专题09立体几何易错点一：对斜二测法规则掌握不牢（斜二测求算面积及周长）水平放置的平面图形的直观图的画法用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤空间几何体直观图的画法立体图形直观图的画法步骤(1)画轴：与平面图形的直观图画法相比多了一个z轴，直观图中与之对应的是z′轴.(2)画底面：平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示竖直平面，按照平面图形的画法，画底面的直观图.(3)画侧棱：已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变.(4)成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线.易错提醒：①建立坐标系；②“位置规则”——与坐标轴的平行的线段平行关系不变；③“长度规则”——图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度减为原来的一半.例．如图矩形O'A'B'C'是水平放置的一个平面四边形OABC的直观图，其中O'A'=3，O'C'=1，(1)判断平面四边形OABC的形状并求周长；(2)若该四边形OABC以OA为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积.【解析】（1）将直观图还原得，如下图，所以，所以平面四边形为菱形，其周长为.（2）四边形以为旋转轴，旋转一周，得到一个圆柱和两个一样的圆锥，，，所以.变形1．如图，梯形是一水平放置的平面图形在斜二测画法下的直观图.若平行于轴，，求梯形的面积.【解析】如图，根据直观图画法的规则，直观图中平行于轴，，⇒原图中，从而得出AD⊥DC，且，直观图中，，⇒原图中，，即四边形ABCD上底和下底边长分别为2，3，高为2，如图．故其面积.变形2．如图所示，正方形是一个水平放置的平面图形OABC的直观图，其中．(1)求原图形的面积；(2)将原图形以OA所在的直线为轴，旋转一周得到一个几何体，求该几何体的表面积与体积．（注：图形OABC与正方形的各点分别一对应，如OB对应直观图中的）【解析】（1）原图形OABC是个平行四边形，如下图所示底为OA＝2，高为，∴；（2）得到的几何体是一个组合体，其形状是圆柱一侧挖去一个圆锥，另一侧有多出一个相同的圆锥，∴几何体体积∴几何体表面积变形3．（1）如图，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其恢复成原图形；（2）在(1)中若，轴且，求原平面图形△ABC的面积．【解析】（1）画法：①画直角坐标系xOy，在x轴上取，即.②在题图中，过作轴，交x′轴于，在x轴上取，过D作轴，并使.③连接AB，BC，则△ABC即为△A′B′C′原来的图形，如图．（2）∵，∴BD⊥AC.又且，∴.∴.1．如图，是水平放置的平面图形的斜二测直观图，  (1)画出它的原图形，(2)若的面积是，求原图形中边上的高和原图形的面积.【解析】（1）画出平面直角坐标系，在轴上取，即，在图①中，过作轴，交轴于，在轴上取，过点作轴，并使,连接，，则即为原来的图形，如图②所示：  （2）由（1）知，原图形中，于点，则为原图形中边上的高，且，在直观图中作于点，  则的面积，在直角三角形中，，所以，所以.故原图形中边上的高为，原图形的面积为.2．画出图中水平放置的四边形的直观图，并求出直观图中三角形的面积.  【解析】根据题意，结合斜二测画法的规则，可得水平放置的四边形的直观图，如图所示，则的面积为.  3．用斜二测画法画一个水平放管的平面图，其直观图如图所示，已知，，，且．    (1)求原平面图形ABCD的面积；(2)将原平面图形ABCD绕BC旋转一周，求所形成的几何体的表面积和体积．【解析】（1）还原平面图形ABCD，如图，因为，，，且，所以，，，且，，原平面图形ABCD为直角梯形，故；  （2）将原平面图形ABCD绕BC旋转一周，所得几何体是一个圆柱挖去一个圆锥，如图，      其中圆柱的底面半径为3，高为6，圆锥的底面半径为3，高为4，母线长为5，所以几何体的表面积为，几何体的体积为4．