专题05函数周期性，对称性，奇偶性问题一、结论（同号周期，异号对称.）1、周期性：已知定义在R上的函数f(x),若对任意xR,总存在非零常数T,使得f(xT)f(x),则称f(x)是周期函数,T为其一个周期.除周期函数的定义外,还有一些常见的与周期函数有关的结论如下:(1)如果f(xa)f(x)(a0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T2a1(2)如果f(xa)(a0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T2a.f(x)1(3)如果f(xa)(a0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T2a.f(x)(4)如果f(xa)f(x)c(a0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T2a.(5)如果f(xa)f(xb)(a0,b0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T|ab|.(6)如果f(x)f(xa)f(xa)(a0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T6a.2、对称性：已知函数f(x)是定义在R上的函数.ab（1）轴对称：若f(xa)f(bx)恒成立,则yf(x)的图象关于直线x对称,特别地,若2f(ax)f(ax)恒成立,则yf(x)的图象关于直线xa对称;f(ax)f(ax)最常逆应用：若yf(x)关于xa对称：可得到如下结论中任意一个：f(x)f(2ax)；f(x)f(2ax)周期性与对称性记忆口诀：同号周期，异号对称.abc（2）点对称：若f(ax)f(bx)c,则yf(x)的图象关于点(,)对称.22特别地,若f(ax)f(ax)2b恒成立,则yf(x)的图象关于点(a,b)对称.特别地,若f(ax)f(ax)恒成立,则yf(x)的图象关于点(a,0)对称.f(ax)f(ax)最常逆应用：若yf(x)关于xa对称：可得到如下结论中任意一个：f(x)f(2ax)f(x)f(2ax)二、典型例题例题1．（2023秋·广东·高二校联考期末）已知定义在R上的函数fx满足：fxfx0,f2xfx，且fx在1,1内单调递增，则（）A．f5.3f5.5f2B．f5.3f2f5.5C．f2f5.3f5.5D．f5.5f2f5.3【答案】B【详解】根据题意，函数fx满足fxfx0，f2x=fx，则有f2xfx，变形可得fx2fx，则有fx4fx，即函数fx是周期为4的周期函数，对称轴为x1，fx在1,1内单调递增，所以fx在1,3内单调递减，f1.5f5.5，f5.3f2.78f2.7，11.522.73，f(1.5)f(2)f2.7，即f5.3f2f5.5.故选：B.【反思】奇偶性，周期性，对称性问题，在高考中往往是同时呈现，题目比较综合，在本例中由fxf(x)fxfx0,f2xfx联立，两式相加，得到f2xfx，用“x”替f2xf(x)换f2xfx中的“x”变形可得fx2fx，从而得到周期T4，进而再利用周期性和已知的单调性求解问题。例题2．（2022春·贵州遵义·高一统考期末）对xR，函数fx满足f1xfx1，2152023fx4fx0.当0x1时fx1x.设af，bf，cf，则a，b，c的大234小关系为______.【答案】cba##abc【详解】∵f1xfx1，fx4fx0，∴fxfx2，fx4fx，∴fx4fx2，即fx2fx，∴fx4fx2fx，∴函数fx的周期为4，又当0x1时fx1x2，13518∴af，bff，24339202377115cff1264ff，444416∴cba.故答案为：cba.【反思】在本例中，由f1xfx1f(x)关于直线x1对称，进而得到：f(x)f(2x)与f(x)f(2x)fx4fx0联立，，得到fx4fx2，即fx2fx，从而根f(x)f(x4)据周期的公式得到周期为T4，进而利用周期，再结合题意已知条件解题.三、针对训练举一反三31．（2023·新疆乌鲁木齐·统考一模）已知定义在R上的奇函数fx，满足fx3fx，且当x0,2时，fxx26x8，则f0f1f2f100（）A．6B．3C．0D．3【答案】B【详解】因为函数fx对任意的实数x，恒有fx3fx，所以fx6fx3fx，所以函数fx是以6为周期的周期函数，又fx定义在R上的奇函数，所以f00,f3f00，3又当x(0,]时，fxx26x8，2所以f13,f2f13f1f13，f4f13f13,f5f23f23，所以f0f1f2...f100，f0f1f2...f516f0f1f2f3f4，01633，故选：B.2．