专题14二项式定理、复数易错点一：忽略了二项式中的负号而致错（（a-b）n化解问题）Ⅰ：二项式定理一般地，对于任意正整数，都有：，这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式．式中的做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：，其中的系数（r=0，1，2，…，n）叫做二项式系数，Ⅱ：二项式的展开式的特点：①项数：共有项，比二项式的次数大1；②二项式系数：第项的二项式系数为，最大二项式系数项居中；③次数：各项的次数都等于二项式的幂指数．字母降幂排列，次数由到；字母升幂排列，次数从到，每一项中，，次数和均为；④项的系数：二项式系数依次是，项的系数是与的系数（包括二项式系数）．Ⅲ：两个常用的二项展开式：①（）②Ⅳ：二项展开式的通项公式二项展开式的通项：公式特点：①它表示二项展开式的第项，该项的二项式系数是；②字母的次数和组合数的上标相同；③与的次数之和为．注意：①二项式的二项展开式的第r+1项和的二项展开式的第r+1项是有区别的，应用二项式定理时，其中的和是不能随便交换位置的．②通项是针对在这个标准形式下而言的，如的二项展开式的通项是（只需把看成代入二项式定理）．易错提醒：在二项式定理的问题要注意的系数为，在展开求解时不要忽略.例、已知的展开式中含的项的系数为30，则（）A．B．C．6D．错解：，令，可得，∴．错因分析：二项式中的项为，，错解中误认为是，，忽略了负号而出现了错解．正解：D，令，可得，∴．变式1：在的展开式中，的系数是．【详解】二项式展开式的通项为（其中且），令，解得，所以，所以展开式中的系数是.故答案为：变式2：展开式的常数项为.【详解】展开式的通项公式为，令，解得，所以常数项为，故答案为：15.变式3：的展开式中的系数为.【详解】设展开式中的第项含有项，即，令，解得，即，所以展开式中的系数为.故答案为：1．的二项式展开式中的系数为（    ）A．560 B．35 C．-35 D．-560【答案】D【分析】中利用二项式定理可求得的系数，从而求解.【详解】由题意知的展开式为，令，得，所以的系数为，故D项正确.故选：D.2．若的展开式中所有项的二项式系数之和为16，则的展开式中的常数项为（    ）A．6 B．8 C．28 D．56【答案】C【分析】根据的展开式中所有项的二项式系数之和求出n的值，从而写出的展开式的通项公式，再令x的指数为0，即可求解常数项．【详解】由的展开式中所有项的二项式系数之和为16，得，所以，则二项式的展开式的通项公式为（且），令，解得，所以，故的展开式中的常数项为28，故选：C．3．的展开式中的系数为（    ）A．55 B． C．65 D．【答案】D【分析】根据展开式的通项公式进行计算即可.【详解】含的项为，所以展开式中的系数为．故选：4．若的展开式中含有常数项（非零），则正整数的可能值是（    ）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】根据二项展开式的通项公式建立方程，求解即可.【详解】由二项式定理知，，因为其含有常数项，即存在，使得此时，所以时，，故选：C.5．的展开式中的系数为，则实数（    ）A．2 B．1 C． D．【答案】D【分析】利用二项式的展开式公式展开，再与前面的项相乘求解即可.【详解】的展开式的通项公式为，所以．令，解得，．令，解得．由题意，可知，所以．故选：D．6．在的展开式中，的系数为（    ）A． B．21 C．189 D．【答案】B【分析】利用二项展开式的通项公式可得解.【详解】由二项展开式的通项公式得，令得，所以的系数为.故选：B.7．的展开式中含的项的系数为.【答案】960【分析】利用二项展开式的通项公式分析运算求解.【详解】的展开式的通项为，故令，可得的展开式中含的项的系数为：.故答案为：960.8．已知的展开式中的常数项是672，则.【答案】2【分析】写出二项式通项，整理后让x的次数为0，得出r的值，再根据常数项的值列出等式方程即可得出a的值．