专题08三角形”四心“向量形式的充要条件一、结论1、三角形“四心”：重心，垂心，内心，外心（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。2、设O为ABC所在平面上一点,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则a（1）O为ABC的外心|OA||OB||OC|.2sinA（2）O为ABC的重心OAOBOC0.（3）O为ABC的垂心OAOBOBOCOCOA.（4）O为ABC的内心aOAbOBcOC0.3、奔驰定理奔驰定理：设O是ABC内一点，BOC,AOC,AOB的面积分别记作SA,SB,SC则SAOASBOBSCOC0.ASCOSBSABC说明：本定理图形酷似奔驰的车标而得名.奔驰定理在三角形四心中的具体形式：①O是ABC的重心SA:SB:SC1:1:1OAOBOC0.②O是ABC的内心SA:SB:SCa:b:caOAbOBcOC0.③O是ABC的外心SA:SB:SCsin2A:sin2B:sin2Csin2AOAsin2BOBsin2COC0.④O是ABC的垂心SA:SB:SCtanA:tanB:tanCtanAOAtanBOBtanCOC0.奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一.二、典型例题例题1．（2023·全国·高三专题练习）平面上有ABC及其内一点O，构成如图所示图形，若将OAB，uuruuuruuurrOBC，OCA的面积分别记作Sc，Sa，Sb，则有关系式SaOASbOBScOC0．因图形和奔驰车的logo很相似，常把上述结论称为“奔驰定理”．已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足aOAbOBcOC0，则O为ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心例题2：已知G是ABC的重心，且满足56sinAGA40sinBGB35sinCGC0，求角B例题3：设点O在ABC内部，且5OA3OB7OC0,则ABC与AOC的面积之比为.ASCOSBSABC三、针对训练举一反三一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）平面上有ABC及其内一点O，构成如图所示图形，若将OAB，△OBC，uuruuuruuurr的面积分别记作S，S，S，则有关系式．因图形和奔驰车的logo很相似，OCAcabSaOASbOBScOC0常把上述结论称为“奔驰定理”．已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足aOAbOBcOC0，则O为ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心2．（2021春·湖北襄阳·高一校联考期中）奔驰定理：已知O是ABC内的一点，BOC，AOC，AOB的面积分别为SA，SB，SC，则SAOASBOBSCOC0.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.设O为三角形ABC内一S△AOB点，且满足：OA2OB3OC3AB2BCCA，则（）S△ABC2111A．B．C．D．5263二、多选题3．（2022·全国·高三专题练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知O是△ABC内一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为SA，SB，SC，且SAOASBOBSCOC0．设O是锐角△ABC内的一点，∠BAC，∠ABC，∠ACB分别是的△ABC三个内角，以下命题正确的有（）A．若OA2OB3OC0，则SA:SB:SC1:2:35π9B．若OAOB2，AOB，2OA3OB4OC0，则SABC62πC．若O为△ABC的内心，3OA4OB5OC0，则C26D．若O为△ABC的垂心，3OA4OB5OC0，则cosAOB64．（2022春·山东济宁·高一统考期中）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O是ABCBOC,AOC,AOBS,S,S内的一点，的面积分别为ABC，则有SAOASBOBSCOC0．设O是锐角ABC内的一点，BAC,ABC,ACB分别是ABC的三个内角，以下命题正确的有（）A．若OAOBOC0，则O为ABC的重心B．若OA2OB3OC0，则SA:SB:SC1:2:35π9C．若|OA||OB|2,AOB，2OA3OB4OC0，则SABC62D．若O为ABC的垂心，则tanBACOAtanABCOBtanACBOC05．（2022春·广东佛山·高一校考期中）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”奔驰定理：已知O是ABC内的一点，，，的面积分别为S，S，S，则若是锐角BOCAOCAOBABCSAOASBOBSCOC0.OABC内的一点，A，B，C是ABC的三个内角，且点O满足OAOBOBOCOAOC.则（）A．O为ABC的外心B．BOCAC．OA:OB:OCcosA:cosB:cosCD．SA:SB:SCtanA:tanB:tanC6．（2022春·江苏淮安·高一金湖中学校联考期中）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已SSS知O是ABC内的一点，BOC、AOC、AOB的面积分别为A、B、C，则若是锐角内的一点，、、是的三个内角，SAOASBOBSCOC0.OABCBACABCACBABC且点O满足OAOBOBOCOCOA，则（）A．O为ABC的垂心B．AOBACBC．OA:OB:OCsinBAC:sinABC:sinACBD．tanBACOAtanABCOBtanACBOC07．（2021春·江苏苏州·高一统考期中）奔驰定理：已知O是ABC内的一点，BOC，AOC，AOB的面积分别为SA,SB,SC，则SAOASBOBSCOC0．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．若O是锐角ABC内的一点，A,B,C是ABC的三个内角，且点O满足OAOBOBOCOCOA，则（）A．O为ABC的垂心B．AOBCC．OA:OB:OCsinA:sinB:sinCD．tanAOAtanBOBtanCOC0三、填空题8．（2021·四川凉山·统考三模）如图，P为ABC内任意一点，角A，B，C的对边分别为a，b，c.总有优美等式S△PBCPAS△PACPBS△PABPC0成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.现有以下命题：①若P是ABC的重心，则有PAPBPC0；②若aPAbPBcPC0成立，则P是ABC的内心；21③若APABAC，则S:S2:5；55△ABP△ABCπ④若P是ABC的外心，A，PAmPBnPC，则mn2,1.4则正确的命题有___________.四、解答题9．（2021春·云南昆明·高一昆明八中校考阶段练习）奔驰定理：已知O是ABC内的一点，BOC，，的面积分别为S，S，S，则．奔驰定理是平面向量中一个AOCAOBABCSAOASBOBSCOC0“”非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”若O是锐角ABC内的一点，A，B，C是ABC的三个内角，且点O满足OAOBOBOCOCOA.(1)证明：点O为ABC的垂心；(2)证明：tanAOAtanBOBtanCOC0.