唐山市2023届普通高等学校招生统一考试第一次模拟演练数学参考答案一．选择题：1～4．BDCB5～8．AABC二．选择题：9．BD10．BCD11．ABC12．ABD3125三．填空题：13．14．818615．2216．44四．解答题：（若有其他解法．．．．．．，请参照给分．．．．．）17．解：n＋1（1）由an＋Sn＋1＝Sn＋(－1)·n，n＋1得an＋an＋1＝(－1)·n，…2分所以，S2n＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a2n－1＋a2n)…2分＝1＋3＋…＋(2n－1)＝n2．…2分11（2）bn＝＝2，S2nn当n＝1时，b1＝1＜2．…1分1111当n≥2时，＜＝－，…2分n2n(n－1)n－1n11111故b＋b＋b＋…＋b＜1＋1－＋－＋…＋－123n(2)(23)(n－1n)1＝2－n＜2.…1分综上，n∈N*，b1＋b2＋b3＋…＋bn＜2．18．解：（1）因为侧面A1B1BA、侧面A1ACC1均为正方形，所以，A1A⊥AB，A1A⊥AC，又AB∩AC＝A，所以，A1A⊥平面ABC，…1分又A1A∥C1C，所以，C1C⊥平面ABC，又AD平面ABC，所以C1C⊥AD．…2分由AB＝AC，D为棱BC的中点，所以，AD⊥BC，…1分又BC∩CC1＝C，因此，AD⊥平面B1BCC1；…1分又AD平面ADC1，故平面ADC1⊥平面B1BCC1．…1分（2）由（1）得∠AC1D是AC1与侧面B1BCC所成角，即∠AC1D＝30°，…1分不妨令AC＝2，所以AC1＝22，又∠ADC1＝90°，所以，AD＝2，所以，∠BAC＝90°．…1分高三数学参考答案第1页（共4页）→→→以A为原点，以AB，AC，AA1分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系A－xyz，由题意可得A(0，0，0)，D(1，1，0)，C1(0，2，2)．→→所以AD＝(1，1，0)，AC1＝(0，2，2)．…1分设m＝(x，y，z)是平面ADC1的法向量，则zA1C1→AD·m＝0，→B1AC1·m＝0，x＋y＝0，即2y＋2z＝0，取m＝(1，－1，1)．…1分ACy由题意知n＝(0，1，0)是平面A1B1BA的一个D法向量，…1分Bxm·n3则cosm，n＝＝－．|m||n|33所以，平面ADC与平面ABBA的夹角的余弦值为．…1分111319．解：（1）在△ABD中，由余弦定理可得AB2＋AD2－BD21cos∠BAD＝＝－．…2分2×AB×AD71sin∠BAC＝sin(∠BAD－∠CAD)＝－cos∠BAD＝，…2分713所以S△＝×AB×AC×sin∠BAC＝．…2分ABC22ππ（2）设∠BAC＝∠ADB＝θ，则∠DAB＝＋θ，∠ABD＝－2θ，22ABADBD在△ABD中，由正弦定理可得＝＝，…2分sin∠ADBsin∠ABDsin∠BAD37BD3cosθ即＝＝，所以3cos2θ＝7sinθ，BD＝．…2分sinθcos2θcosθsinθ13于是6sin2θ＋7sinθ－3＝0，解得sinθ＝或－（舍）．3222所以cosθ＝，因此BD＝62．…2分320．解：（1）设Ai＝“第i场甲队获胜”，Bi＝“球员M第i场上场比赛”，i＝1，2，3．高三数学参考答案第2页（共4页）由全概率公式P(A2)＝P(B2)P(A2|B2)＋P(B¯2)P(A2|B¯2)…2分333211＝×＋1－×＝．