北京市朝阳区高三年级第二学期质量检测一数学2023．3（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题40分和非选择题110分第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】化简，再由集合并集的运算即可得解.【详解】由题意，，所以.故选：C.2.若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据不等式的性质判断A，取特殊值判断BCD.【详解】，，即，故A正确；取，则不成立，故B错误；取，则不成立，故C错误；取，则，故D错误.故选：A3.设，若，则（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】A【解析】【分析】先求出展开式第项，再由列出方程，即可求出的值.【详解】展开式第项，∵，∴，∴.故选：A4.已知点，．若直线上存在点P，使得，则实数k的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】将问题化为直线与圆有交点，注意直线所过定点与圆的位置关系，再应用点线距离公式列不等式求k的范围.【详解】由题设，问题等价于过定点的直线与圆有交点，又在圆外，所以只需，可得.故选：D5.已知函数，则“”是“”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】由的奇偶性、单调性结合充分条件、必要条件的概念即可得解.【详解】因为定义域为，，所以为奇函数，且为上的增函数.当时，，所以，即“”是“”的充分条件，当时，，由的单调性知，，即，所以“”是“”成立的必要条件.综上，“”是“”的充要条件.故选：C6.过双曲线的右焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为A．若（O为坐标原点），则该双曲线的离心率为（）A. B. C.2 D.或2【答案】B【解析】【分析】由题意易得所以，从而，再由求解.【详解】解：在中，因为，所以，则，所以，故选：B7.在长方体中，与平面相交于点M，则下列结论一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据平面交线的性质可知，又平行线分线段成比例即可得出正确答案，对于ABD可根据长方体说明不一定成立.【详解】如图，连接，交于，连接，，在长方体中，平面与平面的交线为,而平面，且平面，所以，又，，所以，故C正确.对于A，因为长方体中与不一定垂直，故推不出，故A错误；对于B，因为长方体中与不一定相等，故推不出，故B错误；对于D，由B知，不能推出与垂直，而是中线，所以推不出，故D错误.故选：C8.声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，我们听到的声音多为复合音．若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论正确的是（）A.的一个周期为 B.的最大值为C.的图象关于直线对称 D.在区间上有3个零点【答案】D【解析】【分析】A.代入周期定义，即可判断；B.分别比较两个函数分别取得最大值的值，即可判断；C.代入对称性的公式，即可求解；D.根据零点的定义，解方程，即可判断.【详解】A.，故A错误；B.，当，时，取得最大值1，，当，时，即，时，取得最大值，所以两个函数不可能同时取得最大值，所以的最大值不是，故B错误；C.，所以函数的图象不关于直线对称，故C错误；D.，即，，即或，解得：，所以函数在区间上有3个零点，故D正确.故选：D9.如图，圆M为的外接圆，，，N为边BC的中点，则（）A.5 B.10 C.13 D.26【答案】C【解析】【分析】由三角形中线性质可知，再由外接圆圆心为三角形三边中垂线交点可知，同理可得，再由数量积运算即可得解.【详解】是BC中点，，M为的外接圆的圆心，即三角形三边中垂线交点，，同理可得，.故选：C10.已知项数为的等差数列满足，．若，则k的最大值是（）A.14 B.15 C.16 D.17【答案】B【解析】【分析】通过条件，，得到，再利用条件得到，进而得到不等关系：，从而得到的最大值.【详解】由，，得到，即，当时，恒有，即，所以，由，得到，所以，，整理得到：，所以.故选：B第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.若复数，则________.【答案】【解析】【分析】根据以及复数商的模等于复数的模的商，计算可得答案.【详解】因为，所以.故答案为：【点睛】本题考查了复数模的性质，考查了复数的模长公式，属于基础题.12.函数的值域为________．【答案】【解析】【分析】利用对数函数和指数函数的图象和性质分别求和的值域，再取并集即可.【详解】因为当时，，当时，，所以函数的值域为，故答案为：13.经过抛物线的焦点的直线与抛物线相交于A，B两点，若，则（O为坐标原点）的面积为______．【答案】【解析】【分析】求出焦点坐标，设直线方程，联立抛物线方程，韦达定理，利用弦长求出直线方程，可求得O点到直线距离，进一步求出三角形面积.【详解】由题意知，抛物线的焦点，设，，直线AB：，联立方程，消去x可得，，韦达定理得，因为，所以，即，所以直线AB：，所以点O到直线AB的距离为，所以.故答案为：14.在中，，，．（1）若，则________；（2）当________（写出一个可能的值）时，满足条件的有两个．【答案】①.②.（答案不唯一）【解析】【分析】（1）求出，再由余弦定理求解即可；（2）根据已知两边及一边的对角求三角形解得情况，建立不等式求出的范围即可得解.【详解】（1），，，，由余弦定理，，即，解得.（2）因为,,所以当时，方程有两解，即，取即可满足条件（答案不唯一）15.某军区红、蓝两方进行战斗演习，假设双方兵力（战斗单位数）随时间的变化遵循兰彻斯特模型：，其中正实数，分别为红、蓝两方初始兵力，t为战斗时间；，分别为红、蓝两方t时刻的兵力;正实数a，b分别为红方对蓝方、蓝方对红方的战斗效果系数；和分别为双曲余弦函数和双曲正弦函数．规定当红、蓝两方任何一方兵力为0时战斗演习结束，另一方获得战斗演习胜利，并记战斗持续时长为T．