专题05函数周期性，对称性，奇偶性问题一、结论（同号周期，异号对称.）1、周期性：已知定义在R上的函数f(x),若对任意xR,总存在非零常数T,使得f(xT)f(x),则称f(x)是周期函数,T为其一个周期.除周期函数的定义外,还有一些常见的与周期函数有关的结论如下:(1)如果f(xa)f(x)(a0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T2a1(2)如果f(xa)(a0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T2a.f(x)1(3)如果f(xa)(a0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T2a.f(x)(4)如果f(xa)f(x)c(a0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T2a.(5)如果f(xa)f(xb)(a0,b0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T|ab|.(6)如果f(x)f(xa)f(xa)(a0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T6a.2、对称性：已知函数f(x)是定义在R上的函数.ab（1）轴对称：若f(xa)f(bx)恒成立,则yf(x)的图象关于直线x对称,特别地,若2f(ax)f(ax)恒成立,则yf(x)的图象关于直线xa对称;f(ax)f(ax)最常逆应用：若yf(x)关于xa对称：可得到如下结论中任意一个：f(x)f(2ax)；f(x)f(2ax)周期性与对称性记忆口诀：同号周期，异号对称.abc（2）点对称：若f(ax)f(bx)c,则yf(x)的图象关于点(,)对称.22特别地,若f(ax)f(ax)2b恒成立,则yf(x)的图象关于点(a,b)对称.特别地,若f(ax)f(ax)恒成立,则yf(x)的图象关于点(a,0)对称.f(ax)f(ax)最常逆应用：若yf(x)关于xa对称：可得到如下结论中任意一个：f(x)f(2ax)f(x)f(2ax)二、典型例题例题1．（2023秋·广东·高二校联考期末）已知定义在R上的函数fx满足：fxfx0,f2xfx，且fx在1,1内单调递增，则（）A．f5.3f5.5f2B．f5.3f2f5.5C．f2f5.3f5.5D．f5.5f2f5.3例题2．（2022春·贵州遵义·高一统考期末）对xR，函数fx满足f1xfx1，2152023fx4fx0.当0x1时fx1x.设af，bf，cf，则a，b，c的大234小关系为______.三、针对训练举一反三31．（2023·新疆乌鲁木齐·统考一模）已知定义在R上的奇函数fx，满足fx3fx，且当x0,2时，fxx26x8，则f0f1f2f100（）A．6B．3C．0D．32．（2023·河南郑州·统考一模）已知函数fx定义域为R，fx1为偶函数，fx2为奇函数，且满2023足f1f22，则fk（）k1A．2023B．0C．2D．20233．（2023秋·江西抚州·高三临川一中校考期末）若函数fx的定义域为R，且fx1是偶函数，fx1关于点2,0成中心对称，则函数fx的一条对称轴为（）A．x2023B．x2022C．x2021D．x20204．（2023秋·江苏苏州·高三统考期末）已知函数f(x)的定义域为R，f(x1)为奇函数，f(x2)为偶函数.31k记函数g(x)2f(2x1)1，则g（）k12A．25B．27C．29D．31二、多选题5．（2023秋·湖南永州·高一统考期末）已知定义在R上的奇函数fx满足f2xfx，若f12，则（）A．4为fx的一个周期B．fx的图象关于直线x1对称C．f20220D．f20232三、填空题6．（2023·四川南充·四川省南部中学校考模拟预测）已知函数fx是定义在R上的奇函数，对任意的xR33都有fxfx，当x,0时，fxlog21x，则f2021f2022_________247．（2023春·安徽·高一淮北一中校联考开学考试）设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)f(2x)，35当x[0,1]时，f(x)x，则函数g(x)|tanπx|f(x)在,上所有零点之和为__________．228．（2023秋·湖南娄底·高一校考期末）已知函数f(x)的定义域为R，f(x1)为偶函数，f(x2)1为奇函数，且f(0)1,f(1)2，则f(1)f(2)f(2022)__________．9．（2023·全国·高三专题练习）对xR，函数fx满足f1xfx1，fx4fx0.当21520230x1时，fx1x.设af，bf，cf，则a，b，c的大小关系为____________.23410．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R上的函数fx满足fxfx0，fx2fx2，x1当x2,0时，fxb，则flog3162___________.311．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R上的函数f(x)满足f(2x)f(x)，当x[0,2]时，f(x)x(x2)，则方程f(x)lgx有___________个根.