借助导函数解决不等式中恒(能)成立问题目录一、恒(能)成立的方法技巧1.变量分离法2.分类讨论法3.等价转化法4.双元最值法5.构造法和同构法二、恒(能)成立的综合应用(精选高考模拟题)一、恒(能)成立的方法技巧1.变量分离法1(2023·河南·校联考模拟预测)若a>0，b>0，且at+(b-2ea)lnb≥(b-2ea)lna，则实数t的取值范围是．32(2023春·江西赣州·高三兴国平川中学校联考阶段练习)已知函数fx=xlnx-aa∈R.(1)求函数fx的单调区间；3(2)若fx+ax+1≥ax，求实数a的取值范围.13(2023春·广东汕头·高二校考期中)已知函数fx=lnx-2ax.(1)若x=1是f(x)的极值点，求a的值；(2)讨论函数f(x)的单调性；(3)若f(x)≤0恒成立，求a的取值范围；124(2023秋·重庆渝北·高三重庆市渝北中学校校考阶段练习)已知函数fx=x+alnx-1，gx4112=fx+-x+x．ex4(1)当a=-1时，求函数fx的极值；gx1-gx2(2)若任意x1、x2∈1,+∞且x1≠x2，都有>1成立，求实数a的取值范围．x1-x225(2023秋·广东深圳·高三深圳市南头中学校考阶段练习)已知fx=ax-lnx,a∈R．(1)讨论fx的单调性和极值；(2)若x∈0,e时，fx≤3有解，求a的取值范围．6(2023春·福建泉州·高二校联考阶段练习)已知函数f(x)=lnx+a(1-x),a∈R.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若存在x0∈(0,+∞)，使得f(x0)≥2a-2成立，求实数a的取值范围．32.分类讨论法x2-2x+4,x<21(2023·全国·高三专题练习)已知函数fx=设a∈R，若关于x的不等式f(x)≥31,2x+xx≥2|x+a|在R上恒成立，则a的取值范围为()A.B.C.D.lnx2(2023秋·河南·高三校联考开学考试)已知函数fx=，x∈D．其中D=0,1∪1,+∞1-x11(1)求函数fx在点,f处的切线方程；22a(2)若gx=-，且∀x∈D，fx≥gx恒成立，求a的取值范围．x123(2023秋·宁夏银川·高三银川一中校考阶段练习)已知函数fx=2lnx-mx+1m∈R.2(1)当m=1时，证明：fx<1；(2)若关于x的不等式fx<m-2x恒成立，求整数m的最小值.44(2023·福建厦门·厦门一中校考三模)已知函数fx=alnx+1.fx-fb(1)若a=2，设b>0，讨论函数gx=的单调性；x-b1-a2a(2)令hx=fx-1+x-x，若存在x≥1，使得hx<，求a的取值范围.200a-1x25(2023春·黑龙江大庆·高二校考期中)已知函数fx=a+x-xlna．(1)当a=e时，若函数gx=fx-m有2个零点，求实数m的取值范围；fx1-fx2+1(2)已知a>0且a≠1，且∃x,x∈-1,1，≥1，求实数a的取值范围．12e56(2023秋·陕西汉中·高三统考阶段练习)已知函数fx=lnx-ax-1.(1)若直线x+ey+e=0与曲线y=fx相切，求a；(2)若存在x0∈0,+∞，使得fx0≥0成立，求a的取值范围.3.等价转化法xx+11(2023秋·河北张家口·高三统考开学考试)已知fx=ae，gx=ln．a(1)当a=1时，证明：fx≥gx+1；(2)若∀x∈-1,+∞，fx≥gx+1恒成立，求a的取值范围．612(2023·河南开封·统考三模)已知函数fx=alnx+1+，a∈R．x+1(1)讨论fx的单调性；2-x(2)当x∈0,+∞时，fx0，有gx≥fx．724(2023春·海南省直辖县级单位·高二校考期中)已知fx=2xlnx,gx=-x+ax-3.(1)求函数fx的最小值；(2)若存在x∈0,+∞，使fx≤gx成立，求实数a的取值范围；25(2023·全国·高二专题练习)已知函数fx=xlnx，gx=-x+ax-3.(1)求fx的单调区间；1(2)若存在x∈,e(e是常数，e=2.71828⋯)使不等式2fx≥gx成立，求实数a的取值范围.e84.