如图所示，正方形是一个水平放置的平面图形的直观图，其中.  (1)求原图形的面积；(2)将原图形以所在的直线为轴，旋转一周得到一个几何体，求该几何体的表面积与体积.（注：图形与正方形的各点分别对应，如对应直观图中的）【解析】（1）原图形是个平行四边形，如下图所示，底为，高为.  .（2）得到的几何体是一个组合体，其形状是圆柱一侧挖去一个圆锥，另一侧有多出一个相同的圆锥.几何体表面积.几何体体积.5．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示，已知，且.  (1)求原平面图形的面积；(2)将原平面图形绕旋转一周，求所形成的几何体的体积.【解析】（1）将直观图复原为原图，如图，作，  则，，则，，即原图形为直角梯形，故原平面图形的面积为.（2）将原平面图形绕旋转一周，所形成的几何体是一个以为底面半径的圆锥和一个以为底面半径的圆柱组成的组合体，其体积为.6．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图，如图所示．已知，且∥．  (1)在平面直角坐标系中作出原平面图形ABCD并求面积；(2)将原平面图形ABCD绕BC旋转一周，求所形成的几何体的表面积和体积．【解析】（1）如图所示：梯形ABCD为还原的平面图形，作交AD于点，  因为，所以，所以．（2）将原平面图形ABCD绕BC旋转一周，所得几何体是一个以AB为底面半径的圆柱挖去一个以EC为底面半径的圆锥，，，，所以所形成的几何体的表面积为，，，所形成的几何体的体积为．7．如图，梯形是水平放置的四边形的斜二测画法的直观图，已知，，．  (1)在下面给定的表格中画出四边形（不需写作图过程）；  (2)若四边形以所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，说出该几何体的结构特征，并求该几何体的体积．【解析】（1）因为与轴重合，则与轴重合，且；与轴平行，则与轴平行，且；与轴重合，则与轴重合，且；连接，即可得四边形.  （2）如图所示，所得几何体的上半部分为圆锥，下半部分为圆柱截取一个圆锥，故体积为.  8．如图，一个水平放置的平面图形的直观图是边长为2的菱形，且，求原平面图形的周长．  【解析】由题可知，，，∴．还原直观图可得原平面图形，如图所示：  则，，，∴，∴原平面图形的周长为．9．如图所示，为四边形OABC的斜二测直观图，其中，，．  (1)画出四边形OABC的平面图并标出边长，并求平面四边形OABC的面积；(2)若该四边形OABC以OA为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积．【解析】（1）解：在直观图中，，．所以在平面图形中，，，所以，所以平面四边形的平面图形如下图所示：  由上图可知，平面四边形为直角梯形，所以面积为．（2）旋转而成的几何体可以看成圆柱加上一个同底的圆锥，由（1）可知几何体底面圆半径为，圆柱母线长和高都为1，即；圆锥的高为，母线长为所以体积；所以表面积．10．如图，矩形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形的直观图，其中，.(1)画出平面四边形的平面图，并计算其面积；(2)若该四边形以为轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积和表面积.【解析】（1）如图1，设与交点为，因为，，所以，.的平面图如图2所示：则，.（2）由（1）可得，在中，有，所以，，所以.如图3，分别过点作及其延长线的垂线，垂足为.矩形绕及其延长线，旋转一周得到一个底面半径，母线的圆柱；绕，旋转一周得到一个底面半径，母线，高的圆锥；绕及其延长线，旋转一周得到一个底面半径，母线，高的圆锥.所以，旋转形成的几何体为圆柱挖去一个同底的圆锥，与一个同底的圆锥构成的组合体.则旋转形成的几何体的体积即等于圆柱的体积，减去挖去的圆锥体积，加上组合的圆锥的体积，所以，旋转形成的几何体的体积.旋转形成的几何体的表面积即等于圆柱的侧面积，加上两个圆锥的侧面积之和，所以.11．在中，角所对边分别为，若.(1)证明：为等边三角形；(2)若（1）中的等边边长为2，试用斜二测法画出其直观图，并求直观图面积.