专题08三角形”四心“向量形式的充要条件一、结论1、三角形“四心”：重心，垂心，内心，外心（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。2、设O为ABC所在平面上一点,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则a（1）O为ABC的外心|OA||OB||OC|.2sinA（2）O为ABC的重心OAOBOC0.（3）O为ABC的垂心OAOBOBOCOCOA.（4）O为ABC的内心aOAbOBcOC0.3、奔驰定理奔驰定理：设O是ABC内一点，BOC,AOC,AOB的面积分别记作SA,SB,SC则SAOASBOBSCOC0.ASCOSBSABC说明：本定理图形酷似奔驰的车标而得名.奔驰定理在三角形四心中的具体形式：①O是ABC的重心SA:SB:SC1:1:1OAOBOC0.②O是ABC的内心SA:SB:SCa:b:caOAbOBcOC0.③O是ABC的外心SA:SB:SCsin2A:sin2B:sin2Csin2AOAsin2BOBsin2COC0.④O是ABC的垂心SA:SB:SCtanA:tanB:tanCtanAOAtanBOBtanCOC0.奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一.二、典型例题例题1．（2023·全国·高三专题练习）平面上有ABC及其内一点O，构成如图所示图形，若将OAB，uuruuuruuurrOBC，OCA的面积分别记作Sc，Sa，Sb，则有关系式SaOASbOBScOC0．因图形和奔驰车的logo很相似，常把上述结论称为“奔驰定理”．已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足aOAbOBcOC0，则O为ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心【答案】BuuruuuruuurrSSOAbOBcOC【法一】由SaOASbOBScOC0得，SaSabc由aOAbOBcOC0得OAOBOC，aaSbSc根据平面向量基本定理可得b，c，SaaSaaSbSc所以b，c，SaaSaa延长CO交AB于E，延长BO交AC于F，S|AE|Sb|AE|b|AC|则b，又b，所以，Sa|BE|Saa|BE|a|BC|所以CE为ACB的平分线，同理可得BF是ABC的平分线，所以O为ABC的内心.故选：B111【法二】记点O到AB、BC、CA的距离分别为h1，h2，h3，Sah，Sbh，Sch，OBC22OAC23OAB21111因为SOASOBSOC0，则ahOAbhOBchOC=0，即△OBC△OAC△OAB222323ah2OAbh3OBch1OC0，又因为aOAbOBcOC0，所以h1h2h3，所以点P是△ABC的内心.故选：B【反思】设O为ABC所在平面上一点,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则O为ABC的内心aOAbOBcOC0.利用结论可直接得到O为ABC的内心.例题2：已知G是ABC的重心，且满足56sinAGA40sinBGB35sinCGC0，求角B【详解】因为G是ABC的重心，所以GAGBGC0,所以56sinA:40sinB:35sinC1:1:1，所以sinA:sinB:sinC5:7:8，由正弦定理a:b:csinA:sinB:sinC5:7:8，由余弦定理，a2c2b25282721cosB，因为B(0,)，所以B.2ac25823【反思】设G是ABC的重心,直接利用奔驰定理结论O是ABC的重心SA:SB:SC1:1:1OAOBOC0，所以在本例中，已知56sinAGA40sinBGB35sinCGC0可得到56sinA:40sinB:35sinC1:1:1，从而得到sinA:sinB:sinC5:7:8，再利用正弦定理，余弦定理求解.例题3：设点O在ABC内部，且5OA3OB7OC0,则ABC与AOC的面积之比为.【详解】因为点在内部，满足奔驰定理，OABCSAOASBOBSCOC0A且5OA3OB7OC0，所以SA:SB:SC5:3:7,从而得到SCOSBSABC:SAOC:(537):35:1SA【反思】奔驰定理：设O是ABC内一点，BOC,AOC,AOB的面积分BC别记作SA,SB,SC则SAOASBOBSCOC0，对于满足条件的选择，填空题，都可以直接使用该结论.三、针对训练举一反三一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）平面上有ABC及其内一点O，构成如图所示图形，若将OAB，△OBC，uuruuuruuurr的面积分别记作S，S，S，则有关系式．因图形和奔驰车的logo很相似，OCAcabSaOASbOBScOC0常把上述结论称为“奔驰定理”．已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足aOAbOBcOC0，则O为ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心【答案】BuuruuuruuurrSSOAbOBcOC【详解】由SaOASbOBScOC0得，SaSabc由aOAbOBcOC0得OAOBOC，aaSbSc根据平面向量基本定理可得b，c，SaaSaaSbSc所以b，c，SaaSaa延长CO交AB于E，延长BO交AC于F，S|AE|Sb|AE|b|AC|则b，又b，所以，Sa|BE|Saa|BE|a|BC|所以CE为ACB的平分线，同理可得BF是ABC的平分线，所以O为ABC的内心.故选：B111另解：记点O到AB、BC、CA的距离分别为h1，h2，h3，Sah，Sbh，Sch，因OBC22OAC23OAB21111为SOASOBSOC0，则ahOAbhOBchOC=0，即△OBC△OAC△OAB222323ah2OAbh3OBch1OC0，又因为aOAbOBcOC0，所以h1h2h3，所以点P是△ABC的内心.故选：B2．（2021春·湖北襄阳·高一校联考期中）奔驰定理：已知O是ABC内的一点，BOC，AOC，AOB的面积分别为SA，SB，SC，则SAOASBOBSCOC0.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.设O为三角形ABC内一S△AOB点，且满足：OA2OB3OC3AB2BCCA，则（）S△ABC2111A．B．C．D．5263【答案】D【详解】解：O为三角形ABC内一点，且满足OA2OB3OC3AB2BCCA，OA2OB3OC3(OBOA)2(OCOB)(OAOC)3OAOB2OC0，SAOASBOBSCOC0．SSS1△AOB△AOBC，S△ABCS△AOBS△BOCS△AOCSASBSC3故选：D．二、多选题3．（2022·全国·高三专题练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知O是△ABC内一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为SA，SB，SC，且SAOASBOBSCOC0．设O是锐角△ABC内的一点，∠BAC，∠ABC，∠ACB分别是的△ABC三个内角，以下命题正确的有（）A．若OA2OB3OC0，则SA:SB:SC1:2:35π9B．若OAOB2，AOB，2OA3OB4OC0，则SABC62πC．若O为△ABC的内心，3OA4OB5OC0，则C26D．若O为△ABC的垂心，3OA4OB5OC0，则cosAOB6【答案】ACD【详解】对A，由奔驰定理可得，OA2OB3OCSAOASBOBSCOC0，又OA、OB、OC不共线，故SA:SB:SC1:2:3，A对；199对B，SC22sinAOB1，由2OA3OB4OC0得SA:SB:SC2:3:4，故SABCSC，B错；244对C，若O为△ABC的内心，3OA4OB5OC0，则SA:SB:SC3:4:5，又111πS:S:Sar:br:cra:b:c（r为内切圆半径），三边满足勾股定律，故C，C对；ABC2222对D，若O为△ABC的垂心，则BOCAπ，OBOCOBOCcosBOCOBOCcosA，又OBACOBOCOA0OBOCOBOAOCcosAOAcosC，同理OCcosBOBcosC,OAcosBOBcosA，∴OA:OB:OCcosA:cosB:cosC，∵3OA4OB5OC0，则SA:SB:SC3:4:5，111且S:S:SOBOCsinBOC:OAOCsinAOC:OAOBsinAOBABC222cosBcosCsinA:cosAcosCsinB:cosAcosBsinCsinAsinBsinC::cosAcosBcosCtanA:tanB:tanC如图，D、E、F分别为垂足，37设A