【详解】展开式的通项为，令，得，所以常数项是，故．故答案为：2．9．在的展开式中，的系数为．【答案】24【分析】求出二项式展开式的通项公式，再求出指定项的系数即得.【详解】二项式展开式的通项为，由，得，则，所以x的系数为24.故答案为：24.10．的展开式中，按的升幂排列的第3项的系数为．【答案】3【分析】根据已知得出按的升幂排列的第3项即含的项.结合二项式定理，分类讨论求解，即可得出答案.【详解】由已知可得，展开式中含有常数项、一次项、两次项，所以，按的升幂排列的第3项即含的项.展开式中的常数项为，展开式中含的项为；展开式中含的项为，展开式中含的项为；展开式中含的项为，展开式中的常数项为.所以，的展开式中，含的项为.故答案为：3.11．在的展开式中的的系数是.【答案】【分析】根据二项展开式的通项公式，可令求得的系数.【详解】展开式的通项公式为：，令，解得：，所以的系数为.故答案为：.12．二项式的展开式中常数项为．【答案】【分析】根据给定的条件，利用二项式定理求解作答.【详解】的展开式的通项为．令，得，故常数项为．故答案为：.13．的展开式的第三项的系数为135，则．【答案】6【分析】先写出展开式的通项公式；再令，列出等式求解即可.【详解】的展开式的通项公式为，则第三项的系数为，即，解得（舍去）或．故答案为：6.易错点二：三项式转化不合理导致计算麻烦失误（三项展开式的问题）求三项展开式式中某些特定项的系数的方法第一步：通过变形先把三项式转化为二项式，再用二项式定理求解第二步：两次利用二项式定理的通项公式求解第三步：由二项式定理的推证方法知，可用排列、组合的基本原理去求，即把三项式看作几个因式之积，要得到特定项看有多少种方法从这几个因式中取因式中的量易错提醒：对于三项式的展开问题，一般采取转化为二项式再展开的办法进行求解，但在转化为二项式的时候，又有不同的处理策略：一是如果三项式能够化为完全平方的形式，或者能够进行因式分解，则可通过对分解出来的两个二项展开式分别进行分析，进而解决问题（如本例中的解法二）；二是不能化为完全平方的形式，也不能进行因式分解时，可直接将三项式加括号变为二项式，套用通项公式展开后对其中的二项式再利用通项展开并进行分析求解，但要结合要求解的问题进行合理的变形，以利于求解.例、的展开式中，x的一次项的系数为（）A．120B．240C．320D．480易错分析：本题易出现的错误是盲目套用解决三项式展开的一般方法（转化为二项式处理：），而不针对要求解的问题进行合理的变通，导致运算繁杂并出现错误．正解：解法一由于，展开式的通项为，0≤r≤5，当且仅当r＝1时，展开式才有x的一次项，此时．所以展开式中x的一次项为，它的系数为．故选B．解法二由于，所以展开式中x的一次项为．故x的一次项的系数为240．故选B．变式1：在的展开式中，含的系数为.【详解】把的展开式看成是5个因式的乘积形式，展开式中，含项的系数可以按如下步骤得到：第一步，从5个因式中任选2个因式，这2个因式取，有种取法；第二步，从剩余的3个因式中任选2个因式，都取，有种取法；第三步，把剩余的1个因式中取，有种取法；根据分步相乘原理，得；含项的系数是故答案为：.变式2：展开式中的系数为（用数字作答）．【详解】由于表示5个因式的乘积，故其中有2个因式取，2个因式取，剩余的一个因式取，可得含的项，故展开式中的系数为，故答案为：．变式3：在的展开式中，形如的所有项系数之和是．【详解】展开式的通项为．令，得．令，得所求系数之和为．故答案为：3201．的展开式中的常数项为（    ）A．588 B．589 C．798 D．799【答案】B【分析】因为展开式中的项可以看作8个含有三个单项式各取一个相乘而得，分析组合可能，结合组合数运算求解.【详解】因为展开式中的项可以看作8个含有三个单项式中各取一个相乘而得，若得到常数项，则有：①8个1；②2个，1个，5个1；③4个，2个，2个1；所以展开式中的常数项为.故选：B.2．在的展开式中，的系数是（    ）A．