泸县四中2020级高三第二次诊断性模拟考试数学（理工类）注意事项：答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．本试卷满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，请将答题卡交回。第=1\*ROMAN\*MERGEFORMATI卷选择题（60分）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则A． B． C． D．2．图中网格纸的小正方形的边长是1，复平面内点所表示的复数满足，则复数 B．C．D．3．甲､乙两台机床生产同一种零件，根据两台机床每天生产零件的次品数，绘制了如下茎叶图，则下列判断错误的是A．甲的平均数大于乙的平均数 B．甲的众数大于乙的众数C．甲的方差大于乙的方差 D．甲的性能优于乙的性能4．已知某几何体的三视图如图所示（图中网格纸上小正方形边长为1），则该几何体的体积为A． B．15 C． D．205．已知是第四象限角，，则A．B．C．D．6．设是公比为的等比数列，则“”是“为递增数列”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件7．在如图所示的计算程序框图中，判断框内应填入的条件是 B． C． D．8．已知函数，其中.若函数的最小正周期为，且当时，取最大值，是A．在区间上是减函数 B．在区间上是增函数C．在区间上是减函数 D．在区间上是增函数9．若，则A． B．C． D．10．已知函数在上单调，且函数的图象关于对称，若数列是公差不为的等差数列，且，则的前项的和为A． B． C． D．11．已知点是双曲线的左焦点，过且平行于双曲线渐近线的直线与圆交于点，且点在抛物线上，则该双曲线的离心率的平方为A． B． C． D．12．关于x的不等式对任意x>1恒成立，则a的取值范围是A．B．C．D．第=2\*ROMAN\*MERGEFORMATII卷非选择题（90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．曲线在处的切线方程为_____．14．3名女生和4名男生随机站成一排，则每名女生旁边都有男生的概率为______．15．若实数满足，且，则的最大值为______.16．如图，在四边形中，，，，，，点是线段上的一个动点，则的最小值为___________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必做题：共60分．17．（12分）已知正项等比数列的前项和为，若，，成等差数列，．（1）求与；（2）设，数列的前项和记为，求．18．（12分）某超市从2014年甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的数据中分别随机抽取100个，并按[0，10]，（10，20]，（20，30]，（30，40]，（40，50]分组，得到频率分布直方图如下：         假设甲、乙两种酸奶独立销售且日销售量相互独立．（1）写出频率分布直方图（甲）中的的值；记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量（单位：箱）的方差分别为，，试比较与的大小；（只需写出结论）（2）估计在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于20箱且另一个不高于20箱的概率；（3）设表示在未来3天内甲种酸奶的日销售量不高于20箱的天数，以日销售量落入各组的频率作为概率，求的数学期望．19．（12分）如图，，分别是圆台上下底面的圆心，是下底面圆的直径，，点是下底面内以为直径的圆上的一个动点（点不在上）.（1）求证：平面平面；（2）若，，求二面角的余弦值.20．（12分）已知抛物线，直线，过点作直线与交于，两点，当时，为中点.（1）求的方程；（2）作，，垂足分别为，两点，若与交于，求证：.21．（12分）已知函数有两个零点，.（1）求实数的取值范围；（2）证明：.（二）选做题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2cosθ.（1）若曲线C1方程中的参数是α，且C1与C2有且只有一个公共点，求C1的普通方程；（2）已知点A（0，1），若曲线C1方程中的参数是t，0＜α＜π，且C1与C2相交于P，Q两个不同点，求的最大值.23．（10分）选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）解不等式；（2）已知，若恒成立，求函数的取值范围.泸县四中2020级高三第二次诊断性模拟考试数学（理工类）参考答案：1．A2．B3．D4．C5．D6．D7．A8．B9．B10．C11．D12．B13．14．15．16．17．解：（1）设正项等比数列的公比为()，由解得，所以，．（2）由（1）得，所以，①，②①-②得，所以．18．（1）由各小矩形的面积和为1可得：，解之的；由频率分布直方图可看出，甲的销售量比较分散，而乙较为集中，主要集中在箱，故．（2）设事件：在未来的某一天里，甲种酸奶的销售量不高于20箱；事件：在未来的某一天里，乙种酸奶的销售量不高于20箱；事件：在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰好一个高于20箱且另一个不高于20箱．则，．所以．（3）由题意可知，的可能取值为0，1，2，3．，，，．所以的分布列为01230．3430．4410．1890．027所以的数学期望．19．解：（1）由题意，分别是圆台上下底面的圆心，可得底面，因为底面，所以，又由点是下底面内以为直径的圆上的一个动点，可得，又因为，且平面，所以平面，因为平面，所以平面平面.（2）以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，因为，则，，可得，所以，设平面的法向量为，则，即，令，可得，所以，又由，设平面的法向量为，则，即，令，可得，所以，所以，因为二面角为钝角，所以二面角的余弦值为.20．（1）设，，当时，的方程为即,由可得，，∵为的中点，∴，∴，的方程为；（2）证明：当时，则四边形为矩形，为的中点，由（1）可知为的中点，∴为的中位线，；当与不平行时，设与相交于，不妨设从左至右依次为点A、B、M，如图，由题意显然成立，只要证，即证，又，∴，∴只要证，即证，即证.设直线的方程为，则，由，解得.由可得，，∴，，∴，得证；综上，.21．（1）解：的定义域为，.①当时，，所以在上单调递增，故至多有一个零点，不符合题意；②当时，令，得；令，得，故在上单调递减，在上单调递增，所以（i）若，则，故至多有一个零点，不符合题意；（ii）若，则，，由（i）知，∴，∴，.又∵，，故存在两个零点，分别在，内.综上，实数的取值范围为.（2）证明：由题意得，令，两式相除得，变形得.欲证，即证，即证.记，，故在上单调递减，从而，即，所以得证.方法2：由题意得：由（1）可知，，令，则，则，两式相除得，，，欲证，即证，即证.记，，令，，故在上单调递减，则，即，∴在上单调递减，从面，∴得证，即得证.22．（1）∵ρ＝2cosθ，∴曲线C2的直角坐标方程为∴（x﹣1）2+y2＝1，∵α是曲线C1：的参数，∴C1的普通方程为x2+（y﹣1）2＝t2，∵C1与C2有且只有一个公共点，∴|t|1或|t|1，∴C1的普通方程为x2+（y﹣1）2＝（）2或x2+（y﹣1）2＝（）2（2）∵t是曲线C1：的参数，∴C1是过点A（0，1）的一条直线，设与点P，Q相对应的参数分别是t1，t2，把，代入（x﹣1）2+y2＝1得t2+2（sinα﹣cosα）t+1＝0，∴∴|t1|+|t2|＝|t1+t2|＝2|sin（α）|≤2，当α时，△＝4（sinα﹣cosα）2﹣4＝4＞0，取最大值2.23．（1）不等式，即.当时，即，得；当时，即，得；当时，即，无解.综上，原不等式的解集为.（2）.令结合函数的图象易知：当时，.要使不等式恒成立，只需，即，故所求实数的取值范围是.