第六节双曲线的方程与性质知识框架知识点归纳1.双曲线的定义(1)平面内到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫作双曲线.这两个定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作双曲线的焦距.(2)其数学表达式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.①若ac，则集合P为空集.2.双曲线的标准方程和几何性质标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x离心率e＝eq\f(c,a)，e∈(1，＋∞)实虚轴线段A1A2叫作双曲线的实轴，它的长度|A1A2|＝2a；线段B1B2叫作双曲线的虚轴，它的长度|B1B2|＝2b；a叫作双曲线的实半轴长，b叫作双曲线的虚半轴长a，b，c的关系c2＝a2＋b2[常用结论]1.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为eq\f(2b2,a).2.离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(a2＋b2),a)＝eq\r(1＋\f(b2,a2)).3.若渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x，则双曲线方程可设为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0).4.双曲线的焦点到渐近线的距离为b.5.若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝c＋a，|PF2|min＝c－a.6.焦点三角形的面积：P为双曲线上的点，F1，F2为双曲线的两个焦点，且∠F1PF2＝θ，则△F1PF2的面积为eq\f(b2,tan\f(θ,2)).题型归类题型一双曲线的定义及应用例1(1)已知定点F1(－2，0)，F2(2，0)，N是圆O：x2＋y2＝1上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹是( )A.椭圆 B.双曲线C.抛物线 D.圆答案 B解析 如图，连接ON，由题意可得|ON|＝1，且N为MF1的中点，又O为F1F2的中点，所以|MF2|＝2.因为点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，由垂直平分线的性质可得|PM|＝|PF1|，所以||PF2|－|PF1||＝||PF2|－|PM||＝|MF2|＝2＜|F1F2|，所以由双曲线的定义可得，点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线.(2)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为________.答案 2eq\r(3)解析 不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a＝2eq\r(2)，在△F1PF2中，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝eq\f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)＝eq\f(1,2)，∴|PF1|·|PF2|＝8，∴S△F1PF2＝eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|·sin60°＝2eq\r(3).感悟提升 在焦点三角形中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系.题型二双曲线的标准方程例2(1已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的焦距为2eq\r(5)，点P(2，1)在C的一条渐近线上，则C的方程为( )A.x2－eq\f(y2,4)＝1 B.eq\f(x2,4)－y2＝1C.eq\f(3x2,20)－eq\f(3y2,5)＝1 D.eq\f(x2,16)－eq\f(y2,4)＝1答案 B解析 由题可知c＝eq\r(5)，故a2＋b2＝5，因为P(2，1)在C的一条渐近线上，所以eq\f(b,a)＝eq\f(1,2)，解得a＝2，b＝1，故双曲线C的方程为eq\f(x2,4)－y2＝1.(2)(2023·潍坊调研)已知双曲线的离心率e＝eq\f(\r(5),2)，且该双曲线经过点(2，2eq\r(5))，则该双曲线的标准方程为________________.答案 eq\f(y2,4)－x2＝1解析 由题意，知e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(5),2)，解得a＝2b，当焦点在x轴上时，设双曲线的标准方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，∵点(2，2eq\r(5))在该双曲线上，∴eq\f(4,a2)－eq\f(20,b2)＝1，即eq\f(4,4b2)－eq\f(20,b2)＝1，此方程无解；当焦点在y轴上时，设双曲线的标准方程为eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，∵点(2，2eq\r(5))在该双曲线上，∴eq\f(20,a2)－eq\f(4,b2)＝1，即eq\f(20,4b2)－eq\f(4,b2)＝1，解得b＝1，∴a＝2，∴该双曲线的标准方程为eq\f(y2,4)－x2＝1.感悟提升 1.用待定系数法求双曲线的标准方程时，先确定焦点在x轴还是y轴上，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点的位置不好确定，可将双曲线的方程设为eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝λ(λ≠0)或mx2－ny2＝1(mn>0)，再根据条件求解.2.与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)有相同渐近线时可设所求双曲线方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0).题型三双曲线的简单几何性质角度1 渐近线例3(1)(2023·许昌模拟)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的离心率为eq\r(5)，则双曲线C的渐近线方程为________.答案 y＝±2x解析 设双曲线C的焦半距为c，则由题可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)＝\r(5)，,c2＝a2＋b2，))则eq\f(a2＋b2,a2)＝5，即eq\f(b2,a2)＝4，eq\f(b,a)＝2，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±2x.(2)(2023·重庆诊断)设双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线C及其渐近线在第一象限分别交于A，B两点，O为坐标原点，若eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OF,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))，则双曲线C的渐近线方程为________________.答案 y＝±eq\f(\r(3),3)x解析 由题意，将x＝c分别与eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1和y＝eq\f(b,a)x联立，可得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(b2,a)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(bc,a)))，又F(c，0)，且eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OF,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(b2,a)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(bc,2a)))，∴b＝eq\f(c,2)，eq\f(b,a)＝eq\r(\f(b2,c2－b2))＝eq\f(\r(3),3)，∴渐近线方程为y＝±eq\f(\r(3),3)x.角度2 离心率例4(1)(2023·沈阳调研)已知O为坐标原点，双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，点A(a，b)，若|OA|＝|FA|，则双曲线C的离心率为( )A.2 B.eq\r(3)C.eq\r(2) D.eq\f(\r(5)＋1,2)答案 A解析 由题知F(c，0).又A(a，b)，|OA|＝|FA|，所以a＝eq\f(1,2)c，所以双曲线C的离心率e＝eq\f(c,a)＝2.(2)(2023·烟台调研)已知F1，F2分别是双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，点P是双曲线C上在第一象限内的一点，若sin∠PF2F1＝3sin∠PF1F2，则双曲线C的离心率的取值范围为________.答案 (1，2)解析 在△PF1F2中，sin∠PF2F1＝3sin∠PF1F2，由正弦定理得|PF1|＝3|PF2|，又点P是双曲线C上第一象限内的一点，所以|PF1|－|PF2|＝2a，所以|PF1|＝3a，|PF2|＝a，在△PF1F2中，由|PF1|＋|PF2|＞|F1F2|，得3a＋a＞2c，即2a＞c，所以e＝eq\f(c,a)＜2，又e＞1，所以1＜e＜2.感悟提升 1.求双曲线离心率或其取值范围的方法：(1)直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解.(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解.2.双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的渐近线可由eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝0即得两渐近线方程eq\f(x,a)±eq\f(y,b)＝0.训练3(1)(2023·武汉调研)如图，已知F为双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，平行于x轴的直线l分别交C的渐近线和右支于点A，B，且∠OAF＝90°，∠OBF＝∠OFB，则C的渐近线方程为________.答案 y＝±x解析 依题意，设B(m，n)，F(c，0)，联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝n，,y＝\f(b,a)x，))解得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(an,b)，n)).∵∠OAF＝90°，∴kAF·kOA＝－1，即eq\f(n,\f(an,b)－c)·eq\f(b,a)＝－1，∴n＝eq\f(ab,c)，又B(m，n)在双曲线C上，可得eq\f(m2,a2)－eq\f(n2,b2)＝1，把n＝eq\f(ab,c)代入，得m2＝eq\f(a2c2＋a4,c2).由∠OBF＝∠OFB，得|OB|＝|OF|，∴m2＋n2＝c2，即eq\f(a2c2＋a4,c2)＋eq\f(a2b2,c2)＝c2，∴