专题05三角函数易错点一：三角函数值正负判断不清导致错误（任意角、弧度制及任意角的三角函数）1．角的概念（1）任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．（2）所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是．（3）象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．（4）象限角的集合表示方法：2．弧度制（1）定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0．（2）角度制和弧度制的互化：，，．（3）扇形的弧长公式：，扇形的面积公式：．3．任意角的三角函数（1）定义：任意角的终边与单位圆交于点时，则，，．（2）推广：三角函数坐标法定义中，若取点P是角终边上异于顶点的任一点，设点到原点的距离为，则，，三角函数的性质如下表：三角函数定义域第一象限符号第二象限符号第三象限符号第四象限符号＋＋－－＋－－＋＋－＋－记忆口诀：三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦．4．三角函数线如下图，设角α的终边与单位圆交于点P，过P作PM⊥x轴，垂足为M，过A（1，0）作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T．三角函数线有向线段MP为正弦线；有向线段OM为余弦线；有向线段AT为正切线易错提醒：（1）利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数赋值来求得所需的角．（2）确定的终边位置的方法先写出或的范围，然后根据的可能取值确定或的终边所在位置．（3）利用三角函数的定义，已知角终边上一点的坐标可求的三角函数值；已知角的三角函数值，也可以求出角终边的位置．（4）判断三角函数值的符号，关键是确定角的终边所在的象限，然后结合三角函数值在各象限的符号确定所求三角函数值的符号，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况.例如图，已知两质点A，B同时从点P出发，绕单位圆逆时针做匀速圆周运动，质点A，B运动的角速度分别为3rad/s和5rad/s，设两质点运动时这两质点间的距离为．  (1)求的解析式；(2)求这两质点从点P出发后第n次相遇的时间（单位：s）．【详解】（1）由质点A，B运动的角速度分别为3rad/s和5rad/s，得时质点A，B的坐标分别为，，则，所以的解析式为.（2）因为两质点从点P出发后每相遇一次即对应函数的一个零点，因此为在区间上第n个零点，由，得，解得，所以两质点从点P出发后第n次相遇的时间.变式1．如图，在平面直角坐标系中，锐角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，.(1)求的值；(2)射线绕坐标原点按逆时针方向旋转后与单位圆交于点，点与关于轴对称，求的值.【详解】（1）解：因为锐角的终边与单位圆交于点，，所以.（2）设单位圆与x轴负半轴交点为Q，则，设，则，所以，所以.变式2．角α的终边与单位圆交于点，分别写出点P关于x轴、y轴和原点对称的点的坐标，并求角，，，的正弦函数值、余弦函数值．【详解】  点P关于x轴对称的点的坐标，点P关于y轴对称的点的坐标，点P关于原点对称的点的坐标.易知角的终边经过点，根据三角函数的定义可知，，；角的终边经过点，根据三角函数的定义可知，，；角的终边经过点，根据三角函数的定义可知，，；角的终边经过点，根据三角函数的定义可知，，.变式3．如图，已知是半径为1，圆心角为的扇形，是扇形弧上的动点，是扇形的内接矩形，设.  (1)若，求线段的长；(2)已知当时，矩形的面积最大.求圆心角的大小，并求此时矩形面积的最大值是多少？【详解】（1）  ，，.（2）由题意知，，，，所以当，即时，面积最大，最大值为.1．已知角的始边为轴的非负半轴，终边经过点，则（    ）A．2 B． C．或2 D．【答案】D【分析】先确定所在的象限，再根据三角函数的定义及二倍角的正切公式求出，再根据商数关系化弦为切即可得解.【详解】由题意，得角是第二象限角，则，故，当时，，为第一象限角，当时，，为第三象限角，所以是第一象限角或第三象限角，则，又因为，所以或（舍去），所以．故选：D．2．在平面直角坐标系中，角的顶点为坐标原点，始边在x轴的正半轴上，终边过点，且，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】用终边经过的点求出即可求解.【详解】因为角的终边经过点，且，所以，解得，所以．故选：B3．在平面直角坐标系xOy中，若角以坐标原点为顶点，x轴非负半轴为始边，且终边过点，则取最小值时x的可能取值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用三角函数的定义可得，再结合三角函数的性质计算即可.【详解】∵角θ的终边经过点，∴，，∴，，由正弦函数的性质可知在取最小值时．，，即，时A正确；对于B，，不符合；对于C，，不符合；对于D，，不符合；故选:A．4．已知是第三象限角，则点位于（    ）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】根据角所在象限结合二倍角正弦公式即可判断答案.【详解】因为是第三象限角，故，则，故在第二象限，故选：B5．已知角终边上有一点，则为（    ）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角【答案】C【分析】根据终边相同角的定义即可求解.【详解】已知角终边上有一点，即点，，为第三象限角.故选：C.6．已知角，终边上有一点，则（    ）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】根据弦切互化，结合正切和差角公式，即可得，结合角的范围即可求解.【详解】，故，．又，，故在第三象限，故，．故选:C．7．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两个点，，且，则（    ）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】根据三角函数的定义式可得，又结合二倍角的余弦公式及齐次式的原因可得，接方程组即可.