专题09 函数的最值考点一 求已知函数的最值【方法总结】导数法求给定区间上函数的最值问题的一般步骤(1)求函数f(x)的导数f′(x);(2)求f(x)在给定区间上的单调性和极值;(3)求f(x)在给定区间上的端点值;(4)将f(x)的各极值与f(x)的端点值进行比较,确定f(x)的最大值与最小值;(5)反思回顾,查看关键点,易错点和解题规范.【例题选讲】[例1](1)函数f(x)=lnx-x在区间(0,e]上的最大值为________.(2)函数f(x)=eq\f(1,2)x2+x-2lnx的最小值为.(3)已知函数f(x)=eq\f(1,3)x3+mx2+nx+2,其导函数f′(x)为偶函数,f(1)=-eq\f(2,3),则函数g(x)=f′(x)ex在区间[0,2]上的最小值为.(4)已知函数f(x)=2sinx+sin2x,则f(x)的最小值是________.(5)设正实数x,则f(x)=eq\f(ln2x,xlnx)的值域为________.(6)已知函数f(x)=elnx和g(x)=x+1的图象与直线y=m的交点分别为P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1-x2的取值范围是( )A.[1,+∞) B.[2,+∞) C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2),+∞)) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2),+∞))(7)已知不等式ex-1≥kx+lnx对于任意的x∈(0,+∞)恒成立,则k的最大值为________.(8)(多选)设函数f(x)=eq\f(x+e|x|,e|x|),则下列选项正确的是( )A.f(x)为奇函数 B.f(x)的图象关于点(0,1)对称C.f(x)的最大值为eq\f(1,e)+1 D.f(x)的最小值为-eq\f(1,e)+1[例2] 已知函数f(x)=excosx-x.(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)求函数f(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,\f(π,2)))上的最大值和最小值.[例3] (2017·浙江)已知函数f(x)=(x-eq\r(2x-1))e-xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x≥\f(1,2))).(1)求f(x)的导函数;(2)求f(x)在区间eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2),+∞))上的取值范围.[例4] (2021·北京)已知函数f(x)=eq\f(3-2x,x2+a).(1)若a=0,求y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程;(2)若函数f(x)在x=-1处取得极值,求f(x)的单调区间,以及最大值和最小值.[例5] 已知函数f(x)=eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(-x3+x2,x<1,,alnx,x≥1.))(1)求f(x)在区间(-∞,1)上的极小值和极大值;(2)求f(x)在[-1,e](e为自然对数的底数)上的最大值.【对点训练】1.函数y=eq\f(x,ex)在[0,2]上的最大值是( )A.eq\f(1,e) B.eq\f(2,e2) C.0 D.eq\f(1,2\r(e))2.函数f(x)=2x-lnx的最小值为________.3.已知f(x)=2x3-6x2+m(m为常数)在[-2,2]上有最大值3,那么此函数在[-2,2]上的最小值是( )A.-37 B.-29 C.-5 D.以上都不对4.已知函数f(x)=x+2sinx,x∈[0,2π],则f(x)的值域为( )A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4π,3)-\r(3),\f(2π,3)+\r(3))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,\f(4π,3)-\r(3))) C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)+\r(3),2π)) D.[0,2π]5.设0
专题09 函数的最值(原卷版)
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