宜宾市2020级高三第二次诊断性试题数学(理工类)参考答案一、选择题题号123456789101112答案CBDBCDAACDBA9.取AB中点为F，连接FA,FC，∵A1F⎳面EBC1,CF⎳面EBC1，∴面A1FC⎳面EBC1，A1C⎳面EBC1，A正确；11设点B到EBC距离为h，V=V，×S×h=×S×BC，11B1-EBC1C1-EB1B3EBC13EB1B11131113××(2)2×h=××1×1×1，h==，B正确；343233取A1D1中点为H，连接HE,HC，∵HE⎳BD，∴异面直线EC与BD所成角大小等于EC与52115HE所成角大小,HE=,EC=3,HC=，cos∠HEC=-，异面直线EC与BD所成221515角的余弦值为，D正确.151×2c×rS311210.设PF=m,PF=n，内切圆半径为r，∵S=S+，∴mr=nr+，1212322311ccm=n+，3m=3n+2c，3(m-n)=2c，∵m-n=2a，∴6a=2c,=3,e=3223a11.切点P(a,ea)，y=ex，k=ea，切线y-ea=ea(x-a),eax-y+(1-a)ea=0，(2-a)ea(2-a)ea(2-a)ea∵切线与圆相切，∴d=r，d==，∴r=e2a+1e2a+1e2a+12x(1-x)exe2x+1-2e(2-x)ex(2-x)ex2e2x+1令f(x)=(x<2)，f(x)=e2x+1(e2x+1)2(1-x)ex(e2x+1)-(2-x)e3xex(-e2x-x+1)==(e2x+1)3(e2x+1)3令f(x)=0，x=0，当x∈(-∞,0)时，f(x)>0，当x∈(0,2)时，f(x)<0.2f(x)在(-∞,0)上单调递增，在(0,+∞)上单调递减，f(x)=f(0)==2max22rmax=2，Smax=π(rmax)=2π1-cos2ωx1+cos2ωx12.f(x)=3⋅+sin2ωx-3⋅-1=-3cos2ωx+sin2ωx-12213π=2sin2ωx-cos2ωx-1=2sin2ωx--1223ππ当sin2ωx-=-1时，f(x)min=-3，①正确；若ω=1时，f(x)=2sin2x--1，f(x)在33π5ππ-,上单调递增，②正确；y=sinx无法通过上述变换得到y=2sin2ωx--1，③12123错误；∵存在互不相同的x1,x2,x3∈[0,π]，使得f(x1)+f(x2)+f(x3)=3，∴f(x)在[0,π]上至少29π29有3个最大值点，π≥，ω≥，正确12ω12二、填空题④.13.8；14.17190；15.9；16.6.6112113.AP⋅(PB+PC)=AP⋅2PD=AD⋅AD=AD=×42=8.222tt31157301573011t14.k0=k0，==，=3，t=17190.8228257301121114(1+2)215.2p=4,p=2，+==1，+=+≥AFBFpAFBFAF4BFAF+4BF91211=，当且仅当=时，取“=”，又∵+=1AF+4BFAF4BFAFBF9∴1≥，AF+4BF≥9.AF+4BF16.要使MN取最小值，点N必须与M,O1,D三点共面，224设△ABC外接圆半径为r，球P的半径为R，===sin60°3322262r，r=，OM=，OP=，313162241936PM=OM+OP=+==，MN=PM-113666min3666R=-=636三、解答题17.(1)一辆中国新能源车的销售价格位于区间[5,35)的概率：0.22+0.4+0.17=0.79，2分中国新能源车的销售价格的众数为204分(2)随机变量X的分布列X012334344118927P100010001000100010分39E(X)=3×=12分101018.(1)选①2S2S数列n+n的首项为1+1=2a+1=5，n112Sn+n=5+2(n-1)=2n+3，2S=n2+3n2分nn若n=1时，2S1=4,S1=2,a1=2；3分2若n≥2时，2Sn=n+3n①2222Sn-1=(n-1)+3(n-1)=n-2n+1+3n-3=n+n-2②4分由②-①得，2an=2n+2,an=n+1(n≥2)，a1=2符合an=n+1，∴an=n+1(n≥1).6分选②an11an-11bn=(n≥2)，+=+=1，2分an-1bnanananan-1+1=an，an-an-1=1，4分∴{an}是一个以2为首项，1为公差的等差数列，an=2+(n-1)×1=n+16分nn(2)cn=2⋅an=2(n+1)，12nTn=2×2+3×2+⋯+(n+1)×2③2nn+12Tn=2×2+⋯+n×2+(n+1)×2④由④-③9分n+123n得，Tn=(n+1)⋅2-4-(2+2+⋯+2)4(1-2n-1)=(n+1)×2n+1-4-1-2=(n+1)×2n+1-4+4(1-2n-1)=n×2n+112分19(1)证明：连接CO1并延长交AB于H，连接O2H，O2C∵ΔABC为底面圆O1的内接正三角形，∴CH⊥AB,∵AB//DE，∴CH⊥DE，∵四边形DEFG为圆柱O1O2的轴截面，∴O1O2⊥圆面O1，DE⊂圆面O1，∴O1O2⊥DE∵O1O2∩CH=O1,∴DE⊥平面CHO2,∵DE//FG,∴FG⊥平面CHO2，∴FG⊥CO2，2分∵DG=42，DE=16，∴O1C=8,O1H=4,CH=12,O1O2=42，222222∴O2C=O1C+O1O2=96,O2H=O1H+O1O2=48222∴O2C+O2H=CH，∴CO2⊥O2H,4分∵HO2∩FG=O2,∴CO2⊥平面ABFG6分(2)由(1)知O1O2,CH,DE两两垂直，如图建立空间直角坐标系O1-xyz，则C(0,8,0)，F(8,0,42)，D(-8,0,0)，CF=(8,-8,42)，CD=(-8,-8,0)，设平面CFD的法向量为n=(x,y,z)，则n⋅CF=0(x,y,z)⋅(8,-8,42)=0，，可取n=(-1,1,22)8分n⋅CD=0(x,y,z)⋅(-8,-8,0)=0由(1)知平面ABFG的法向量可取O2C=n1=(0,8,-42)，则n⋅n115∴cos‹n,n›==-10分115|n|⋅n1210∴平面ABFG与平面CFD所成二面角的正弦值为12分15c=2 a2解：由已知得20.(1)c=1 a2=b2+c2a=2 ∴,b=1x2∴E:+y2=13分2(2)由(1)知，点A(0，1)，过点A作圆F的切线，当其中一条斜率不存在时不合题意，可设切线方程为y=kx+1，圆F的半径为r(00,ln2a≤1∴f(x)≥f(ln2a)=2a(1-ln2a)≥04分∴命题得证（2）存在a,使得ex-ax2≥lnx+b对于∀x∈R成立，⇔存在a,使得ex-lnx-b≥ax2对于∀x∈R成立，由于ax2>0，原题意的必要条件是ex-lnx>b，对∀x∈R都成立xx11x01设h(x)=e-lnx,h'(x)=e-,∃x0∈,1，使得e=，即-x0=lnx0x2x0x01∴h(x)在(0,x0)是减函数，在(x0,+∞)是增函数，其中e=，即-x0=lnx0x0x0∴h(x)min=h(x0)=e-lnx0,6分x0显然h(x)min=e-lnx0b都成立的最大整数b是2以下证明充分性，当b=2时，存在a,使得ex-ax2≥lnx+2恒成立，ex-lnx-2ex-lnx-2ex-ax2≥lnx+2⇔≥a，由上证明知存在大于0的正的最小值，x2x2ex-lnx-2故存在大于0的