绝密★启用前试卷类型：A名校联盟全国优质校2023届高三大联考数学试题参考答案与评分参考一、单项选择题：题号12345678答案DCACBBDA二、多项选择题：题号9101112答案BDBCACABD12.若一条直线与两条或两条以上的曲线均相切，则称该直线为这些曲线的公切线．已知直lnx线l:ykxb为曲线C:yeax和C:y(a0)的公切线，则下列结论正确的为12ayxA．C1和C2关于直线对称B．当a1时，keb111C．若b0，则a21D．当a1时，C和C必存在斜率为的公切线12kaxlnx解析：不妨设l与C:ye和C:y依次相切于点A(x1,y1)，B(x2,y2)，12aaxyx（1）考查选项A：已知函数y(e)和ylogeax互为反函数，则C1和C2关于直线对称，故选项A正确；lnxkxb，22（）考查选项：当a1时，由与C相切可知∴b1lnk，2Bl21，kx21∴keb1kelnkk1，故选项B正确；klnx2kx,ax12ekx1,a（3）考查选项C：若b0，则l:ykx，不难知道，有①，且②，ax11aek,k,ax2lnx211由②可得kx，又a0，∴lnx21，即x2e，∴k，a2aae高三数学参考答案及评分标准第1页共11页由①可得akx1k，显然k0，∴ax11，∴aek，11∴ae，即a，故选项C错误；aeeex1kxb，（）考查选项：由与C相切可知1∴xlnk，，4Dl1x1bkklnke1k，由（2）可知b1lnkkklnk，∴k1(1k)lnk0，设函数g(x)x1(1x)lnx，依题可得g(k)0，11111lnkk1(1k)lnk又g()1(1)ln1lnk0，kkkkkkk1∴C和C亦存在斜率为的公切线，故选项D正确；12k综上所述，应选ABD.三、填空题：213.2；14.10；15.；16.(2,)．2x2y216．在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，记F1为双曲线C:1(a0,b0)的a2b2左焦点，以OF1为直径的圆与C的一条渐近线交于O，A两点，且线段AF1与C交于1点B，若FBFA()，则C的离心率的取值范围为．112解析：易知，∵，∴，|F1A|bF1BF1A|F1B|b记C的右焦点为F2，连接BF2，∴|F2B|2ab，2b24c2(2ab)2ba在△F1BF2中，cosFFB，214bccbbabb∵△OF1A为直角三角形，∴cosFFBcosOFA，∴，化简得，211cccab11b222222∵线段AF1与C交于点B，且，∴，即ab，∴abca，即2ac，22ab∴e22，∴e(2,)，故应填(2,)．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）设数列的前项和为，若，．{an}nSna11Snan11（）求的通项公式；1{an}高三数学参考答案及评分标准第2页共11页（）设*，求数列的前项和．2bnnan1(nN){bn}nTn解：（）∵，．1a11Snan11∴，解得．…………………………………………………………………分S1a21a221当时，，n2Sn1an1∴，…………………………………………………………………分anSnSn1an1an2a∴，即n1．……………………………………………………………………分2anan123ana∵22也满足上式，………………………………………………………………………4分a1∴是首项为，公比为的等比数列，{an}12∴n1．……………………………………………………………………………………分an25（）由（）知n，∴n，21an12bnn2∴23n①，Tn122232n2则23nn1②，………………………………………分2Tn1222(n1)2n26①②得，23nn1…………………………………………………………分Tn2222n272（12n）n2n1……………………………………………………………………8分12(1n)2n12，………………………………………………………………………9分∴n1．………………………………………………………………………分Tn2(n1)21018．（12分）sinAsinBac设△ABC的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．sinCab（1）求B；（2）已知b3，且AC边上存在点D，使得BD平分ABC．当BD2时，求△ABC的面积．sinAsinBacabac解：（1）∵，由正弦定理得，………………………1分sinCabcab化简得b2a2c2ac，……………………………………………………………………2分高三数学参考答案及评分标准第3页共11页a2c2b21∴由余弦定理得cosB，…………………………………………………3分2ac2π又∵B(0,π)，∴B．……………………………………………………………………4分3（2）如图所示（第18题图）∵，………………………………………………………………………分SABCSABDSCBD5111即BABCsinABCBABDsinABDBCBDsinCBD，…………………7分2223由BD平分ABC，可化简得BABCBABC①，………………………………8分2又由余弦定理得AC2BA2BC22BABCcosB②，………………………………10分联立①，②，解得BABC6，……………………………………………………………11分133∴SBABCsinABC．