专题07三点共线与四点共面充要条件一、结论1、平面向量三点共线问题：设平面上三点O,A,B不共线,则平面上任意一点P与A,B共线的充要条件是存在实数与11,使得OPOAOB,且1.特别地,当P为线段AB的中点时,OPOAOB.222、空间中四点共面问题:如图空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x,y)，使APxAByAC．或者等价于：对空间任意一点O，空间一点P位于平面ABC内（P,A,B,C四点共面）的充要条件是存在有序实数对(x,y)，使OPOAxAByAC，该式称为空间平面ABC的向量表示式，由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．拓展:对于空间任意一点O，四点P,C,A,B共面（其中C,A,B不共线）的充要条件是OPxOCyOAzOB（其中xyz1）．二、典型例题例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知ABC中，点D为线段BC（不包括端点）上任意一点，且实11数x，y满足ADxAB2yAC，则的最小值为（）xyA．322B．6C．42D．46【答案】A【详解】因为点D为线段BC（不包括端点）上任意一点，且实数x，y满足ADxAB2yAC，所以x2y1，x0,y0，1111所以(x2y)xyxy2yx3xy2yx2yx2232322，当且仅当，即x21,y时取等号，xyxy211所以的最小值为322，xy故选：A【反思】本题重点B,D,C三点共线，可以得到ADmABnAC且mn1，所以本题中11ADxAB2yAC中的x2y1，再结合基本不等式“1”的妙用法，可以求出的最值.xy例题2．（2023·全国·高三专题练习）在ABC中，E为AC上一点，AC3AE，P为BE上任一点，若31APmABnAC(m0,n0)，则的最小值是（）mnA．23B．423C．6D．12【答案】D【详解】解：AC3AE，APmABnACmAB3nAE，P,B,E三点共线，m3n1，31319nm9nm(m3n)()336212，mnmnmnmn9nm1当且仅当，m3n时取等号，mn231所以的最小值是12.mn故选：D．【反思】本题重点B,P,E三点共线，可以得到APABAE且1，而本例中AC3AE,代入已知APmABnAC(m0,n0)中，可以得到APmAB3nAE(m0,n0)所以本题中m3n1，31再结合基本不等式“1”的妙用法，可以求出的最值.mn例题3．（2022秋·北京·高二人大附中校考期中）已知O、A、B、C为空间中不共面的四点，且31OPOAOBtOC，若P、A、B、C四点共面，则实数t的值是（）483113A．B．C．D．4884【答案】C【详解】因为P、A、B、C四点共面，则存在m、nR，使得APmABnAC，则OPOAmOBOAnOCOA，31所以，OP1mnOAmOBnOCOAOBtOC，4831mn4171所以，m，三个等式全加可得t1，解得t.888nt故选：C.【反思】本例中可以速解，由P、A、B、C四点共面，则根据四点共面的等价条件OPxOCyOAzOB31311（其中xyz1），对比已知条件OPOAOBtOC，可以得到：t1t.48488例题4．（2022秋·北京·高二人大附中校考期末）空间A,B,C,D四点共面，但任意三点不共线，若P为51该平面外一点且PAPBxPCPD，则实数x的值为（）334114A．B．C．D．3333【答案】C【详解】解：因为空间A，B，C，D四点共面，但任意三点不共线，则可设ABmACnAD，又点P在平面外，则PBPAm(PCPA)n(PDPA)，即(1mn)PAPBmPCnPD，1mn则PAPBPCPD，mn1mn1mn151又PAPBxPCPD，3315mn13m11所以x，解得mn，x，mn153n1mn13故选：C．【反思】本例中可以速解，由A,B,C,D四点共面，则根据四点共面的等价条件PAxPByPCzPD（其51511中xyz1），对比已知条件PAPBxPCPD，可以得到：x1x.33333三、针对训练举一反三一、单选题1．（2023秋·山东枣庄·高三统考期末）已知D为线段AB上的任意一点，O为直线AB外一点，A关于点O的对称点为C，若ODxOByOC，则xy的值为（）A．1B．0C．1D．