注：只需画出直观图并求面积，不用写出详细的作图步骤.【解析】（1）由题及余弦定理知，即又因为，所以，即，.因此，为等边三角形.（2）画法：①如图(1)，在等边中，取所在直线为轴，的垂直平分线为轴，两轴相交于点；在图(2)中，画相应的轴与轴，两轴相交于点，使；②在图(2)中，以为中点，在轴上取，在轴上取；③连接，擦去辅助线轴和轴，得等边的直观图(图(3)).因为是边长为2的正三角形，所以，边上的高为，在中，，所以，边上的高，故，故直观图面积.易错点二：空间点、线、面位置关系不清（点、线、面之间的关系）结论：①要证线∥面，条件为3个，其中必有《线面》 ②要证线⊥面，条件为2个，其中必有《线∥线或面∥面》 ③要证线∥线（面∥面），条件为2或3个，其中必有《两个线⊥面》 ④要证线⊥线（面⊥面），条件为2个，其中必有《⊥、∥（）》⑤要证线⊥线（面⊥面），条件为3个，其中必有《》易错提醒：空间点、线、面位置关系的组合判断是考查学生对空间点、线、面位置关系判断和性质掌握程度的重要题型。解决这类问题的基本思路有两条：一是逐个寻找反例作出否定的判断，逐个进行逻辑证明作出肯定的判断；二是结合长方体模型或实际空间位置（如教室、课桌、灯管）作出判断。例．已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，且，，则下列命题中的假命题是A．若，则 B．若，则C．若相交，则相交 D．若相交，则相交【解析】解：由、为两条不同的直线，、为两个不同的平面，且，，若，我们可得且，由垂直于同一直线的两个平面平行，可得，故A正确；若，则或，此时，故B正确；若、相交，则表示，不平行，则，也不平行，则、相交，故C正确；若、相交，则、既可以是相交直线，也可以是异面直线．故D错误故选：D．变式1．在空间中，已知，，为不同的直线，，，为不同的平面，则下列判断正确的是（    ）A．若，，则 B．若且，则C．若，，，，则 D．若，，则【解析】若，，则或，故错误；若且，则，故正确；若，，，，则与相交或，故错误；若，，则不一定平行，故错误.故选：变式2．已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则（    ）①若，，且∥，则∥；②若，∥，且∥，则；③若∥，，且，则∥；④若，，且，则.其中真命题的个数是（    ）A． B． C． D．【解析】由且，可得，而垂直同一个平面的两条直线相互平行，故①正确；由于，，所以，则，故②正确；若与平面的交线平行，则，故不一定有，故③错误；设，在平面内作直线，，则，又，所以，，所以，从而有，故④正确.因此，真命题的个数是.故选：B变式3．若，为两条不同的直线，为平面，且，则“”是“”    （    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解析】由且，能推出，充分性成立；若且，则或或与相交，必要性不成立，∴“”是“”的充分不必要条件.故选：A．1．已知不同直线a，b，不同平面α，β，γ，下列说法正确的是（    ）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】BC【解析】对于A，若，此时可能相交，如下图所示：  当都与平行时，相交，故A错误；对于B，由，利用线面平行的性质可知存在直线满足，且，又，所以，又，所以可得，即B正确；对于C，若，不妨设，如下图所示：  假设不成立，过直线上一点A作于点，作于点；由可知，，这与“过平面外一点有且仅有一条直线与该平面垂直”矛盾，所以应重合为交线，所以，可得C正确；对于D，如图所示：  若，，，此时可能斜交，不一定垂直，所以D错误；故选：BC2．已知为两个不同的平面，为三条不同的直线，则下列结论中不一定成立的是（    ）A．若，则B．若，则C．若，且，则D．若，且，则【答案】ACD【解析】对于选项A：若，则或相交，例如在正方体中，平面平面，且平面，可知平面，平面，故A不一定成立；对于选项B：若，由线面垂直的性质可知，故B成立；对于选项C：若，且，则不一定垂直，例如在正方体中，平面∥平面，且平面，平面，，故C不一定成立；对于选项D：若，且，则不一定成立，例如在正方体中，平面平面，且平面，平面，可知，故D不一定成立；故选：AC