参考答案:1.B2.B3.B4.D5.B6.B【分析】根据等差数列定义和通项公式可推导得到,由此可得,利用裂项相消法可求得,由可构造不等式求得的范围,进而得到最小值.【详解】,,数列是以为首项,为公差的等差数列,,则,,,由得:,解得:,又,.故选:B.7.C【分析】根据勾股定理和面面垂直的性质定理得到球心位于中点,再求出半径,利用球的体积公式得到答案.【详解】四面体的顶点都在的球的球面上,且,,,,平面平面,平面平面,平面,平面,又平面,,,,,,,取中点,则,球的体积.故选:C.8.B【分析】由题,结合角平分线性质与椭圆的性质,,为到的距离,又是的中位线,故,结合余弦定理,设,即可表示出,即可讨论最值【详解】由图,,,故,,又平分,则到、的距离相等,设为,则设,则,,由是的中位线,易得,即,由椭圆性质易知,存在点为椭圆上异于顶点的动点,使,此时最大,且为2故选:B9.CD10.CD11.AC【分析】四个选项分别利用正态曲线的性质,二项分布方差的有关性质,非线性回归方程线性化的方法,考虑对立事件即可求概率,即可判断正误.【详解】随机变量,正态曲线关于对称,则,,即,故正确;随机变量,则,故,故错误;∵,∴两边取对数得,令,可得,∵,∴,,∴,故正确;从10名男生,5名女生中随机选取4人,则其中至少有一名女生的对立事件为选取的4人中没有一名女生,其概率为,则其中至少有一名女生的概率为,故不正确;故选:.12.BD【分析】设点,根据题意可求出的方程可判断A,根据三角形内角平分线的性质可判断B,求出点K的轨迹方程与的方程联立可判断C,设.的坐标结合的方程可判断D.【详解】设点,则由可得,化简可得,故A错误;当,,三点不共线时,因为,,所以,所以,射线是的平分线,故B正确;设存在,则,即,因为,所以,所以,所以,又因为,所以,又因为不满足,所以不存在满足条件,故C错误;假设轴上存在异于的两定点,使得,可设,可得,由P的轨迹方程为,可得,解得或(舍去),即存在,故D正确.故选:BD.【点睛】本题考查阿波罗尼斯圆的定义及应用,属于新定义问题;证明角平分线除了可以通过线段的长度比来证明,还可以通过点到线段两边的距离相等来证明;和圆有关的线段长度问题,可以利用坐标法来解决问题.13.14.【分析】先以所在直线为轴,建立平面直角坐标系,得到,,,,根据向量数量积的坐标表示,得到,进而可得出结果.【详解】建立如图所示的平面直角坐标系,则,,,,又所以,即,所以,又,所以.故答案为:.【点睛】本题主要考查求平面向量数量积的取值范围,可用建系的方法处理,属于常考题型.15.【答案】【解析】由题意可知,,由余弦定理:,可得,又由正弦定理可得。答案:216.【分析】根据的单调性,易得,,即,从而得到,同理得到,再利用基本不等式求解.【详解】解:当时,,则,所以在上递增,且;当时,,则,所以在上递增,若要使,则,所以,因为函数的图像与直线:交于点,,所以,,所以,即,所以,同理,所以,,当且仅当,即,等号成立,所以的最小值为.故答案为:【点睛】思路点睛:首先确定函数每段的单调性,从而得到交点横坐标的关系,建立模型,再利用基本不等式求解.17.(1)(2)【分析】(1)由正弦定理将边化为角,结合三角函数的两角和的正弦公式,可求得答案;(2)由余弦定理结合基本不等式可求得,再利用三角形面积公式求得答案.【详解】(1)根据正弦定理及,得.∵,∴.∵,∴.(2)由(1)知,又,由余弦定理得,即,∵,∴,即,当且仅当时取等号.∴.∴的最大值为.18.(1)证明见解析(2)11【分析】(1)根据递推公式变换可知数列是以为首项,公比为的等比数列;(2)根据,然后利用等差数列求和公式求解.【详解】(1)解:由题意得:根据,得:可知数列是以为首项,公比为的等比数列..(2). 解得或,又使不等式成立的最小正整数n为11.19.(1)证明见解析(2)【分析】(1)建立空间直角坐标系,证明与平面的法向量垂直即可;(2)利用空间向量求线面角即可.【详解】(1)由题意知,,,两两互相垂直,以为原点,,,所在直线分别为轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,,所以,.底面,底面,又,,且平面,平面,所以是平面的一个法向量.因为,所以.又平面,所以平面.(2)因为,,,,,所以,,,设平面的法向量为,则由,解得,令,得平面的一个法向量为.设直线与平面所成的角为,则.故:直线与平面所成角的正弦值为.20.(1)列联表见解析,有95%的把握认为性别与是否为“重度沉迷”刷抖音有关系(2)分布列见解析,【分析】(1)根据统计图表分析可得列联表,计算,对照临界值表可得结论;(2)根据分层抽样计算出抽取的“重度沉迷”“中度沉迷”与“轻度沉迷”的抖音用户人数,求出的所有可能取值及其概率,可得分布列和数学期望.