2【答案】C【详解】解：依题意可得A、B、D三点共线，所以ODOA1OB，又A关于点O的对称点为C，所以OCOA，又ODxOByOC，所以ODxOByOA，所以y，x1，则xy11.故选：C2．（2023·全国·高三专题练习）已知A，B，C是圆O上的三点，CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外的点D，若OCmOAnOB，则mn的取值范围是（）A．0,1B．1,C．,1D．1,0【答案】D【详解】D在圆外，则ODkOC且k1，又OCmOAnOB，所以ODkmOAknOB，又D,A,B三点共线，1所以kmkn1，mn，而k1，所以mn1,0．k故选：D．3．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知平行四边形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线与AB,AD1m所在直线分别交于点M，N，满足ABmAM,ANnAD,(m0,n0)，若mn，则的值为（）3n2345A．B．C．D．3456【答案】B11【详解】因平行四边形ABCD的对角线相交于点O，则AOABAD，22m1而ABmAM,ANnAD,(m0,n0)，于是得AOAMAN，又点M，O，N共线，22nm1112因此，1，即mn12n，又mn，解得m,n，22n323m3所以.n4故选：B4．（2023·全国·高三专题练习）在ABC中，点F为线段BC上任一点（不含端点），若12AFxAB2yACx0,y0，则的最小值为（）xyA．9B．8C．4D．2【答案】A【详解】因为点F为线段BC上任一点（不含端点），所以x2y1，12122y2x2y2x故x2y14529，xyxyxyxy2y2x1当且仅当，即xy时等号成立，xy3故选：A25．（2023·全国·高三专题练习）如图，在ABC中，M，N分别是线段AB，AC上的点，且AMAB，3112ANAC，D，E是线段BC上的两个动点，且ADAExAMyAN(x,yR)，则的的最小值是3xy（）49A．4B．C．D．234【答案】Buuuruuuruuur【详解】设ADmABnAC，mn1，AEABAC，1，3则ADAEmABnACABAC(m)AB(n)AC(m)AM3(n)ANxAMyAN，232121(m)x，3(n)ymx，ny，mn2xy22xy6.23333121121y4x1y4x4所以(2xy)22222，xy6xy6xy6xy33当且仅当x，y3时等号成立.2124所以的的最小值是.xy3故选：B6．（2023秋·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考期末）设向量OA,OB,OC不共面，空间一点P满足OPxOAyOBzOC，则A,B,C,P四点共面的一组数对x,y,z是（）111111131121A．,,B．,,C．,,D．,,432436442332【答案】C【详解】空间一点P满足OPxOAyOBzOC，若A,B,C,P四点共面，则xyz111113选项A：xyz1.判断错误；432121111选项B：xyz1.判断错误；4364131选项C：xyz1.判断正确；4421215选项D：xyz1.判断错误.3326故选：C7．（2023秋·江西南昌·高二南昌市外国语学校校考期末）已知点D在ABC确定的平面内，O是平面ABC22外任意一点，实数x，y满足DOxOA2yOB3OC，则xy的最小值为（）425A．B．C．1D．255【答案】A【详解】因为DOxOA2yOB3OC，所以ODxOA2yOB3OC，又点D在ABC确定的平面内，所以x2y31，即x22y，222222444所以xy22yy5y8y45y，55544所以当y时，x2y2的有最小值.55故选：A.8．（2022春·四川绵阳·高二校考阶段练习）已知O为空间任意一点，A、B、C、P满足任意三点不共线，但四点共面，且BPmOAOBOC，则m的值为（）A．1B．2C．2D．3【答案】C【详解】OPOBBPmOA2OBOC，∵O为空间任意一点，A、B、C、P满足任意三点不共线，但四点共面，∴m211，∴m2.故选：C二、多选题9．（2022秋·湖北孝感·高二应城市第一高级中学校考阶段练习）已知点P为三棱锥OABC的底面ABC所在平面内的一点，且OPmOA2nOB2OC(m0,n0)，则下列说法正确的是（）9A．m2n3B