专题11与等比数列相关的结论一、结论q已知等比数列{an},公比为,前n项和为Sn.nm(1)anamq(m,nN).(2)若mnpq,则amanapaq(m,n,p,qN);反之,不一定成立.(3)a1a2a3am,am1am2a2m,a2m1a2m2a3m,成等比数列(mN).(4)公比q1时,Sn,S2nSn,S3nS2n,S4nS3n成等比数列(nN).S偶(5)若等比数列的项数为2n(nN),公比为q,奇数项之和为S奇,偶数项之和为S偶,则q.S奇1an(6){an},{bn}是等比数列,则{an},{},{anbn},{}也是等比数列(0,nN).anbna(7)通项公式aaqn11qn.从函数的角度来看,它可以看作是一个常数与一个关于n的指数函数的n1q积,其图象是指数函数图象上一群孤立的点.(8)只有同号的两个数才能有等比中项;两个同号的数的等比中项有两个,它们互为相反数.xxx(9)三个数成等比数列,通常设为,x,xq;四个数成等比数列,通常设为,,xq,xq3.qq3q二、典型例题例题1．（2023秋·河南驻马店·高三统考期末）在正项等比数列an中，若a3,a7是关于x的方程2xmx40的两实根，则log2a1log2a2log2a3log2a9（）A．8B．9C．16D．18例题2．（2023春·重庆沙坪坝·高二重庆南开中学校考开学考试）已知等比数列an的前n项和Sn满足S510，S1040，则S20（）A．130B．160C．390D．400例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，则这个数列的项数为（）A．2B．4C．8D．16三、针对训练举一反三一、单选题1．（2023秋·浙江杭州·高二浙江省杭州第二中学校考期末）已知数列an是递增的等比数列，qa1a2a314，a1a2a364，则公比（）1A．B．1C．2D．242．（2023秋·广东汕头·高二统考期末）已知正项等比数列an满足log2a1log2a2log2a20222022，则log2a1a2022的最小值为（）A．1B．2C．1011D．20223．（2023·全国·高三专题练习）等比数列中，已知a1a2a3a420,a5a6a7a810，则数列的前16项和为7512575A．20B．C．D．222n14．（2023·全国·高三专题练习）已知数列an的前n项和Sn21，则数列an的前10项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为（）1172341A．B．2C．D．23411725．（2023·全国·高二专题练习）已知项数为奇数的等比数列{an}的首项为1，奇数项之和为21，偶数项之和为10，则这个等比数列的项数为（）A．5B．7C．9D．116．（2023·全国·高二专题练习）设等比数列an的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，且满足条件a61a11，a6a71，0，则下列结论错误的是（）a71A．0q1B．0a6a81C．Sn的最大值为S7D．Tn的最大值为T67．（2023·高三课时练习）设等比数列an的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并且满足条件0a71a6，则下列结论正确的是（）A．q1B．0a11C．Sn的最大值为S7D．Tn的最大值为T6二、多选题8．（2023春·安徽·高二合肥市第八中学校联考开学考试）记等比数列an的前n项和为Sn，前n项积为Tn，且满足a11，a20221，a20231，则（）A．a2022a202410B．S20221S2023C．T2022是数列Tn中的最大项D．T404519．（2023·全国·高三专题练习）已知等比数列an满足a10，公比q1，且a1a2a20211，a1a2a20221，则（）A．a20211B．当n2021时，a1a2an最小C．当n1011时，a1a2an最小D．存在n1011，使得anan1an2三、填空题10．（2023秋·广东广州·高二统考期末）在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2a42a3a5a4a64，则a3a5_________．2611．（2023秋·广东·高二校联考期末）若等比数列an的各项均为正数，且a4a2a62e，则lna1lna2lna7__________.12．（2023·高三课时练习）已知Sn是正项等比数列an的前n项和，S1020，则S302S20S10的最小值为______．S613．（2023·全国·高三专题练习）设正项等比数列an的前n项和为Sn，若S410S2，则的值为______.S214．（2023·高二课时练习）设等比数列{an}共有3n项，它的前2n项的和为100，后2n项之和为200，则该等比数列中间n项的和等于___________.四、解答题15．（2023秋·广东汕头·高二统考期末）已知数列an是等差数列，Sn是等比数列bn的前n项和，a6b116，a2b3，S312．(1)求数列an，bn的通项公式；(2)求Sn的最大值和最小值．