五年（2019-2023）年高考真题分项汇编专题03导数及其应用考点一导数的运算1．【多选】（2022•新高考Ⅰ）已知函数及其导函数的定义域均为，记．若，均为偶函数，则 A． B． C．（4） D．（2）【解析】为偶函数，可得，关于对称，令，可得，即（4），故正确；为偶函数，，关于对称，故不正确；关于对称，是函数的一个极值点，函数在，处的导数为0，即，又的图象关于对称，，函数在，的导数为0，是函数的极值点，又的图象关于对称，，关于的对称点为，，由是函数的极值点可得是函数的一个极值点，，进而可得，故是函数的极值点，又的图象关于对称，，关于的对称点为，，，故正确；图象位置不确定，可上下移动，即每一个自变量对应的函数值不是确定值，故错误．解法二：构造函数法，令，则，则，，满足题设条件，可得只有选项正确，故选：．考点二利用导数研究曲线上某点切线方程2．（2021•新高考Ⅰ）若过点可以作曲线的两条切线，则 A． B． C． D．【解析】法一：函数是增函数，恒成立，函数的图象如图，，即切点坐标在轴上方，如果在轴下方，连线的斜率小于0，不成立．点在轴或下方时，只有一条切线．如果在曲线上，只有一条切线；在曲线上侧，没有切线；由图象可知在图象的下方，并且在轴上方时，有两条切线，可知．故选：．法二：设过点的切线横坐标为，则切线方程为，可得，设，可得，，，是增函数，，，是减函数，因此当且仅当时，上述关于的方程有两个实数解，对应两条切线．故选：．3．（2022•新高考Ⅰ）若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是 ．【解析】，设切点坐标为，，切线的斜率，切线方程为，又切线过原点，，整理得：，切线存在两条，方程有两个不等实根，△，解得或，即的取值范围是，，，故答案为：，，．4．（2022•新高考Ⅱ）曲线过坐标原点的两条切线的方程为 ， ．【解析】当时，，设切点坐标为，，，切线的斜率，切线方程为，又切线过原点，，，切线方程为，即，当时，，与的图像关于轴对称，切线方程也关于轴对称，切线方程为，综上所述，曲线经过坐标原点的两条切线方程分别为，，故答案为：，．5．（2021•新高考Ⅱ）已知函数，，，函数的图象在点，和点，的两条切线互相垂直，且分别交轴于，两点，则的取值范围是 ．【解析】当时，，导数为，可得在点，处的斜率为，切线的方程为，令，可得，即，当时，，导数为，可得在点，处的斜率为，令，可得，即，由的图象在，处的切线相互垂直，可得，即为，，，所以．故答案为：．考点三利用导数研究函数的单调性6．（2023•新高考Ⅱ）已知函数在区间上单调递增，则的最小值为 A． B． C． D．【解析】对函数求导可得，，依题意，在上恒成立，即在上恒成立，设，则，易知当时，，则函数在上单调递减，则．故选：．7．（2023•新高考Ⅰ）已知函数．（1）讨论的单调性；（2）证明：当时，．【解析】（1），则，①当时，恒成立，在上单调递减，②当时，令得，，当时，，单调递减；当，时，，单调递增，综上所述，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在，上单调递增．证明：（2）由（1）可知，当时，，要证，只需证，只需证，设（a），，则（a），令（a）得，，当时，（a），（a）单调递减，当，时，（a），（a）单调递增，所以（a），即（a），所以得证，即得证．8．（2022•浙江）设函数．（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）已知，，曲线上不同的三点，，，，，处的切线都经过点．证明：（ⅰ）若，则（a）；（ⅱ）若，，则．（注是自然对数的底数）【解析】（Ⅰ）函数，，，由，得，在，上单调递增；由，得，在上单调递减．（Ⅱ）证明：过有三条不同的切线，设切点分别为，，，，，，，，2，，方程有3个不同的根，该方程整理为，设，则，当或时，；当时，，在，上为减函数，在上为增函数，有3个不同的零点，（e）且（a），，且，整理得到且，此时，，且，此时，，整理得，且，此时，（a），设（a）为上的减函数，（a），．当时，同讨论，得：在，上为减函数，在上为增函数，不妨设，则，有3个不同的零点，（a），且（e），，且，整理得，，，，设，则方程即为：，即为，记，则，，为有三个不同的根，设，，要证：，即证，即证：，而，且，，，即证，即证，即证，记，则，在为增函数，，，设，，则，在上是增函数，（1），，即，若，，则．