专题10直线和圆的方程易错点一：使用两平行线间距离公式忽略系数相等致错（平行线求距离问题）距离问题技巧总结①两点间的距离：已知则②点到直线的距离:③两平行线间的距离：两条平行直线与的距离公式．易错提醒：在求两条平行线间距离时，先将两条直线前的系数统一，然后代入公式求算.例．已知直线，，则（    ）A．直线过定点 B．当时，C．当时， D．当时，之间的距离为【详解】由，令，可得，所以过定点，A对时，，而，即，B对时，，而，显然不垂直，C错，则，可得，由上知，之间的距离为D对.故选：ABD变式1．曲线在点处的切线与其平行直线l的距离为，则直线l的方程可能为（    ）A． B．C． D．【详解】，所以曲线在点处的切线方程为，即设直线（），依题意得，解得或所以直线的方程为或故选：AB变式2．已知直线：，：，圆C：，下列说法正确的是（    ）A．若经过圆心C，则B．直线与圆C相离C．若，且它们之间的距离为，则D．若，与圆C相交于M，N，则【详解】对于A，因为圆心在直线上，所以，解得，A正确,对于B，因为直线恒过点，且即点在圆C内，所以与圆C相交，B错误,对于C，因为，则故与之间的距离，所以，C正确对于D，时，直线：，即因为圆心到直线的距离,所以，D错误,故选：AC变式3．已知直线，则（    ）A．直线过定点B．当时，C．当时，D．当时，两直线之间的距离为1【详解】依题意，直线，由解得：,因此直线恒过定点，A不正确当时，直线，而直线，显然，即直线不垂直，B不正确当时，直线，而直线，显然，即，C正确当时，有，解得，即直线,因此直线之间的距离，D正确故选：CD1．若直线与之间的距离为，则a的值为（    ）A．4 B． C．4或 D．8或【答案】C【分析】将直线化为，再根据两平行直线的距离公式列出方程，求解即可.【详解】将直线化为，则直线与直线之间的距离，根据题意可得：，即，解得或，所以a的值为或.故选：C2．若两条直线，与圆的四个交点能构成正方形，则（    ）A． B． C． D．4【答案】B【分析】由直线方程知，由题意正方形的边长等于直线、的距离，又，结合两线距离公式即可求的值.【详解】由题设知：，要使，，，四点且构成正方形，∴正方形的边长等于直线、的距离，则，若圆的半径为r，，即，则，由正方形的性质知：，∴，即有.故选：B.3．两条平行直线和间的距离为，则，分别为（    ）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】根据两直线平行的性质可得参数，再利用平行线间距离公式可得.【详解】由直线与直线平行，得，解得，所以两直线分别为和，即和，所以两直线间距离，故选：D.4．两条平行直线与之间的距离（    ）A． B． C． D．7【答案】C【分析】首先根据两条直线平行求出参数的值，然后利用平行线间的距离公式求解即可.【详解】由已知两条直线平行，得，所以，所以直线可化为，则两平行线间的距离.故选：C5．已知直线和与圆都相切，则圆的面积的最大值是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】易得互相平行，故圆的直径为间的距离，再表达出距离求最大值即可得圆的直径最大值，进而得到面积最大值【详解】由题，互相平行，且，故圆的直径为间的距离，令，则，，故当，即时取得最大值，此时圆的面积为故选：A6．若直线与平行，则与间的距离为（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】由两直线平行的判定有且求参数a，应用平行线距离公式求与间的距离.【详解】∵直线与平行，∴且，解得．∴直线与间的距离．故选：B．7．已知直线：（），：，若，则与间的距离为（    ）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】由直线平行的结论列方程求，再由平行直线的距离公式求两直线的距离.【详解】由得，解得，所以直线：，即，所以与间的距离为，故选B．8．已知直线，，若，则之间的距离为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由，解得，时舍去，可得，再利用平行线之间的距离公式即可得出．