……………………………………………………12分ABC2219．（12分）某校筹办运动会，设计了方案一、方案二两种方案．为了解对这两种方案的支持情况，在校内随机抽取100名同学，得到数据如下：男女支持不支持支持不支持方案一20人40人30人10人方案二35人25人25人15人假设校内所有同学支持何种方案互不影响．(1)依据所给数据及小概率值=0.001的独立性检验，能否认为支持方案一与性别有关？(2)以抽取的100名同学的支持率高低为决策依据，应选择哪种方案？高三数学参考答案及评分标准第4页共11页(3)用频率估计概率，从全校支持方案一的学生中随机抽取3人，其中男生的人数记为X，求随机变量X的分布列和数学期望．n(adbc)2附：2，其中n=abcd．(ab)(cd)(ac)(bd)0.10.050.010.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.828解：(1)易得如下列联表：方案一性别支持不支持合计男204060女301040合计5050100……………………………………………1分零假设为：支持方案一与运动员的性别无关．H0根据列联表中的数据，经计算得到100(20103040)2502=16.66710.828x，……………………………3分5050406030.001依据小概率值的独立性检验，可以推断不成立，即认为支持方案一与运动员的=0.001H0性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.001．…………………………………………4分(2)由题设表格中的数据可知，20301支持方案一的频率为=，20403010235253支持方案二的频率为=，35252515513∵，∴本次运动会应选择方案二．……………………………………………………6分25202303(3)男生支持方案一的概率为=，女生支持方案一的概率为=，20305203052则X~B(3,)，X的可能取值为0，1，2，3，…………………………………………8分532723542336P(X0)C0()3，P(X1)C1()2，P(X2)C2()2，35125355125355125高三数学参考答案及评分标准第5页共11页28P(X3)C3()3，………………………………………………………………10分35125∴X的分布列为X01232754368P125125125125……………………………………………11分26∴E(X)3．…………………………………………………………………………12分5520．（12分）在四棱锥PABCD中，侧棱PA平面ABCD，且平面PAD平面PCD．(1)证明：ADCD；(2)若AD∥BC，且BC2AP2AD2，记平面BPC与平面PCD的夹角为，当10cos时，求CD的长度．5(第20题图)(图1)(图2)解：(1)证明：如图1，过A作AEPD，且垂足为E，∵平面PAD平面PCD，平面PAD平面PCDPD，∴AE平面PCD，…………………………………………………………………………1分又CD平面PCD，∴AECD，…………………………………………………………2分∵PA平面ABCD，CD平面ABCD，∴PACD，…………………………………………………………………………………3分又PAAEA，PA,AE平面PAD，∴CD平面PAD，…………………………………………………………………………4分又AD平面PAD，∴ADCD．…………………………………………………………5分(2)设BC的中点为F，连接AF，1∵AD∥BC，ADBCFC，ADCD，2∴四边形AFCD为平行四边形，又∵ADCD，∴ADAF，……………………………………………………………6分高三数学参考答案及评分标准第6页共11页设CDt(t0)，以A为原点，AF，AD，AP所在的直线分别为x，y，z轴，建立如11图2所示的空间直角坐标系，则P(0,0,1)，D(0,1,0)，C(t,1,0)，B(t,1,0)，E(0,,)，2211PC(t,1,1)，BC(0,2,0)，AE(0,,)，…………………………………………7分22由(1)知AE平面PCD，∴平面PCD的一个法向量为n(0,1,1)，……………………8分设m(x,y,z)为平面PBC的一个法向量，则mPC0,txyz0,ztx,∴即，令x1，得m(1,0,t)，…………………9分mBC0,2y0,y0,t∴cosm,n，………………………………………………………………10分2t2110t10∵平面BPC与平面PCD夹角的余弦值为，∴||，解得t2，52t215∴CD2．……………………………………………………………………………………12分21．（12分）x2y2在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，点A，B分别为椭圆C:1（ab0）a2b2的上、下顶点，直线l:x2与C有且仅有一个公共点，设点D在C上运动，且D不在坐标轴上，当直线BD的斜率为3时，C的右焦点恰在直线BD上．(1)求C的方程；(2)设直线BD交x轴于点P，直线AD交l于点Q，直线PQ交C于M，N两点．(i)证明：直线PQ的斜率为定值；(ii)求△OMN面积的取值范围．解：(1)∵l与C有且只有1个公共点，∴a2，…………………………………………1分记C的右焦点为F(c,0)，由题可知当直线BD的斜率为3时，