9．（2022•新高考Ⅱ）已知函数．（1）当时，讨论的单调性；（2）当时，，求的取值范围；（3）设，证明：．【解析】（1）当时，，，，当时，，单调递增；当时，，单调递减．（2）令，，，在上恒成立，又，令，则，，①当，即，存在，使得当时，，即在上单调递增．因为，所以在内递增，所以，这与矛盾，故舍去；②当，即，，若，则，所以在，上单调递减，，符合题意．若，则，所以在上单调递减，，符合题意．综上所述，实数的取值范围是．另解：的导数为，①当时，，所以在递增，所以，与题意矛盾；②当时，，所以在递减，所以，满足题意；．③当时，．设，，则在递减，所以，，所以在递减，所以，满足题意；④当时，，令，则，，可得递减，，所以存在，使得．当时，，在递增，此时，所以当时，，在递增，所以，与题意矛盾．综上可得，的取值范围是，．（3）由（2）可知，当时，，令得，，整理得，，，，，即．另解：运用数学归纳法证明．当时，左边成立．假设当时，不等式成立，即．当时，要证，只要证，即证．可令，则，，则需证明，再令，则需证明．构造函数，，，可得在，上递减，则（1），所以原不等式成立，即时，成立．综上可得，成立．10．（2021•新高考Ⅱ）已知函数．（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）从下面两个条件中选一个，证明：恰有一个零点．①，；②，．【解析】（Ⅰ），，①当时，当时，，当时，，在上单调递减，在上单调递增，②当时，令，可得或，当时，当或时，，当时，，在，，上单调递增，在，上单调递减，时，且等号不恒成立，在上单调递增，当时，当或时，，当时，，在，，上单调递增，在，上单调递减．综上所述：当时，在上单调递减；在上单调递增；当时，在，和上单调递增；在，上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在和，上单调递增；在，上单调递减．（Ⅱ）证明：若选①，由（Ⅰ）知，在上单调递增，，单调递减，，上单调递增．注意到．在上有一个零点；，由得，，，当时，，此时无零点．综上：在上仅有一个零点．另解：当，时，有，，而，于是，所以在没有零点，当时，，于是，所以在，上存在一个零点，命题得证．若选②，则由（Ⅰ）知：在，上单调递增，在，上单调递减，在上单调递增．，，，，，当时，，此时无零点．当时，单调递增，注意到，取，，，又易证，，在上有唯一零点，即在上有唯一零点．综上：在上有唯一零点．11．（2021•浙江）设，为实数，且，函数．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若对任意，函数有两个不同的零点，求的取值范围；（Ⅲ）当时，证明：对任意，函数有两个不同的零点，，满足．（注是自然对数的底数）【解析】（Ⅰ），①当时，由于，则，故，此时在上单调递增；②当时，令，解得，令，解得，此时在单调递减，在单调递增；综上，当时，的单调递增区间为；当时，的单调递减区间为，单调递增区间为；（Ⅱ）注意到时，，当时，，由（Ⅰ）知，要使函数有两个不同的零点，只需即可，对任意均成立，令，则，即，即，即，对任意均成立，记，则，令（b），得，①当，即时，易知（b）在，单调递增，在单调递减，此时（b），不合题意；②当，即时，易知（b）在，单调递减，此时，故只需，即，则，即；综上，实数的取值范围为，；（Ⅲ）证明：当时，，，令，解得，易知，有两个零点，不妨设为，，且，由，可得，要证，只需证，只需证，而，则，要证，只需证，只需证，而，，即得证．12．（2021•新高考Ⅰ）已知函数．（1）讨论的单调性；（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：．【解析】（1）解：由函数的解析式可得，，，单调递增，，，单调递减，则在单调递增，在单调递减．（2）证明：由，得，即，由（1）在单调递增，在单调递减，所以（1），且（e），令，，则，为的两根，其中．不妨令，，则，先证，即证，即证，令，则在单调递减，所以（1），故函数在单调递增，（1）．，，得证．