给出下列四个结论：①若且，则；②若且，则；③若，则红方获得战斗演习胜利；④若，则红方获得战斗演习胜利．其中所有正确结论的序号是________．【答案】①②④【解析】【分析】对于①根据已知条件利用作差法比较大小即可得出，所以①正确；对于②，利用①中结论可得蓝方兵力先为0，即解得，②正确；对于③和④，若要红方获得战斗演习胜利，分别解出红、蓝两方兵力为0时所用时间、，比较大小即可知③错误，④正确.【详解】对于①，若且，则，即，所以，由可得，即①正确；对于②，当时根据①中的结论可知，所以蓝方兵力先为0，即，化简可得，即，两边同时取对数可得，即，所以战斗持续时长为，所以②正确；对于③，若红方获得战斗演习胜利，则红方可战斗时间大于蓝方即可，设红方兵力为0时所用时间为，蓝方兵力为0时所用时间为，即，可得同理可得即，解得又因为都为正实数，所以可得，红方获得战斗演习胜利；所以可得③错误，④正确.故答案为：①②④.三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.如图，在三棱柱中，平面ABC，D，E分别为AC，的中点，，．（1）求证：平面BDE；（2）求直线DE与平面ABE所成角的正弦值；（3）求点D到平面ABE的距离．【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）根据线面垂直的性质得到，根据等腰三角形三线合一的性质得到，然后利用线面垂直的判定定理证明即可；（2）利用空间向量的方法求线面角即可；（3）利用空间向量的方法求点到面的距离即可.【小问1详解】在三棱柱中，，为，的中点，∴，∵平面，∴平面，∵平面，∴，在三角形中，，为中点，∴，∵，平面，∴平面.【小问2详解】如图，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，在直角三角形中，，，∴，，，，，，，，设平面的法向量为，，令，则，，所以，设直线与平面所成角为，所以.小问3详解】设点到平面的距离为，所以.17.设函数，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得存在．（1）求函数的解析式；（2）求在区间上的最大值和最小值．条件①：；条件②：最大值为；条件③：的图象的相邻两条对称轴之间的距离为．注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多组条件分别解答，按第一组解答计分．【答案】（1）选择条件②③，（2）最大值为，最小值为.【解析】【分析】（1）由正弦函数和余弦函数的奇偶性可排除条件①，先利用辅助角公式化简，再根据正弦函数的图象和性质即可求解；（2）利用整体代入法，结合正弦函数的图象和性质即可求解.【小问1详解】若选择条件①，因为，所以，由可得对恒成立，与矛盾，所以选择条件②③，由题意可得，设，由题意可得，其中，，因为的最大值为，所以，解得，所以，，由的图象的相邻两条对称轴之间的距离为可得，所以解得，所以.【小问2详解】由正弦函数的图象可得当时，，，所以在区间上的最大值为，最小值为.18.某地区组织所有高一学生参加了“科技的力量”主题知识竟答活动，根据答题得分情况评选出一二三等奖若干，为了解不同性别学生的获奖情况，从该地区随机抽取了500名参加活动的高一学生，获奖情况统计结果如下：性别人数获奖人数一等奖二等奖三等奖男生200101515女生300252540假设所有学生的获奖情况相互独立．（1）分别从上述200名男生和300名女生中各随机抽取1名，求抽到的2名学生都获一等奖的概率；（2）用频率估计概率，从该地区高一男生中随机抽取1名，从该地区高一女生中随机抽取1名，以X表示这2名学生中获奖的人数，求X的分布列和数学期望；（3）用频率估计概率，从该地区高一学生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为；从该地区高一男生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为；从该地区高一女生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为，试比较与的大小．（结论不要求证明）【答案】（1）（2）分布列见解析，期望（3）【解析】【分析】（1）直接计算概率；（2）的所有可能取值为0,1,2，求出高一男生获奖概率和高一女生获奖概率，再计算概率得到分布列，最后计算期望即可；（3）计算出，，比较大小即可.【小问1详解】设事件为“分别从上述200名男生和300名女生中各随机抽取1名,抽到的2名学生都获一等奖”，则，【小问2详解】随机变量的所有可能取值为0,1,2.记事件为“从该地区高一男生中随机抽取1名,该学生获奖”,事件为“从该地区高一女生中随机抽取1名,该学生获奖”.由题设知,事件,相互独立,且估计为估计为.所以,,.所以的分布列为012故的数学期望【小问3详解】，理由：根据频率估计概率得，由（2）知，，故，则.19.已知函数．（1）求的单调区间；（2）若对恒成立，求a的取值范围；（3）证明：若在区间上存在唯一零点，则．【答案】（1）答案见解析（2）（3）证明见解析【解析】【分析】（1）讨论、，结合导数的符号确定单调区间；（2）由，讨论、研究导数符号判断单调性，进而判断题设不等式是否恒成立，即可得参数范围；公众号：网课来了（3）根据（2）结论及零点存在性确定时在上存在唯一零点，由零点性质及区间单调性，应用分析法将问题转化为证在上恒成立，即可证结论.【小问1详解】由题设，当时，，则在R上递增；当时，令，则，若，则，在上递减；若，则，在上递增；综上，时的递增区间为R，无递减区间；时的递减区间为，递增区间为.【小问2详解】由，当时，在上恒成立，故在上递增，则，满足要求；当时，由（1）知：在上递减，在上递增，而，所以在上递减，在上递增，要使对恒成立，所以，只需，令且，则，即递减，所以，故在上不存在；综上，【小问3详解】由（2）知：时，在恒有，故不可能有零点；时，在上递减，在上递增，且，所以上，无零点，即，且趋向于正无穷时趋向正无穷，所以，在上存在唯一，使，要证，只需在上恒成立即可，令，若，则，令，则，即在上递增，故，所以，即在上递增，故，所以在上恒成立，得证；故，得证.【点睛】关键点点睛：第三问，通过讨论确定在某一单调区