2022～2023学年高三年级模拟试卷数 学(满分：150分 考试时间：120分钟)2023．1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中只有一个选项符合要求．1.已知全集U＝{x|－2＜x＜3}，集合A＝{x|－1＜x≤1}，则∁UA＝( )A.(－1，1] B.(－2，－1]∪(1，3)C.[－1，1) D.(－2，－1)∪[1，3)2.若复数z在复平面内对应的点在直线y＝1上，且z＝iz，则z＝( )A.1－i B.1＋i C.－1＋i D.－1－i3.(eq\r(x)－eq\f(1,x))6的二项展开式中的常数项是( )A.－20 B.－15 C.15 D.204.经验表明，树高y与胸径x具有线性关系，为了解回归方程的拟合效果，利用下列数据计算残差，用来绘制残差图．胸径x/cm18.219.122.324.526.2树高的观测值y/m18.919.420.822.824.8树高的预测值y/m18.619.321.523.024.4则残差的最大值和最小值分别是( )A.0.4，－1.8 B.1.8，－0.4 C.0.4，－0.7 D.0.7，－0.45.为测量河对岸的直塔AB的高度，选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C，D，测得∠BCD的大小为60°，点C，D的距离为200m，在点C处测得塔顶A的仰角为45°，在点D处测得塔顶A的仰角为30°，则直塔AB的高为( )A.100m B.100eq\r(3)m C.(200eq\r(3)－200)m D.200m6.已知圆心均在x轴上的两圆外切，半径分别为r1，r2(r1＜r2)，若两圆的一条公切线的方程为y＝eq\f(\r(2),4)(x＋3)，则eq\f(r2,r1)＝( )A.eq\f(4,3) B.2 C.eq\f(5,4) D.37.设G为△ABC的重心，则eq\o(GA,\s\up6(→))＋2eq\o(GB,\s\up6(→))＋3eq\o(GC,\s\up6(→))＝( )A.0 B.eq\o(AC,\s\up6(→)) C.eq\o(BC,\s\up6(→)) D.eq\o(AB,\s\up6(→))8.设a＝eq\f(1,10)eeq\f(1,9)，b＝eq\f(1,9)，c＝2lneq\f(3,2)，则( )A.a＜b＜c B.a＜c＜b C.c＜b＜a D.b＜a＜c二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.在正方体ABCDA1B1C1D1中，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)AA1，eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)CC1，则( )A.EF⊥BD B.EC1∥平面ABFC.EF⊥平面B1CD1 D.直线EF与直线BD1异面10.已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，点M，N均在C上，若△FMN是以F为直角顶点的等腰三角形，则MN＝( )A.eq\f(\r(2)－1,2) B.eq\r(2)－1C.eq\f(\r(2)＋1,2) D.eq\r(2)＋111.已知等差数列{an}中，当且仅当n＝7时，Sn取得最大值．记数列{eq\f(Sn,n)}的前k项和为Tk，则下列结论正确的是( )A.若S6＝S8，则当且仅当k＝13时，Tk取得最大值B.若S6＜S8，则当且仅当k＝14时，Tk取得最大值C.若S6＞S8，则当且仅当k＝15时，Tk取得最大值D.若∃m∈N*，Sm＝0，则当k＝13或14时，Tk取得最大值12.将样本空间Ω视为一个单位正方形，任一事件均可用其中的区域表示，事件发生的概率为对应区域的面积．在如图所示的单位正方形中，区域Ⅰ表示事件AB，区域Ⅱ表示事件Aeq\x\to(B)，区域Ⅰ和Ⅲ表示事件B，则区域Ⅳ的面积为( )ⅠⅡⅢⅣA.P(eq\x\to(AB)) B.P(eq\x\to(A＋B))C.P(eq\x\to(A)|eq\x\to(B))P(eq\x\to(B)) D.P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知sin(π－x)＝eq\f(1,3)，x∈(0，eq\f(π,2))，则tanx＝________．14.已知椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆C上，若△PF1F2是以F1为顶点的等腰三角形，且cos∠F1PF2＝eq\f(3,4)，则C的离心率e＝________．15.设过直线x＝2上一点A作曲线y＝x3－3x的切线有且只有两条，则满足题设的一个点A的纵坐标为________．16.已知球O的表面积为100πcm2，P是球O内的定点，OP＝eq\r(10)cm，过P的动直线交球面于A，B两点，AB＝4eq\r(5)cm，则球心O到AB的距离为________cm；若点A，B的轨迹分别为圆台O1O2的上、下底面的圆周，则圆台O1O2的体积为________cm3.四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.(本小题满分10分)已知数列{an}中，a1，a2，a3，…，a6成等差数列，a5，a6，a7，…成等比数列，a2＝－10，a6＝2.(1)求数列{an}的通项公式；(2)记数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＞0，求n的最小值．18.(本小题满分12分)已知四边形ABCD内接于圆O，AB＝3，AD＝5，∠BAD＝120°，AC平分∠BAD.