，利用的几何意义，结合三角换元得到的取值范围.【详解】对于①，曲线得到，画出图形如下：其中为渐近线，  由曲线和图形可知，故①错误；对于②，可看做曲线上的点到原点的距离，显然无最大值，当点位于椭圆上时，距离原点的距离取得最小值，则，故当时，取得最小值，最小值为1，则的取值范围为，②正确；对于③，因为直线与渐近线平行，故不存在点，使得，③正确；对于④，表示点到直线的距离的倍，又直线与渐近线平行，且距离为，故，由图形可知，在上时，到直线的距离取得最大值，设，则到直线的距离为，当且仅当时等号成立，故的取值范围为，④正确.故选：C【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．2．已知圆锥曲线统一定义为“平面内到定点F的距离与到定直线l的距离（F不在l上）的比值e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线”．过双曲线的左焦点的直线l交双曲线于A，B两点，满足．设M为AB的中点，则直线OM斜率的最小值是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据条件画出图形结合圆锥曲线的定义及条件可得，然后利用点差法可得，进而可得，然后利用基本不等式即得.【详解】由题可知在左支上在右支上，如图，设，在左准线上的射影为，因为，则，所以，设，则，所以，，即，所以，所以，当且仅当即时，等号成立，故选：C.【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据圆锥曲线的定义结合条件表示出，然后利用点差法得，根据基本不等式即得.3．设抛物线C：的焦点为F，过F的直线交C于A，B两点，分别以A，B为切点作C的切线，，若与交于点P，且满足，则（    ）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【分析】先设直线AB的方程，与抛物线方程联立求得A，B两点纵坐标之间的关系，再写出切线方程，联立，根据条件求出P点坐标，再带回到切线方程求出A，B两点的坐标即可.【详解】，设直线AB的方程为，显然m是存在的，设，显然，求导：，在A点处的切线方程为…①，同理可得在B点处的切线方程为：；联立方程，解得，，，联立方程解得，，即P点在准线上，设，，考虑抛物线关于x轴对称，不妨取，代入①得：，解得或，由图可知，再代入抛物线方程得，；故选：D.4．已知分别是双曲线的左、右焦点，过点作直线交于两点.现将所在平面沿直线折成平面角为锐角的二面角，如图，翻折后两点的对应点分别为，且若，则的离心率为（    ）    A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意分析可知锐角二面角，利用双曲线的定义与性质结合余弦定理运算求解.【详解】设双曲线的半焦距为，由题意可得：，则，且，则锐角二面角，在中，由余弦定理可得：，在中，由余弦定理可得：，因为，即，可得，解得.故选：C.【点睛】方法点睛：双曲线离心率(离心率范围)的求法求双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求e的值．5．设双曲线：的离心率为，过左焦点作倾斜角为的直线依次交的左右两支于，，则有．若，为的中点，则直线斜率的最小值是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】依题意可得，即可得到，从而表示出，再利用点差法得到，即可得到，再利用基本不等式计算可得.【详解】因为，所以，又，所以，则，所以，设，，则，，所以，即，所以，即，所以，当且仅当，即时取等号，即直线斜率的最小值是.  故选：C【点睛】关键点睛：根据解答的关键是用含的式子表示，再利用点差法得到，从而表示出，最后利用基本不等式求出最小值.6．在平面直角坐标系中，已知双曲线的左､右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支相交于点