双元最值法121(2023秋·广东中山·高三中山市华侨中学校考阶段练习)已知函数f(x)=lnx+-5,g(x)=xx-2ax，对于∀x1∈(0,+∞)，都∃x2∈R，使fx1>gx2，则a的取值范围为.1322(2023春·四川绵阳·高二统考期中)已知函数f(x)=x+x+ax．3(1)若函数f(x)在区间(-2,+∞)上单调递增，求实数a的取值范围；x11(2)若函数g(x)=，对∀x1∈,1，∃x2∈,2，使得f(x1)≤g(x2)成立，求实数a的取值范围．ex2223(2023春·辽宁·高二校联考期末)已知函数fx满足xfx+xfx=elnx，且fe=1，函数gx=-x2+2ax+4．(1)求fx的图象在x=e处的切线方程；(2)若对任意x1∈1,e，存在x2∈1,2，使得fx1>gx2，求a的取值范围．94(2023春·山西大同·高二校考期末)f(x)=ex-1+x2-3x.(1)求fx在t,t+2上的最小值；x32(2)g(x)=6e-x-4x-ax-7，且∀x1∈(0,+∞)，∃x2∈(0,2)，gx1≥fx2，求a的取值范围.5.构造法和同构法x1(2023秋·江苏镇江·高三统考开学考试)对于实数x∈0,+∞，不等式e-lnmx+1-mx≥0恒成立，则实数m的取值范围为()A.00恒成立，则x实数k的可能取值为()112A.-1B.C.D.3eex+lna3(2023·河南·校联考二模)已知垂直于x轴的直线l与函数fx=e+lna+1a>0和gx=lnx-1的图象分别交于P,Q两点，若P点总不在Q点的下方，则实数a的取值范围是()1111A.0,B.,+∞C.0,D.,+∞e2e2eekx4(2023春·河南许昌·高二校考期中)已知对任意的x∈0,+∞，不等式kxe+1-x+1lnx>0恒成立，则实数k的取值范围是()1111A.e,+∞B.,eC.,+∞D.,eee2e10225(2023秋·江苏扬州·高三扬州中学校考开学考试)已知函数fx=x+1lnx-x-ax．(1)若a=1，求fx的最小值；2ax2(2)若方程fx=axe-x有解，求实数a的取值范围．二、恒(能)成立的综合应用(精选高考模拟题)xb1(2023·河南·统考三模)已知函数f(x)=ae,g(x)=2x+b，若f(x)≥g(x)恒成立，则的最大值是a()A.-1B.1C.2D.2x22(2023·江西·江西师大附中校考三模)若不等式e+xalnx-ax+e≥0在x>0上恒成立，则实数a的取值范围是()22eeA.-∞,eB.-∞,eC.-∞,D.-∞,22xe-1x3(2023·江苏连云港·统考模拟预测)已知定义在R上的函数fx=，若fe+f(ax)<0有ex+1解，则实数a的取值范围是．11x-14(2023·河南·襄城高中校联考三模)已知函数fx=mlnx，gx=e．(1)若曲线y=fx在1,0处的切线与曲线y=gx相交于不同的两点Ax1,y1，Bx2,y2，曲线y=gx在A，B点处的切线交于点Mx0,y0，求x1+x2-x0的值；(2)当曲线y=fx在1,0处的切线与曲线y=gx相切时，若∀x∈1,+∞，fx+egx>a+1e-aex恒成立，求a的取值范围．15(2023·青海西宁·统考二模)设函数f(x)=x--alnx．x(1)若函数f(x)在其定义域上为增函数，求实数a的取值范围；1(2)当a≤2时，设函数gx=x-lnx-，若在[1,e]上存在x，x使f(x)>g(x)成立，求实数a的取值e1212范围．12x-a6(2023·山东青岛·统考模拟预测)已知函数fx=e-lnx.(1)当a=0时，求曲线y=fx在1,f1处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；(2)若存在x0∈e,+∞，使f(x0)<0成立，求a的取值范围.1x7(2023·江苏南通·模拟预测)已知函数fx=xlnx-x，gx=1-e.212(1)若x∈,e，求fx的最值；e(2)若存在x0∈0,m，使得fx0≤gm，求实数m的取值范围.13