(1)求圆O的半径；(2)求AC的长．19.(本小题满分12分)如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，E为AC的中点，将△ACD沿AC翻折使点D至点D′.(1)求证：平面BD′E⊥平面ABC；(2)若三棱锥D′ABC的体积为eq\f(2\r(2),3)，求二面角D′ABC的余弦值．20.(本小题满分12分)甲、乙、丙三人进行乒乓球单打比赛，约定：随机选择两人打第一局，获胜者与第三人进行下一局的比赛，先获胜两局者为优胜者，比赛结束．已知每局比赛均无平局，且甲赢乙的概率为eq\f(1,3)，甲赢丙的概率为eq\f(1,3)，乙赢丙的概率为eq\f(1,2).(1)若甲、乙两人打第一局，求丙成为优胜者的概率；(2)求恰好打完2局结束比赛的概率．21.(本小题满分12分)已知双曲线C过点(3，eq\r(2))，且C的渐近线方程为y＝±eq\f(\r(3),3)x.(1)求C的方程；(2)设A为C的右顶点，过点P(－2eq\r(3)，0)的直线与圆O：x2＋y2＝3交于点M，N，直线AM，AN与C的另一交点分别为D，E，求证：直线DE过定点．22.(本小题满分12分)已知0＜a＜1，函数f(x)＝x＋ax－1，g(x)＝x＋1＋logax.(1)若g(e)＝e，求函数f(x)的极小值；(2)若函数y＝f(x)－g(x)存在唯一的零点，求a的取值范围．2022～2023学年高三年级模拟试卷(海安)数学参考答案及评分标准1.B 2.D 3.C 4.C 5.A 6.B 7.B 8.D 9.AB 10.BD 11.BD 12.BC13.eq\f(\r(2),4) 14.eq\f(2,5) 15.2(答案不唯一，－6也正确) 16.eq\r(5) eq\f(65\r(10),3)π17.解：(1)设等差数列a1，a2，a3，…，a6的公差为d.因为a2＝－10，a6＝2，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋d＝－10，,a1＋5d＝2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝－13，,d＝3，))所以an＝－13＋(n－1)×3＝3n－16(1≤n≤5，n∈N*).(3分)设等比数列a5，a6，a7，…的公比为q，则q＝eq\f(a6,a5)＝eq\f(2,－1)＝－2，所以an＝－(－2)n－5(n≥6，n∈N*).综上，an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(3n－16，,1≤n≤5，,－（－2）n－5，,n≥6，)))n∈N*.(5分)(2)由(1)知，当n≤5时，an＜0，要使Sn＞0，则n≥6，(6分)此时Sn＝(a1＋a2＋…＋a5)＋(a6＋…＋an)＝5×(－13)＋eq\f(5×4,2)×3＋eq\f(2[1－（－2）n－5],1－（－2）)＝－35＋eq\f(2[1－（－2）n－5],3).(8分)由Sn＞0，得(－2)n－5＜－eq\f(103,2)，所以(n－5)必为奇数，此时2n－5＞eq\f(103,2)，所以n－5的最小值为7，所以n的最小值为12.(10分)18.解：(1)设圆O的半径为R.在△ABD中，由余弦定理BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos∠BAD，得BD2＝32＋52－2×3×5×(－eq\f(1,2))＝49，所以BD＝7.(3分)在圆O的内接△ABD中，由正弦定理，得2R＝eq\f(BD,sin∠BAD)＝eq\f(7,sin120°)＝eq\f(14\r(3),3)，故R＝eq\f(7\r(3),3)，所以圆O的半径为eq\f(7\r(3),3).(6分)(2)因为四边形ABCD内接于圆O，所以∠BAD＋∠BCD＝180°.又∠BAD＝120°，故∠BCD＝60°.因为AC平分∠BAD，所以∠BAC＝60°.(8分)(解法1)因为AC平分∠BAD，所以eq\x\to(BC)＝eq\x\to(CD)，所以BC＝CD.又因为∠BCD＝60°，所以△BCD为正三角形，所以BC＝BD＝7.(10分)(解法2)在圆O的内接△ABC中，由正弦定理，得eq\f(BC,sin∠BAC)＝2R.所以BC＝2R·sin60°＝eq\f(14\r(3),3)×eq\f(\r(3),2)＝7.(10分)在△ABC中，由余弦定理BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC，得72＝32＋AC2－2×3×AC×cos60°，即AC2－3AC－40＝0，解得AC＝8或AC＝－5，因为AC＞0，所以AC＝8，所以AC的长为8.(12分)19.(1)证明：由菱形ABCD知，D′A＝D′C，又E为AC的中点，所以D′E⊥AC，同理，可得BE⊥AC.(2分)因为D′E,BE⊂平面BD′E,D′E∩BE＝E，所以AC⊥平面BD′E.因为AC⊂平面ABC，所以平面BD′E⊥平面ABC.(4分)(2)解：过点D′作D′H⊥BE交BE于点H，由(1)知，平面BD′E⊥平面ABC.又平面BD′E∩平面ABC＝BE，D′H⊂平面D′BE,所以D′H⊥平面ABC.(6分)因为三棱锥D′ABC的体积为eq\f(2\r(2),3)，所以eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×22×D′H＝eq\f(2\r(2),3)，解得D′H＝eq\f(2\r(6),3).(8分)在Rt△D′EH中，D′E＝eq\r(3)，所以EH＝eq\f(\r(3),3)，于是BH＝BE－EH＝eq\f(2\r(3),3).(解法1)如图，以E为坐标原点，EA，EB分