（2023·河南郑州·统考一模）已知函数fx定义域为R，fx1为偶函数，fx2为奇函数，且满2023足f1f22，则fk（）k1A．2023B．0C．2D．2023【答案】B【详解】因为f(x1)为偶函数，所以f(x1)f(x1)，所以f(x2)f(x)，因为f(x2)为奇函数，所以f(x2)f(x2)，所以f(x2)f(x)，所以f(x4)f(x2)f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数，由f(x2)f(x2)，令x0，得f(2)f(2)，则f(2)0，又f(1)f(2)2，得f(1)2，由f(x2)f(x2)，令x1，得f(1)f(3)，则f(3)2，由f(x2)f(x)，令x2，得f(4)f(2)0，则f(1)f(2)f(3)f(4)0，2023所以f(k)[f(1)f(2)f(3)f(4)]505f(1)f(2)f(3)05052(2)0.k1故选：B．3．（2023秋·江西抚州·高三临川一中校考期末）若函数fx的定义域为R，且fx1是偶函数，fx1关于点2,0成中心对称，则函数fx的一条对称轴为（）A．x2023B．x2022C．x2021D．x2020【答案】C【详解】因为fx1是偶函数，所以fx1fx1，所以fx关于x1对称，即fxf2x，因为fx1关于点2,0成中心对称，且fx向左平移1个单位长度之后得到fx1，所以fx关于3,0对称，所以fxf6x0，因为fxf2x，fxf6x0，所以f6xf2x，故fxfx4fx8，故fx的周期为8，因为fx关于x1对称，关于3,0对称，所以fx关于x5对称，所以fx的对称轴为x18k,kZ或x58k,kZ，因为202025284,202125285,202225286,202325287,所以函数fx的一条对称轴为x2021，故选：C4．（2023秋·江苏苏州·高三统考期末）已知函数f(x)的定义域为R，f(x1)为奇函数，f(x2)为偶函数.31k记函数g(x)2f(2x1)1，则g（）k12A．25B．27C．29D．31【答案】D【详解】f(x1)为奇函数，f(x1)是由f(x)向左平移1个单位得到，则f(x)的图象关于点(1,0)对称，所以f(2x)f(x)，f(1)0，f(x2)为偶函数，f(x2)是由f(x)向左平移2个单位得到，则f(x)的图象关于直线x2对称，所以f(2x)f(2x)，则f(3)0，所以f(x2)f(x)，从而f(x4)f(x2)f(x)，f(x)是周期函数，且周期为4，所以f(2k1)0,kZ，因为f(x)的图象关于直线x2对称，也关于点(1,0)对称，所以f(x)的图象关于点(3,0)对称，所以f(2)f(4)0，所以f(2)f(3)f(4)f(5)0，31所以f(k1)7f(2)f(3)f(4)f(5)f(2)f(3)f(4)0k1k因为g()2f(k1)1，kZ，231k31所以g2f(k1)3131，k12k1故选：D．二、多选题5．（2023秋·湖南永州·高一统考期末）已知定义在R上的奇函数fx满足f2xfx，若f12，则（）A．4为fx的一个周期B．fx的图象关于直线x1对称C．f20220D．f20232【答案】ABC【详解】对于A：函数fx为奇函数，则f2+x=fx=fx，则f4xf22xf2xfx，则fx的一个周期为4，故A正确；2对于B：f2xfx，则函数关于x1对称，故B正确；2对于C：fx的一个周期为4，f2022f50542f2，令f2xfx中的x0，则f2f0，函数fx为定义在R上奇函数，f00，f20220，故C正确；对于D：fx的一个周期为4，f2023f50641f1，函数fx为奇函数，f1f12，f20232，故D错误；故选：ABC.三、填空题6．（2023·四川南充·四川省南部中学校考模拟预测）已知函数fx是定义在R上的奇函数，对任意的xR33都有fxfx，当x,0时，fxlog21x，则f2021f2022_________24【答案】13【详解】解：根据题意，fx满足对任意的xR都有fxfx，23所以fx3fxfx，则fx是周期为3的周期函数，2则f2021f20221f1，f2022f0，又由fx为定义在R上的奇函数，则f00，33111又由x,0时，fxlog21x，则f1f1fflog21，42222则f2021f11，f2022f00，则f2021f2022101.故答案为：17．（2023春·安徽·高一淮北一中校联考开学考试）设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(