【详解】由于两条直线平行，得，解得，当时，两直线方程都是故两直线重合，不符合题意.当时，，，故两平行直线的距离为.故选A.【点睛】本题主要考查了直线平行的充要条件及其距离，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．若两条平行直线与之间的距离是，则m+n=A．0 B．1 C．-2 D．-1【答案】C【分析】根据直线平行得到，根据两直线的距离公式得到，得到答案.【详解】由，得，解得，即直线，两直线之间的距离为，解得(舍去)，所以故答案选C.【点睛】本题考查了直线平行，两平行直线之间的距离，意在考查学生的计算能力.10．已知直线，则两条直线之间的距离为A． B． C． D．【答案】C【分析】利用两平行直线距离公式即可求得.【详解】因为，则，故选C.【点睛】本题考查了两平行直线距离问题，运用平行直线距离公式可以求解，但要注意将两直线一般方程的系数化为相同的值；也可以在其中一条直线中选取一个特殊点，然后利用点到直线距离公式进行求解，属于基础题.易错点二：求有关截距相等问题时易忽略截距为零的情况（直线截距式的考点）直线方程的五种形式的比较如下表：名称方程的形式常数的几何意义适用范围点斜式是直线上一定点，k是斜率不垂直于x轴斜截式k是斜率，b是直线在y轴上的截距不垂直于x轴两点式，是直线上两定点不垂直于x轴和y轴截距式a是直线在x轴上的非零截距，b是直线在y轴上的非零截距不垂直于x轴和y轴，且不过原点一般式A、B、C为系数任何位置的直线给定一般式求截距相等时，具体方案如下：形如：第一种情况第二种情况：截距之和为0时，横纵截距都为0也是此类模型易错提醒：求截距相等时，往往会忽略横纵截距为0的情况从而漏解例．已知直线过点（2，1）且在x，y轴上的截距相等（1）求直线的一般方程；（2）若直线在x，y轴上的截距不为0，点在直线上，求的最小值．【详解】试题分析：（1）当截距为0时，得到；当截距不为0时设直线方程为，代入点坐标即可得方程．（2）由第一问可得，，由不等式得到结果.⑴  ①即②截距不为0时，设直线方程为，代入，计算得，则直线方程为，综上，直线方程为⑵由题意得变式1．已知直线过点且在轴上的截距相等(1)求直线的一般方程；(2)若直线在轴上的截距不为0，点在直线上，求的最小值．【详解】（1）因为直线过点且在轴上的截距相等，当截距为0时，则当截距不为0时，可设，则，即，∴综上，的一般方程：或（2）由题意得，，当且仅当时，等号成立的最小值为变式2．已知直线：，直线：，其中a，b均不为0.(1)若，且过点，求a，b；(2)若，且在两坐标轴上的截距相等，求与之间的距离.【详解】（1）当过点时，，所以，因为，所以，即，于是（2）由：，令，则，令，则因为在两坐标轴上的截距相等，所以，故，又，所以，所以则：与：之间的距离，所以与之间的距离为.变式3．已知直线，直线(1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求实数的值；(2)若，求直线的方程.【详解】（1）由题意可知，，直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，则，解得：（2）若，则且，解得：此时直线的方程为1．已知圆为圆O上位于第一象限的一点，过点M作圆O的切线l．当l的横纵截距相等时，l的方程为（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用过圆上点的切线的性质可得，利用点表示出切线方程，结合l的横纵截距相等，即得解【详解】由题意，点在第一象限，故过点M的的切线l斜率存在；点在圆上，故，即故直线l的方程为：令令当l的横纵截距相等时，又解得：即，即故选：A2．“直线在坐标轴上截距相等”是“”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】由直线在坐标轴上截距相等得或，再根据充分条件和必要条件的定义判断即可.【详解】解：由题知：，由得；由得，.因为在坐标轴上的截距相等，所以，解得或.所以直线在坐标轴上截距相等”是“”的必要不充分条件.故选：B.【点睛】本题主要考查直线的截距与充分条件、必要条件，属于基础题.3．