阿基米德三角形【方法技巧与总结】2如图所示，AB为抛物线x=2py(p>0)的弦，A(x1,y1)，B(x2,y2)，分别过A,B作的抛物线的切线交于点P，称△PAB为阿基米德三角形，弦AB为阿基米德三角形的底边．1.阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴．2.若阿基米德三角形的底边即弦AB过抛物线内定点Cx0，y0，则另一顶点P的轨迹为一条直线．3.若直线l与抛物线没有公共点，以l上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点．a34.底边长为a的阿基米德三角形的面积的最大值为．8p5.若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点Q的轨迹为准线，且阿基米德三角形的面积的最小值为p2．x+xxx6.点P的坐标为12,12；22p7.底边AB所在的直线方程为x1+x2x-2py-x1x2=0;x-x38.△PAB的面积为S=12．△PAB8p9.若点P的坐标为x0,y0，则底边AB的直线方程为x0x-py+y0=0．|AC||CE|10.如图，若E为抛物线弧AB上的动点，点E处的切线与PA，PB分别交于点C，D，则==|CP||ED||PD|.|DB|11.若E为抛物线弧AB上的动点，抛物线在点E处的切线与阿基米德三角形△PAB的边PA，PB分别交于S点C，D，则△EAB=2．S△PCD212.抛物线和它的一条弦所围成的面积，等于以此弦为底边的阿基米德三角形面积的．3【题型归纳目录】题型一：定点问题题型二：交点的轨迹问题题型三：切线垂直问题题型四：面积问题题型五：外接圆问题题型六：最值问题题型七：角度相等问题【典例例题】题型一：定点问题例1.已知点A(0,-1)，B(0,1)，动点P满足|PB||AB|=PA⋅BA．记点P的轨迹为曲线C．(1)求C的方程；(2)设D为直线y=-2上的动点，过D作C的两条切线，切点分别是E，F．证明：直线EF过定点．【解析】解：(1)设P(x,y)，则PA=(-x,-1-y)，PB=(-x,1-y)AB=(0,2)，BA=(0,-2)，所以|PB||AB|=PA⋅BA，所以(-x)2+(1-y)2=1+y化简得x2=4y，所以C的方程为x2=4y．(2)由题意可设D(t,-2)，E(x1，y1)，F(x2，y2)，由题意知切线DE，DF的斜率都存在，2xxx1由x2=4y，得y=，则y′=，所以k=，42DE2xxx2直线DE的方程为y-y=1(x-x)，即y-y=1x-1，①121122x2因为E(x，y)在x2=4y上，所以x2=4y，即1=2y，②111121将②代入①得x1x-2y1-2y=0，所以直线DE的方程为x1x-2y1-2y=0，同理可得直线DF的方程为x2x-2y2-2y=0，因为D(t,-2)在直线DE上，所以tx1-2y1+4=0，又D(t,-2)在直线DF上，所以tx2-2y2+4=0，所以直线EF的方程为tx-2y+4=0，故直线EF过定点(0,2)．x21例2.已知曲线C:y=，D为直线y=-上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B．22(1)证明：直线AB过定点．5(2)若以E0,为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程．21【解析】(1)证明：设Dt,-，A(x，y)，则x2=2y，21111y+112由于y′=x，∴切线DA的斜率为x1，故=x1，x1-t整理得：2tx1-2y1+1=0．设B(x2，y2)，同理可得2tx2-2y2+1=0．故直线AB的方程为2tx-2y+1=0．1∴直线AB过定点0,；21(2)解：由(1)得直线AB的方程y=tx+．2y=tx+122由2，可得x-2tx-1=0．y=x22于是x1+x2=2t,y1+y2=t(x1+x2)+1=2t+1．