第七节抛物线方程与性质知识框架知识点归纳1.抛物线的定义(1)平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线.定点F叫作抛物线的焦点，定直线l叫作抛物线的准线.(2)其数学表达式：{M||MF|＝d}(d为点M到准线l的距离).2.抛物线的标准方程与几何性质图形标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离性质顶点O(0，0)对称轴y＝0焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))离心率e＝1准线方程x＝eq\f(p,2)范围x≤0，y∈R开口方向向左[常用结论]1.通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于2p，通径是过焦点最短的弦.2.抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(x0，y0)到焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))的距离|PF|＝x0＋eq\f(p,2)，也称为抛物线的焦半径.题型归类题型一抛物线的定义和标准方程例1(1)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，M，N是抛物线上两个不同的点.若|MF|＋|NF|＝5，则线段MN的中点到y轴的距离为________.(2)(2022·全国乙卷)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B(3，0)，若|AF|＝|BF|，则|AB|＝________.(3)(2021·新高考Ⅰ卷)已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，则C的准线方程为________.感悟提升 求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.题型二抛物线的几何性质及应用角度1 焦半径和焦点弦例2(1)已知点F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，且eq\o(AF,\s\up6(→))＝teq\o(FB,\s\up6(→))(t＞1)，|AB|＝eq\f(16,3)，则t＝________.(2)过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的长为8，则p＝________.角度2 与抛物线有关的最值问题例3(1)若在抛物线y2＝－4x上存在一点P，使其到焦点F的距离与到A(－2，1)的距离之和最小，则该点的坐标为________.(2)已知抛物线x2＝4y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为________.感悟提升 与抛物线有关的最值问题的两个转化策略转化策略一：将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”“三角形两边之和大于第三边”，使问题得以解决.转化策略二：将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.题型三抛物线的综合问题例4已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为eq\f(3,2)的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.(1)若|AF|＋|BF|＝4，求直线l的方程；(2)若eq\o(AP,\s\up6(→))＝3eq\o(PB,\s\up6(→))，求|AB|.感悟提升 1.有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.2.涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法.提醒 涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解.题型四抛物线中的二级结论抛物线焦点弦的有关性质是高中数学的重要部分，了解和掌握相关结论，在解题时可迅速打开思路，抛物线焦点弦的常见结论如下：设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1·x2＝eq\f(p2,4)，y1y2＝－p2；(2)若A在第一象限，B在第四象限，则|AF|＝eq\f(p,1－cosα)，|BF|＝eq\f(p,1＋cosα)，弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2α)(α为弦AB的倾斜角)；(3)eq\f(1,|FA|)＋eq\f(1,|FB|)＝eq\f(2,p)；(4)以弦AB为直径的圆与准线相切；(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切；(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上；(7)通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p.例1过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝2|BF|，则|AB|等于( )A.4 B.eq\f(9,2)C.5 D.6例2(2023·福州联考)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，过F且倾斜角为eq\f(π,3)的直线交C于A，B两点，线段AB中点的纵坐标为eq\r(3)，则|AB|＝( )A.eq\f(8,3) B.4C.8 D.24训练(1)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为( )A.eq\f(3\r(3),4) B.eq\f(9\r(3),8)C.eq\f(63,32) D.eq\f(9,4)(2)(2023·广州模拟)已知抛物线C1：y2＝4x，圆C2：(x－2)2＋y2＝2，直线l：y＝k(x－1)与C1交于A，B两点，与C2交于M，N两点，若|AB|＝8，则|MN|＝________________.课时训练一、单选题1．已知抛物线C：的焦点为F，点在抛物线C上，则（    ）A．4 B． C．8 D．2．已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，是抛物线上的点，且轴，若以为直径的圆截直线所得的弦长为2，则A．2 B． C．4 D．3．设斜率为1的直线过抛物线的焦点，且和轴交于点，若（为坐标原点）的面积为2，则（    ）．A．4 B．8 C． D．4．直线：与抛物线：交于不同两点、，是的焦点，若，则的面积为（    ）A． B． C． D．5．已知抛物线：的焦点为，点为上一点，若，则的准线方程为（    ）A． B． C． D．6．已知抛物线，过其焦点的直线与抛物线分别交于、两点(点在第一象限)，且则直线的倾斜角为（    ）A． B． C． D．二、多选题7．已知抛物线的焦点为、准线为，过点的直线与抛物线交于两点，，点在上的射影为，则（    ）A．若，则B．以为直径的圆与准线相切C．为定值D．过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线至多有条8．（多选）已知抛物线：的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于点，，点，在上的射影为，，则下列说法正确的是（    ）A．若，则 B．以为直径的圆与准线相切C．若，则 D．三、填空题9．抛物线的焦点到准线的距离为______.10．已知抛物线：的焦点为，过且垂直于轴的直线与交于､两点，则以线段为直径的圆被轴所截得的弦长为___________.11．已知抛物线的焦点为F，圆为抛物线上一点，且，过M作圆F的两条切线，切点分别为A，B，则的取值范围为____________．12．已知抛物线与点，过的焦点，且斜率为的直线与交于A，B两点，若，则___________．四、解答题13．已知抛物线上的一点M的纵坐标为1，求点M到焦点的距离.14．如图，已知定点轴于点，是线段上任意一点，轴于点，于点，相交于点P，求P点的轨迹方程.15．已知抛物线的方程为x2＝8y，F是焦点，点A(－2,4)．在此抛物线上求一点P，使|PF|＋|PA|的值最小．16．如图，曲线G的方程为，.以原点为圆心，以t（t>0）为半径的圆分别与曲线G和y轴的正半轴相交于点A与点B.直线AB与x轴相交于点C.（Ⅰ）求点A的横坐标a与点C的横坐标c的关系式；（Ⅱ）设曲线G上点D的横坐标为a＋2，求证：直线CD的斜率为定值.