过点A（1，2）的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（    ）A．x-y+1=0 B．x+y-3＝0 C．y＝2x或x+y-3＝0 D．y＝2x或x-y+1＝0【答案】D【分析】考虑直线是否过坐标原点，设出直线方程，分别求解出直线方程.【详解】当直线过原点时，其斜率为，故直线方程为y＝2x；当直线不过原点时，设直线方程为，代入点（1，2）可得，解得a＝－1，故直线方程为x-y+1＝0.综上，可知所求直线方程为y＝2x或x-y+1＝0，故选：D.【点睛】本题主要考查直线方程的截距式以及分类讨论思想的应用，考查逻辑推理和数学运算.在利用直线方程的截距式解题时，一定要注意讨论直线的截距是否为零.4．下列说法正确的是（    ）A．若直线与直线互相垂直，则B．已知，，点，到直线的距离分别为和，则满足条件的直线的条数是2C．过，两点的所有直线的方程为D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为【答案】B【分析】对于A，利用直线与直线垂直的条件判断；对于B，利用点到直线的距离、直线与圆的位置关系判断；对于C，利用两点式方程判断；对于D，利用直线的截距式方程判断【详解】解：对于A，若直线与直线互相垂直，则，解得或，所以A错误；对于B，因为，，所以，分别以点，为圆心，2，4为半径作圆，因为，所以两圆相交，所以两圆的公切线有2条，所以满足条件的直线的条数是2，所以B正确；对于C，当且时，过，两点的直线方程为，所以C错误；对于D，当截距为零时，设直线方程为，则，所以直线为，当截距不为零时，设直线方程为，则，得，所以直线方程为，综上，经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为或，所以D错误故选：B5．过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是A． B．或C． D．或【答案】D【详解】当直线过原点时，直线方程为y=x，即4x﹣3y=0；当直线不过原点时，设直线方程为x+y=a．则3+4=a，得a=7．∴直线方程为x+y﹣7=0．∴过点M（3，4）且在坐标轴上截距相等的直线方程为4x﹣3y=0或x+y﹣7=0．故选：D6．下列命题中错误的是（    ）A．命题“”的否定是“”B．命题“若，则”的否命题为“若，则”C．“两直线斜率相等”是“两直线平行”的充要条件D．若“p或q”为假命题，则p，q均为假命题【答案】C【分析】利用含有一个量词的命题的否定、否命题的概念、两直线平行的充要条件以及的真假进行判断.【详解】对于A，命题“”的否定是“”，故A正确；对于B，命题“若，则”的否命题为“若，则”，故B正确；对于C，若两直线斜率相等，则两直线平行或重合；但若两直线平行，斜率可能不存在，故C错误；对于D，若“p或q”为假命题，则p，q均为假命题，故D正确.故选：C.7．与圆相切，且在坐标轴上截距相等的直线共有（    ）A．2条 B．3条 C．4条 D．6条【答案】A【分析】过原点的直线不满足题意，当直线不经过原点且与圆相切时，依题意可设方程为，根据圆心到直线的距离等于半径可得有两解，综合可得结果.【详解】圆的圆心为，半径为1，由于原点在圆上，显然过原点的直线不满足题意；当直线不经过原点且与圆相切时，依题意可设方程为，圆心到直线的距离，解得，此时满足条件的直线有两条，综上可得：满足条件的直线有两条，故选：A.【点睛】本题主要考查圆的切线方程，截距相等问题，学生容易疏忽过原点的直线，属于中档题.8．已知直线过点，且与轴、轴分别交于A，B点，则（    ）A．若直线的斜率为1，则直线的方程为B．若直线在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为C．若M为的中点，则的方程为D．直线的方程可能为【答案】AC【分析】根据直线点斜式判断A，由过原点直线满足题意判断B，由中点求出A,B坐标得直线方程判断C，由直线与坐标轴有交点判断D.【详解】对于A，直线l的斜率为1，则直线l的方程为，即，故A正确；对于B，当直线l在两坐标轴上的截距都为0时，l的方程为，故B错误；