24 B．32 C．36 D．40【答案】D【分析】根据题意，的项为，化简后即可求解.【详解】根据题意，的项为，所以的系数是.故选：D．3．的展开式中的系数为12，则（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据乘法的运算法则，结合组合数的性质、二倍角的余弦公式进行求解即可.【详解】的展开式中的系数可以看成：6个因式中选取5个因式提供，余下一个因式中提供或者6个因式中选取4个因式提供，余下两个因式中均提供，故的系数为，∴，∴，故选：C4．的展开式中的系数为（    ）A． B．60 C． D．120【答案】A【分析】先把看作整体写出二项式展开的通项，再根据指定项确定的次数，再写一次二项式展开的通项，最后根据指定项配凑出项的系数.【详解】因为展开式的通项为，当时才能出现，此时展开的通项为，当时出现的一次，所以展开式中的系数为．故选：A.5．设，已知的展开式中只有第5项的二项式系数最大，且展开式中所有项的系数和为256，则中的系数为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意得到和，再根据项的取法为1个和1个再计算即可.【详解】因为的展开式中只有第5项的二项式系数最大，所以展开式一共有项，即，令，得展开式中所有项的系数和为，所以，中项的取法为1个和1个，所以系数为.故选：C6．的展开式中，的系数为（    ）A．80 B．60 C． D．【答案】D【分析】由题得，再利用二项式的通项即可得到答案.【详解】，则其展开式通项为，令，则的展开式中含的项为，所以的系数为，故选：D．7．已知展开式的各项系数之和为，则展开式中的系数为（    ）A．270 B． C．330 D．【答案】D【分析】令，得，得.再根据二项展开式的通项公式即可求解.【详解】令，则，得.所以，又因为只有，展开式中有含的项，所以的系数为.故选：D8．的展开式中只有第5项的二项式系数最大，若展开式中所有项的系数和为256，则中的系数为（    ）A．1 B．4或1 C．4或0 D．6或0【答案】C【分析】展开式中只有第5项的二项式系数最大，可以得到的值，然后再赋值法求出所有项的系数和的表达式可解出a的值，再分类求出中的系数即可得出答案.【详解】展开式中只有第5项的二项式系数最大，所以总共有9项，令得所有项的系数和为，或当时，展开式中的系数为：，当时，展开式中不含项.故选：C.9．的展开式中项的系数为．【答案】80【分析】只需6个因式中3个因式取、3个因式取或2个因式取、1个因式取、3个因式取1，根据组合知识得到答案.【详解】可以看成6个因式相乘，所以的展开式中含的项为3个因式取、3个因式取或2个因式取、1个因式取、3个因式取1，所以的展开式中含项的系数为．故答案为：8010．展开式中，项的系数为.【答案】【分析】由二项式定理求解．【详解】，∵的指数是3，∴得到，∵的指数是2，得到，∴项的系数为.故答案为：11．的展开式中项的系数为．【答案】【分析】根据多项式相乘展开方法求解.【详解】的展开式中，构成项只能是一个、一个、3个相乘，故此项为．故答案为：.12．在的展开式中，的系数为.【答案】66【分析】根据二项式的含义，结合组合数的计算，求得答案.【详解】由题意，表示12个因式的乘积，故当2个因式取x，其余10个因式取1时，可得展开式中含的项，故的系数为.故答案为：66.13．的展开式中，的系数为10，则.【答案】【分析】化,利用二项展开式的通项公式求得展开式中的系数,列方程求出的值.【详解】其展开式的通项公式为，令得因为的系数为10，则，解得，故答案为：.14．展开式中的常数项为.（用数字做答）【答案】49【分析】利用分类计数原理求解即可.【详解】展开式中得到常数项的方法分类如下：（1）4个因式中都不取，则不取，全取，相乘得到常数项.常数项为；（2）4个因式中有1个取，则再取1个，其余因式取，相乘得到常数项.常数项为；（3）4个因式中有2个取，则再取2个，相乘得到常数项.常数