专题07三点共线与四点共面充要条件一、结论1、平面向量三点共线问题：设平面上三点O,A,B不共线,则平面上任意一点P与A,B共线的充要条件是存在实数与11,使得OPOAOB,且1.特别地,当P为线段AB的中点时,OPOAOB.222、空间中四点共面问题:如图空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x,y)，使APxAByAC．或者等价于：对空间任意一点O，空间一点P位于平面ABC内（P,A,B,C四点共面）的充要条件是存在有序实数对(x,y)，使OPOAxAByAC，该式称为空间平面ABC的向量表示式，由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．拓展:对于空间任意一点O，四点P,C,A,B共面（其中C,A,B不共线）的充要条件是OPxOCyOAzOB（其中xyz1）．二、典型例题例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知ABC中，点D为线段BC（不包括端点）上任意一点，且实11数x，y满足ADxAB2yAC，则的最小值为（）xyA．322B．6C．42D．46例题2．（2023·全国·高三专题练习）在ABC中，E为AC上一点，AC3AE，P为BE上任一点，若31APmABnAC(m0,n0)，则的最小值是（）mnA．23B．423C．6D．12例题3．（2022秋·北京·高二人大附中校考期中）已知O、A、B、C为空间中不共面的四点，且31OPOAOBtOC，若P、A、B、C四点共面，则实数t的值是（）483113A．B．C．D．4884例题4．（2022秋·北京·高二人大附中校考期末）空间A,B,C,D四点共面，但任意三点不共线，若P为51该平面外一点且PAPBxPCPD，则实数x的值为（）334114A．B．C．D．3333三、针对训练举一反三一、单选题1．（2023秋·山东枣庄·高三统考期末）已知D为线段AB上的任意一点，O为直线AB外一点，A关于点O的对称点为C，若ODxOByOC，则xy的值为（）A．1B．0C．1D．22．（2023·全国·高三专题练习）已知A，B，C是圆O上的三点，CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外的点D，若OCmOAnOB，则mn的取值范围是（）A．0,1B．1,C．,1D．1,03．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知平行四边形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线与AB,AD1m所在直线分别交于点M，N，满足ABmAM,ANnAD,(m0,n0)，若mn，则的值为（）3n2345A．B．C．D．34564．（2023·全国·高三专题练习）在ABC中，点F为线段BC上任一点（不含端点），若12AFxAB2yACx0,y0，则的最小值为（）xyA．9B．8C．4D．225．（2023·全国·高三专题练习）如图，在ABC中，M，N分别是线段AB，AC上的点，且AMAB，3112ANAC，D，E是线段BC上的两个动点，且ADAExAMyAN(x,yR)，则的的最小值是3xy（）49A．4B．C．D．2346．（2023秋·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考期末）设向量OA,OB,OC不共面，空间一点P满足OPxOAyOBzOC，则A,B,C,P四点共面的一组数对x,y,z是（）111111131121A．,,B．,,C．,,D．,,4324364423327．（2023秋·江西南昌·高二南昌市外国语学校校考期末）已知点D在ABC确定的平面内，O是平面ABC22外任意一点，实数x，y满足DOxOA2yOB3OC，则xy的最小值为（）425A．B．C．1D．2558．（2022春·四川绵阳·高二校考阶段练习）已知O为空间任意一点，A、B、C、P满足任意三点不共线，但四点共面，且BPmOAOBOC，则m的值为（）A．1B．2C．2D．3二、多选题9．（2022秋·湖北孝感·高二应城市第一高级中学校考阶段练习）已知点P为三棱锥OABC的底面ABC所在平面内的一点，且OPmOA2nOB2OC(m0,n0)，则下列说法正确的是（）9A．m2n3B．mn2C．mn的最大值为1D．mn的最大值为8三、填空题10．（2023秋·辽宁沈阳·高一沈阳铁路实验中学校考期末）在ABC中，点F为线段BC上任一点（不含端12点），若AFxAB2yACx0,y0，则的最小值为____________.xy11．（2022秋·广西钦州·高二校考阶段练习）已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，若向量11OP=OA+OB+OC，且点P与A，B，C共面，则实数______．3212．（2022秋·黑龙江黑河·高二校联考期末）已知P，A，B，C四点共面，对空间任意一点O，若OP2OAOBtOC，则t______.四、解答题1113．（2023秋·北京昌平·高一统考期末）如图，在ABC中，AMAB,BNBC.设ABa,ACb.32(1)用a,b表示BC,MN；51(2)若P为ABC内部一点，且APab.求证：M,P,N三点共线.12414．（2023·高一课时练习）已知ABC中，AB2,AC1,BAC120，AD为角平分线．（1）求AD的长度；12（2）过点D作直线交AB,AC的延长线于不同两点E,F，且满足AExAB，AFyAC，求的值，并xy说明理由．15．（2023·高一单元测试）（Ⅰ）如图1，A,B,C是平面内的三个点，且A与B不重合，P是平面内任意一点，若点C在直线AB上，试证明：存在实数，使得：PCPA(1)PB.（Ⅱ）如图2,设G为ABC的重心,PQ过G点且与AB、AC（或其延长线）分别交于P,Q点，若11APmAB，AQnAC，试探究：的值是否为定值，若为定值，求出这个定值；若不是定值，请说mn明理由.216．（2022春·江西宜春·高一校考期末）如图，在ABC中，AQ为边BC的中线，APAQ，过点P作直5线分别交边AB，AC于点M，N，且AMAB，ANAC，其中0，0(1)当MN∥BC，用AM，AN线性表示AQ；11(2)证明：为定值.