【详解】由已知可得，，又，，，即，联立得，解得或，，故选：C.8．已知角的终边落在直线上，则的值为（    ）A． B．1 C． D．【答案】B【分析】利用三角函数的定义以及同角三角函数关系和二倍角公式即可解决.【详解】因为角的终边落在直线上，所以.则.故选：B9．已知角的终边与单位圆的交点为，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出，利用三角函数定义求出的值，再利用二倍角余弦公式求解即可.【详解】由题得，所以，所以或，所以.故选：B10．下列说法正确的是（    ）A．若，则与是终边相同的角B．若角的终边过点，则C．若扇形的周长为3，半径为1，则其圆心角的大小为1弧度D．若，则角的终边在第一象限或第三象限【答案】CD【分析】举反例判断A；由三角函数的定义判断B；由弧长公式判断C；由与同号判断D.【详解】对于A：当时，，但终边不同，故A错误；对于B：，当时，，故B错误；对于C：由，得，故C正确；对于D：，即与同号，则角的终边在第一象限或第三象限，故D正确；故选：CD11．如图所示，角的终边与单位圆交于点，将绕原点按逆时针方向旋转后与圆交于点.  (1)求；(2)若的内角，，所对的边分别为，，，，，，求.【答案】(1)(2)或.【分析】（1）根据三角函数的定义及诱导公式直接得解；（2）由已知可得，再利用余弦定理可得，进而可得面积.【详解】（1）由题知，，所以；（2）由题知，，，，且，所以，而，则，故，由正弦定理可知，整理得，解得，故，或.易错点二：诱导公式认识不清导致变形错误（同角三角函数的基本关系与诱导公式求值问题）1．同角三角函数的基本关系（1）平方关系：．（2）商数关系：；2．三角函数诱导公式公式一二三四五六角正弦余弦正切口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限题型1．同角三角函数关系齐次化（1）利用方程思想，对于，由公式，可以“知一求二”．对于，由下面三个关系式，可以“知一求二”．（2）的齐次式的应用：分式中分子与分母是关于的齐次式，或含有及的式子求值时，可将所求式子的分母看作“1”，利用“”代换后转化为“切”求解．题型2．利用诱导公式化简及其计算（1）诱导公式的两个应用①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了；②化简：统一名，统一角，同角名少为终了．（2）学会诱导公式的逆用，如等，再如，能将中的系数由负变正，且不改变“正弦”前面的符号．（3）学会观察两角之间的关系，看看它们的和或差是否为的整数倍．技巧：1．利用可以实现角的正弦、余弦的互化，利用可以实现角的弦切互化．2．“”方程思想知一求二．易错提醒：奇变偶不变，符号看象限，说明：（1）先将诱导三角函数式中的角统一写作；（2）无论有多大，一律视为锐角，判断所处的象限，并判断题设三角函数在该象限的正负；（3）当为奇数是，“奇变”，正变余，余变正；当为偶数时，“偶不变”函数名保持不变即可。例．已知．(1)求的值．(2)求的值．【详解】（1）；（2）.变式1．已知均为锐角，且．(1)求的值；(2)求的值．【详解】（1），，又，，，.（2）为锐角，，．．变式2．已知，且，化简并求的值.【详解】解：因为，且，则，所以，，故.变式3．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点.(1)求的值；(2)若锐角满足，求的值.【详解】（1）由题设知：，则，又，；（2）由（1）知：，且，又为锐角，为第四象限角，所以为第四象限角或第一象限角.当为第一象限角时，则，当为第四象限角时，则.1．若，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意，结合正弦、余弦的倍角公式和三角函数的基本关系式，化为“齐次式”，代入即可求解.【详解】由，则.故选：A.2．已知，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】将所求角通过拆角、变角，利用两角和的余弦公式求解即可.【详解】，所以，，因为，所以，因为，所以，，故选：B．3．在平面直角坐标系中，角的顶点为坐标原点，始边在x轴的正半轴上，终边过点，且，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】用终边经过的点求出即可求解.【详解】因为角的终边经过点，且，所以，解得，所以．故选：B4．已知，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】方法一：根据平方关系、二倍角公式化简已知可得，结合诱导公式化简可得所求；方法二：利用辅助角公式化简已知可得，再根据二倍角公式化简可得所求.【详解】方法一：，，，即，.方法二，即，，，.故选：D.5．已知为锐角，，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据两角和差的正弦公式求解即可.【详解】因为所以，当时，，为锐角，不合题意，舍去；当时，，满足题意；所以.故选：C6．已知，且，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据给定条件，利用诱导公式、二倍角的正余弦公式求解即得.【详解】由，得，而，则，，因此，即有，所以.故选：C7．若，且，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先左右两边平方，得出，再应用弦化切，最后结合角的范围可得求出正切值．【详解】∵，∴，即，∴，∴，得，∴，∴或，∵，且，∴由三角函数定义知，∴，故．故选：D.8．已知，，则（    ）A． B． C． D．【答案】BC【分析】先将两边平方，结合，得出，结合得出，再计算出，即可求出和，根据同角三角函数的商数关系，二倍角的余弦公式和正切公式，两角的余弦公式分别计算即可判断各选项．【详解】由得，，则，因为，，所以，所以，由，解得，对于A，，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，因为，所以，则，，即，解得或（舍去），故C正确；对于D，，故D错误，故选：BC．9．已知，则.【答案】【分析】利用弦切互化和两角和的正切