1设M为线段AB的中点，则Mt,t2+，2由于EM⊥AB，而EM=(t,t2-2)，AB与向量(1,t)平行，∴t+(t2-2)t=0，解得t=0或t=±1．52当t=0时，|EM|=2，所求圆的方程为x2+y-=4；252当t=±1时，|EM|=2，所求圆的方程为x2+y-=2．2例3.在平面直角坐标系xOy中，M为直线y=x-2上一动点，过点M作抛物线C:x2=y的两条切线MA，MB，切点分别为A，B，N为AB的中点．(1)证明：MN⊥x轴；(2)直线AB是否恒过一定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由．22【解析】解：(1)设切点A(x1，x1)，B(x2，x)，22因为y=2x，所以切线MA的斜率为2x1，直线MA的方程为：y=2x1(x-x1)+x1=2x1x-x1，设M的坐标为：(t,t-2)2所以x1-2tx1+t-2=0，2直线MB的斜率为2x2，切线MB的方程为y=2x2x-x2，2所以M点是方程x2-2tx2+t-2=0，2所以x1，x2是方程x-2tx+t-2=0的两根，x1+x2=2t，x+x因为N为AB的中点．所以x=12=t，N2所以M，N的横坐标相同，即证MN⊥x轴．21(x1+x2)-2x1x2(2)由(1)得y=(x2+x2)==2t2-t+2，N212222x1-x2又因为kAB==x1+x2=2t，x1-x21所以直线AB的方程为：y-(2t2-t+2)=2t(x-t)，即y-2=2tx-，21所以直线AB恒过一定点，2．2变式1.在平面直角坐标系xOy中，M为直线y=x-3上的动点，过点M作抛物线C:x2=2y的两条切线MA，MB，切点分别为A，B，N为AB的中点．(1)证明：MN⊥x轴；(2)直线AB是否恒过定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由．x2x2【解析】解：(1)证明：设切点为Ax，1，Bx，2，12221x2=2y即y=x2的导数为y′=x，2x2所以切线MA的斜率为x，切线的方程为y-1=x(x-x)，1211x2设M(t,t-3)，则有t-3-1=x(t-x)，2112化简可得x1-2tx1+2t-6=0，2同理可得x2-2tx2+2t-6=0，2所以x1，x2是方程x-2tx+2t-6=0的两根，所以x1+x2=2t，x1x2=2t-6，x+xx=12=t=x，N2M所以MN⊥x轴；111(2)因为y=(x2+x2)=(x+x)2-xx=t2-t+3，N412412212所以N(t,t2-t+3)，221x1-x2x1+x2因为kAB=⋅==t，2x1-x22所以直线AB的方程为y-(t2-t+3)=t(x-t)，即y-3=t(x-1)，所以直线AB恒过定点(1,3)．题型二：交点的轨迹问题32例4.已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F(0，c)(c>0)到直线l:x-y-2=0的距离为．2(Ⅰ)求抛物线C的方程；(Ⅱ)设点P(x0，y0)为直线l上一动点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点，求直线AB的方程，并证明直线AB过定点Q；(Ⅲ)过(Ⅱ)中的点Q的直线m交抛物线C于A，B两点，过点A，B分别作抛物线C的切线l1，l2，求l1，l2交点M满足的轨迹方程．32【解析】解：(Ⅰ)∵抛物线C的焦点F(0，c)(c>0)到直线l:x-y-2=0的距离为，2|0-c-2|32∴=，22解得c=1或c=-5，(舍)，∴抛物线C的方程为x2=4y．x2x2x(Ⅱ)设P(x，x-2)，设切点为x,，曲线C:y=，y′=，004422x-(x-2)40x则切线的斜率为=y′=，x-x022化简，得x-2x0x+4x0-8=0，x2x2设Ax，1，Bx,2，则x，x是以上方程的两根，142412∴x1+x2=2x0，x1x2=4x0-8，2x2x1-244x1+x2x0kAB===，x1-x242x2x+x直线AB为：y-1=12(x-x)，441化简，得：x0x-2y-2y0=0，定点Q(2,2)．