同理，要证，（法一）即证，根据（1）中单调性，即证，令，，则，令，，，单调递增，，，，单调递减，又时，，且（e），故，（1）（1），恒成立，得证，（法二），，又，故，，故，，令，，，在上，，单调递增，所以（e），即，所以，得证，则．13．（2020•海南）已知函数．（1）当时，求曲线在点，（1）处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若，求的取值范围．【解析】（1）当时，，，（1），（1），曲线在点，（1）处的切线方程为，当时，，当时，，曲线在点，（1）处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积．（2）方法一：由，可得，即，即，令，则，在上单调递增，，即，令，，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，（1），，，故的范围为，．方法二：由可得，，，即，设，恒成立，在单调递增，，，即，再设，，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，（1），，即，则，此时只需要证，即证，当时，恒成立，当时，，此时不成立，综上所述的取值范围为，．方法三：由题意可得，，，易知在上为增函数，①当时，（1），，存在使得，当时，，函数单调递减，（1），不满足题意，②当时，，，，令，，易知在上为增函数，（1），当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，（1），即，综上所述的取值范围为，．方法四：，，，，易知在上为增函数，在上为增函数，在0，上为减函数，与在0，上有交点，存在，使得，则，则，即，当时，，函数单调递减，当，时，，函数单调递增，设，易知函数在上单调递减，且（1），当，时，，，时，，设，，，恒成立，在，上单调递减，（1），当时，，，．方法五：等价于，该不等式恒成立．当时，有，其中．设（a），则（a），则（a）单调递增，且（1）．所以若成立，则必有．下面证明当时，成立．设，，在单调递减，在单调递增，，，即，把换成得到，，．，当时等号成立．综上，．14．（2019•浙江）已知实数，设函数，．（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；（Ⅱ）对任意，均有，求的取值范围．注：为自然对数的底数．【解析】（1）当时，，，，函数的单调递减区间为，单调递增区间为．（2）由（1），得，当时，，等价于，令，则，设，，则，当，时，，则，记，，则，列表讨论：，10单调递减极小值（1）单调递增（1），．当时，，令，，，则，故在，上单调递增，，由得（1），，，由知对任意，，，，，即对任意，，均有，综上所述，所求的的取值范围是，．考点四利用导数研究函数的极值15．【多选】（2023•新高考Ⅱ）若函数既有极大值也有极小值，则 A． B． C． D．【解析】函数定义域为，且，由题意，方程即有两个正根，设为，，则有，，△，，，，即．故选：．16．【多选】（2022•新高考Ⅰ）已知函数，则 A．有两个极值点 B．有三个零点 C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线【解析】，令，解得或，令，解得，在上单调递增，在上单调递减，且，有两个极值点，有且仅有一个零点，故选项正确，选项错误；又，则关于点对称，故选项正确；假设是曲线的切线，设切点为，则，解得或，显然和均不在曲线上，故选项错误．故选：．17．（2023•新高考Ⅱ）（1）证明：当时，；（2）已知函数，若为的极大值点，求的取值范围．【解析】（1）证明：设，，则，，在上单调递减，，在上单调递减，，即，，，，设，，则，在上单调递增，，，即，，，，综合可得：当时，；（2）解：，，且，，①若，即时，易知存在，使得时，，在上单调递增，，在上单调递增，这显然与为函数的极大值点相矛盾，故舍去；②若，即或时，存在，使得，时，，在，上单调递减，又，当时，，单调递增；当时，，单调递减，满足为的极大值点，符合题意；③若，即时，为偶函数，只考虑的情况，此时，时，，在上单调递增，与显然与为函数的极大值点相矛盾，故舍去．综合可得：的取值范围为，，．考点五利用导数研究函数的最值1