【详解】(1)由图表可知,非“重度沉迷”的抖音用户男性有:(人),“重度沉迷”的抖音用户男性有:6人;非“重度沉迷”的抖音用户女性有:(人),“重度沉迷”的抖音用户女性有:14人填写列联表如下:非“重度沉迷”“重度沉迷”合计人数(男)45651人数(女)351449合计8020100根据列联表中的数据计算可得,因此有95%的把握认为性别与是否为“重度沉迷”刷抖音有关系.(2)由表可知:“重度沉迷”的抖音用户有(人),“中度沉迷”的抖音用户有(人),“轻度沉迷”的抖音用户有(人).抽取的“重度沉迷”“中度沉迷”与“轻度沉迷”的抖音用户分别有(人),(人),(人),X的所有可能取值为100,150,200,250,300,则;;;;.所以X的分布列为:X100150200250300P故购书券总和的数学期望为.22.(1)(2)证明见解析,定点【分析】(1)根据题意列出方程组,求得a,b,可得答案;(2)分类讨论直线AB的斜率是否存在的情况,斜率存在,设出直线方程并联立双曲线方程,得到根与系数的关系,表示出,结合根与系数的关系化简,可得参数之间的关系式,结合直线方程,求得答案.(1)由题意点在双曲线上,离心率可得;,解出,,所以,双曲线的方程是(2)①当直线的斜率不存在时,则可设,代入,得,则,即,解得或,当时,,其中一个与点重合,不合题意;当时,直线的方程为,它与双曲线不相交,故直线的斜率存在;②当直线的斜率存在时,设直线的方程代入,整理得,,设,则,由,所以所以,,即,整理得,即,所以或,若,则,直线化为,过定点;若,则,直线化为,它过点,舍去综上,直线恒过定点另解:设直线的方程为①,双曲线的方程可化为,即②,由①②可得,整理可得,两边同时除以,整理得③,,则是方程③的两个不同的根,所以,即④,由①④可得,解得,故直线恒过定点.【点睛】本题考查了双曲线方程的求法,以及直线和双曲线相交时直线过定点的问题,综合性较强,计算量大,解答时要明确解题思路,注意分类讨论,解答的关键是利用联立方程得到根与系数的关系,并利用该关系式化简得到参数之间的关系,从而解决直线过定点问题.22.(1)(2)证明见解析【分析】因为,所以设,对进行分类讨论,利用导数研究的单调性、最小值,可得实数的值研究的单调性得要证,即证,即证,即证,设,利用导数研究单调性,即可得证.【详解】(1)因为,所以设,则.当时,,所以单调递增,所以,不满足题意.当时,在区间上单调递增,所以,不满足题意.当时,在区间上单调递减,所以,不满足题意.当时,在区间上单调递减,在区间上单调递增,所以,所以,所以综上可知:.(2)因为,所以,所以在区间上单调递减,在区间上单调递增,所以.要证,即证.因为,,所以即证,因为,所以即证设,则,所以在区间上单调递减,所以.综上可知,原命题得证.【点睛】方法点睛:极值点偏移问题的解题步骤:若为极值点,证明:要证,即证(此处根据函数图像分析),也就是证明或者,又因为,,也就是证明:或者,即证明或者,设,求的单调性及最值即可.23.(1)增区间为,减区间为(2)证明见解析【分析】(1)求得,分别解不等式、可得出函数的增区间和减区间;(2)分析可知,,选①,证明出,,令与的交点为,点的横坐标,则,可得出,构造函数,,可得出,即可得出;选②,求出在处的切线为,证明出,,令与的交点为,点的横坐标,可得出,构造函数,,可得出,即可证得结论成立;选①②,证明出则,,,,令与的交点为,点的横坐标,则,令与的交点为,点的横坐标,则,可得,数形结合可证得结论成立.(1)解:函数的定义域为,.由可得,由可得.所以,函数的增区间为,减区间为.(2)证明:由(1)可知,,由可得,因为函数的增区间为,减区间为,由可知,,若选①,当时,,则,则,,令与的交点为,点的横坐标,则,由可得,,令,,即,,当时,,在上单调递增,所以,;选②,,,所以,在处的切线为.令,其中,,所以,函数在上单调递增,则,所以,,,令与的交点为,点的横坐标,则,可得,所以,,,,,即,,由知,,所以;若选①②,当时,,则,则,,,,所以,在处的切线为.令,其中,,所以,函数在上单调递增,则,所以,,,令与的交点为,点的横坐标,则,令与的交点为,点的横坐标,则,可得,则,由可得.【点睛】方法点睛:利用导数证明不等式问题,方法如下:(1)直接构造函数法:证明不等式(或)转化为证明(或),进而构造辅助函数;(2)适当放缩构造法:一是根据已知条件适当放缩;二是利用常见放缩结论;(3)构造“形似”函数,稍作变形再构造,对原不等式同解变形,根据相似结构构造辅助函数.
河北省邯郸市大名县第一中学2022-2023学年高三下学期2月月考试题 数学答案和解析
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