©巨门信息2022绝密★启用前2022年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）（适用地区:云南、四川、广西、贵州、西藏）理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.z1.若z=−+13i，则=（）zz−11313A.−+13iB.−−13iC.−+iD.−−i33332.某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：1.则（）A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差∣23.设全集U={−−2,1,0,1,2,3}，集合ABx={−=−+xx1,2},43=0，则ðU()AB=（）A.{1,3}B.{0,3}C.{2,1}−D.{2,0}−4.如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为（）1/15©巨门信息2022A.8B.12C.16D.20ππ5.函数yx=−(3xx3−)cos在区间−,的图象大致为（）22A.B.C.D.b6.当x=1时，函数f(x)=+alnx取得最大值−2，则f(2)=（）x11A.−1B.−C.D.1227.在长方体ABCDABCD−1111中，已知BD1与平面ABCD和平面AA11BB所成的角均为30°，则（）A.ABAD=2B.AB与平面AB11CD所成的角为C.ACCB=1D.与平面BB11CC所成的角为458.沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，AB是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，CDAB⊥．“会圆术”给出的弧长的近似CD2值s的计算公式：sAB=+．当OA=2,AOB=60时，s=（）OA1.11−3311−43933−9−43A.B.C.D.22229.甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为V甲和S甲V甲V乙．若=2，则=（）S乙V乙510A.5B.22C.10D.4xy2210.椭圆C:+=1(ab0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线AP,AQ的斜ab221率之积为，则C的离心率为（）4321A.B.C.D.2232/15©巨门信息2022π11.设函数f(x)=+sinx在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（）35135191381319A.,B.,C.,D.,36366366311112.已知abc===,cos,4sin，则（）3244A.cbaB.bacC.abcD.acb二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.1r13.设向量a，b的夹角的余弦值为，且a=1，b=3，则2abb+=_________．3()x214.若双曲线ym2−=1(0)的渐近线与圆xyy22+−+=430相切，则m=_________．m215.从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________．AC16.已知△퐴퐵퐶中，点D在边BC上，===ADBADCDBD120,2,2．当取得最小值时，BD=AB________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分．2S17.记S为数列a的前n项和．已知n+=+na21．nnnn（1）证明：是等差数列；（2）若aaa479,,成等比数列，求的最小值．18.在四棱锥P−ABCD中，PD⊥底面ABCD,CD∥AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=3．（1）证明：BD⊥PA；（2）求PD与平面PAB所成的角的正弦值．3/15©巨门信息202219.甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．（1）求甲学校获得冠军的概率；（2）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．20.设抛物线C:2ypx2=(0)p的焦点为F，点Dp(,0)，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，MF=3．（1）求C的方程；（2）设直线MDND,与C另一个交点分别为A，B，记直线MNAB,的倾斜角分别为,．当−取得最大值时，求直线AB的方程．的ex21.已知函数f(xxa)=−ln+−x．x（1）若fx()0，求a的取值范围；（2）证明：若fx()有两个零点xx12,，则xx121．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]2+t2+sx=x=−22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为6（t为参数），曲线C2的参数方程为6（syt=ys=−为参数）．（1）写出的普通方程；4/15©巨门信息2022（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C3的极坐标方程为2cossin0−=，求与C1交点的直角坐标，及与C2交点的直角坐标．