…2分45(4)520（2）X的可能取值为2，3.P(X＝2)＝P(A1A2)＋P(A¯1A¯2)3112951＝P(A)P(A)＋P(A¯)P(A¯)＝×＋×＝，…1分121252052010049P(X＝3)＝1－P(X＝2)＝，…2分1005149249E(X)＝2×＋3×＝．…1分1001001001（3）P(B¯)＝，…1分24P(A1A2|B¯2＋A1A¯2A3|B¯2＋A¯1A2A3|B¯2)＝P(A1A2|B¯2)＋P(A1A¯2A3|B¯2)＋P(A¯1A2A3|B¯2)…1分32332222＝×＋××＋××…1分5555555556＝．…1分12521．解：（1）双曲线的两顶点为(±a，0)，228所以，＋＝＝4，即a2＝2，…2分2＋a2－a4－a2将P(2，2)代入E的方程可得，b2＝4，x2y2故E的方程为－＝1．…2分24（2）依题意，可设直线l：y＝k(x－1)（k≠2），A(x1，y1)，B(x2，y2)．x2y2y＝k(x－1)与－＝1联立，整理得(k2－2)x2－2k2x＋k2＋4＝0，…1分24所以k2≠2，＝(2k2)2－4(k2－2)(k2＋4)＞0，解得，k2＜4且k2≠2，2k2k2＋4x＋x＝，xx＝，…1分12k2－212k2－2所以3(x1＋x2)－2x1x2＝4．…（*）…1分y1－2又AP：y＝(x－2)＋2，x1－2y1－2所以，C的坐标为(x2，(x2－2)＋2)，…1分x1－2y1－2k(x1－1)(x2－2)＋2(x1－x2)由y1＝k(x1－1)可得，(x2－2)＋2＝，x1－2x1－21k(x1－1)(x2－2)＋2(x1－x2)从而可得N的纵坐标y＝[＋k(x2－1)]N2x1－2k[2x1x2－3(x1＋x2)＋4]＋2(x1－x2)＝，…1分2(x1－2)高三数学参考答案第3页（共4页）x1－x2x1－x2将（*）式代入上式，得y＝，即N(x2，)．…1分Nx1－2x1－2x1－x2x1－x2所以，kMN＝＝，…1分(x1－2)(x2－1)x1x2－2x2－x1＋22(x1－x2)将（*）式代入上式，得kMN＝＝2．…1分3(x1＋x2)－4x2－2x122．证明：x（1）令f(x)＝x－ln(x＋1)，则f(x)＝，x＞－1，…1分x＋1当－1＜x＜0时，f(x)＜0，f(x)单调递减；当x＞0时，f(x)＞0，f(x)单调递增，…1分所以f(x)≥f(0)＝0，等号仅当x＝0时成立，即x≥ln(x＋1)，…1分从而ex≥eln(x＋1)＝x＋1，所以ex－1≥x．…1分综上，ex－1≥x≥ln(x＋1)．…1分（2）显然x＝0时，(ex－1)ln(x＋1)＝x2＝0，即(ex－1)ln(x＋1)≥x2成立．…1分x(1－x)ex－1令g(x)＝，x≠0，则g(x)＝，x≠0，…1分ex－1(ex－1)2令h(x)＝(1－x)ex－1，则h(x)＝－xex，当x＜0时，h(x)＞0，h(x)单调递增；当x＞0时，h(x)＜0，h(x)单调递减，所以h(x)≤h(0)＝0，等号仅当x＝0时成立，…1分h(x)从而可得g(x)＝＜0，x≠0，(ex－1)2所以g(x)在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减．…1分由（1）知，－1＜x＜0时，0＞x＞ln(x＋1)；x＞0时，x＞ln(x＋1)＞0，xln(x＋1)ln(x＋1)所以g(x)＜g[ln(x＋1)]，即＜＝．…2分ex－1eln(x＋1)－1x又当x＞－1且x≠0时，x(ex－1)＞0，所以(ex－1)ln(x＋1)＞x2．故x＞－1时，(ex－1)ln(x＋1)≥x2．…1分高三数学参考答案第4页（共4页）