x2x2(Ⅲ)设Ax，1，Bx,2，1424xx2过A的切线y=1(x-x)+1，214xx2过B的切线y=2(x-x)+2，224x+xxx交点M12，1224设过Q点的直线为y=k(x-2)+2y=k(x-2)+2联立，得x2-4kx+8k-8=0，x2=4y∴x1+x2=4k，x1x2=8k-2，∴M(2k,2k-2)，∴y=x-2．∴点M满足的轨迹方程为x-y-2=0．例5.已知动点Q在x轴上方，且到定点F(0,1)的距离比到x轴的距离大1，(Ⅰ)求动点Q的轨迹C的方程；(Ⅱ)过点P(1,1)的直线l与曲线C交于A，B两点，点A，B分别异于原点O，在曲线C的A，B两点处的切线分别为l1，l2且l1，l2交于点M，求证：M在定直线上．【解析】解：(Ⅰ)动点P(x,y)(其中y>0)到x轴的距离为y，到x轴的距离为y+1．∴|PM|=y+1，又M(0,1)，∴x2+(y-1)2=y+1．得轨迹C的方程：x2=4y，y≠0．(Ⅱ)证明：由题意，直线l的斜率为存在并且不为1，设直线l的方程为：y=k(x-1)+1，k≠1，与x2=4y联立，2可得x-4kx+4k-4=0，A(x1，y1)，B(x2，y2)，x2x∴x+x=4k，xx=4k-4，①又y=，所以y′=，121242x所以切线l的方程为：y=1(x-x)+y，1211xx2即y=1x-1，24xx2同理，切线l:y=2x-2，224x+xxx联立可得：x=12=2k，y=12=k-1，24两式相消k可得：x-2y-2=0，当k=1时，x=2，y=0，所以解得M的轨迹方程为：x-2y-2=0，去掉(2,0)．交点M在定直线上．例6.已知抛物线C．y=ax2(a>0)的焦点为F，直线x=2与x轴相交于点M，与曲线C相交于点N，且4|MN|=|FN|．5(1)求抛物线C的方程；(2)过抛物线C的焦点F的直线l交抛物线于P，Q两点，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，求证点A的纵坐标为定值．11【解析】解：(1)由已知抛物线C:x2=y(a>0)的焦点F0,，a4a4511由|MN|=|FN|，得|FN|=4|MN|=|MN|+4a，即|MN|=，5a点N(2,4a)，11所以=4a(a>0)a=，a2所以抛物线方程：x2=2y．1(2)∵抛物线x2=2y的焦点为F0,，21∴设过抛物线x2=2y的焦点的直线为y=kx+．2设直线与抛物线的交点分别为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x2=2y由，消去y得：x2-2kx-1=0，根据韦达定理，得xx=-1，y=kx+11221抛物线x2=2y，即二次函数y=x2，对函数求导数，得y=x，2所以抛物线在点P处的切线斜率为k1=x1，1可得切线方程为y-y=x(x-x)，化简得y=xx-x2，1111211同理，得到抛物线在点Q处切线方程为y=xx-x2，222xx两方程消去x，得两切线交点A纵坐标满足y=12，A211∵xx=-1，∴yA=-，即点A的纵坐标是定值-．1222变式2.已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F，过F的直线交抛物线于A，B两点．(Ⅰ)若以A，B为直径的圆的方程为(x-2)2+(y-3)2=16，求抛物线C的标准方程；(Ⅱ)过A，B分别作抛物线的切线l1，l2，证明：l1，l2的交点在定直线上．p【解析】解：(1)由抛物线的定义可得+3=4，得p=2，2故抛物线C的标准方程为x2=4y，p(2)由抛物线x2=2py得其焦点坐标为F0,．2x2x2设Ax，1，Bx，2，12p22pp直线AB:y=kx+，代入抛物线方程，得：x2-2kpx-p2=0．22∴x1x2=-p⋯①．x又抛物线方程求导得y′=，pxx2x∴抛物线过点A的切线的斜率为1，切线方程为y-1=1(x-x)⋯②p2pp1xx2x抛物线过点B的切线的斜率为2，切线方程为y-2=2(x-x)⋯③p2pp2p由①②③得：y=-．2p∴l与