[选修4-5：不等式选讲]23.已知a，b，c均为正数，且abc222++=43，证明：（1）abc++23；11（2）若bc=2，则+3．ac5/15©巨门信息2022参考答案1.【答案】C【解析】【详解】zzz=−13i,(−=−13i)(+−13i)134.−=+=z−+13i13==−+izz−1333故选：C2.【答案】B【解析】70%+75%【详解】讲座前中位数为70%,所以A错；2讲座后问卷答题的正确率只有一个是80%,4个85%,剩下全部大于等于90%,所以讲座后问卷答题的正确率的平均数大于,所以B对；讲座前问卷答题的正确率更加分散,所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差,所以C错；讲座后问卷答题的正确率的极差为100%−=80%20%，讲座前问卷答题的正确率的极差为95%60%35%20%−=,所以D错.故选:B.3.【答案】D【解析】【详解】由题意，Bxxx=4301,32−+==，所以AB=−1,1,2,3,所以ðU(AB=)−2,0.故选：D.4.【答案】B【解析】【详解】由三视图还原几何体，如图，24+则该直四棱柱的体积V==2212.2故选：B.5.【答案】A【解析】【详解】令f(x)=(3xx−3−)cosx,x−,，22则f(−xxx)=(3−−xf−−x3xx)cos3=−(x)−=3−cos()()，所以fx()为奇函数，排除BD；xx−又当x0,时，3−30,cosx0，所以fx()0，排除C.2故选：A.6.【答案】B【解析】6/15©巨门信息2022ab【详解】因为函数fx()定义域为(0,+)，所以依题可知，f12=-，f(10)=，而fx()=−，所()xx222以bab=−−=2,0，即ab=−=2−,2，所以fx()=−+，因此函数在(0,1)上递增，在(1,+)xx211上递减，x=1时取最大值，满足题意，即有f(21)=−+=−．故选：B.227.【答案】D【解析】【详解】如图所示：不妨设ABa===ADb,,AAc1，依题以及长方体的结构特征可知，BD1与平面ABCD所成角为B1DB，cb与平面AABB所成角为DBA，所以sin30==，即，222，解111bc=B1Dcabc==++2B11DBD得ac=2．对于A，ABa=，ADb=，ABAD=2，A错误；对于B，过B作BEA⊥B1于E，易知BE⊥平面AB11CD，所以AB与平面所成角为BAE，因为c2tanBAE==，所以BAE30，B错误；a2对于C，22，22，ACCB，C错误；ACabc=+=3CBbcc1=+=21CDa2对于D，与平面BB11CC所成角为DB1C，sin==DB1C=，而090DB1C，所以B1D22c=DB1C45．D正确．故选：D．8.【答案】B【解析】【详解】解：如图，连接OC，因为C是的中点，所以OCAB⊥，又CDAB⊥，所以OCD,,三点共线，即OD=OA=OB=2，又=AOB60，所以AB===OAOB2，则OC=3，故CD=−23，2CD2(23−)11−43所以s=AB+=2+=.故选：B.OA229.【答案】C【解析】【详解】解：设母线长为l，甲圆锥底面半径为r1，乙圆锥底面圆半径为r2，7/15©巨门信息2022S甲rlr则===112，Sr乙lr22所以rr12=2，22rr又12+=2，llrr+则12=1，l21所以rlrl==,，123345所以甲圆锥的高hlll=−=22，193122乙圆锥的高hlll=−=22，293145rhll22V11所以甲===39310.1V乙21222rh22ll393故选：C.10.【答案】A【详解】解：Aa(−,0)，设P(x11,y)，则Qxy(−11,)，yy11则kkAPAQ==,，x11+−ax+a2yyy1111故kkAP===AQ22，x111+−ax+−+axa422222xy11bax(−1)又+=1，则y2=，ab221a2222b(ax−1)2b1所以21，即，a2=22=a4−+xa14cb23所以椭圆C的离心率e==−=1.aa22故选：A.11.【答案】C【分析】由x的取值范围得到x+的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，解得即可．3【详解】解：依题意可得0，因为x(0,)，所以x+,+，333要使函数在区间(0,)恰有三个极值点、两个零点，又yx=sin，x,3的图象如下所示：38/15©巨门信息20225138138则+3，解得，即,．236363故选：C．12.【答案】Ac1π【详解】因为=4tan,因为当xxxx0,,sintanb4211c所以tan,即1,所以cb；44b1设fxxxx()cos1,(0,)=+−+2，2f(x)=−sinx+x0，所以fx()在(0,)+单调递增，1131则ff(0)=0,所以cos0−，4432所以ba,所以cba，故选：A13.【答案】1111【详解】解：设a与b的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即cos=，33r1又a=1，b=3，所以abab===cos131，322所以(2a+=b)b2a+=bb2a+bb=+=213211．故答案为：．314.【答案】3x2x【详解】解：双曲线ym2−=10()的渐近线为y=，即x=my0，m2m2不妨取x+=my0，圆xyy22+−+=430，即xy2+−=(21)，所以圆心为(0,2)，半径r=1，2m依题意圆心到渐近线的距离d==1，1+m233解得m=或m=−（舍去）．33故答案为：．615.【答案】.35【解析】