泰和中学2024届高三暑期质量检测数学试卷一、单选题（共40分）1.已知集合，，，则（）A. B. C. D.2.已知事件A，B满足，，，则的值是（）A.0.7 B.0.42 C.0.5 D.0.63.设等比数列的前n项和为，且，则（）A. B. C. D.4.已知定义在上的函数满足，且当时，，则（）A.2 B.0 C.1 D.-15.已知，则的解析式为（）A. B.C. D.6.指数函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（）A. B.C. D.7.若直线与曲线相切，则实数k的取值范围是（）A. B. C. D.8.已知，对任意非零实数，存在唯一的非零实数，使得成立，则实数k的取值范围是（）A. B. C. D.或二、多选题（共20分）9.下列求导运算正确的是（）A. B.C. D.10.已知函数关于函数的结论正确的是A.的定义域为R B.的值域为C.若，则x的值是 D.的解集为11.下列说法中，正确的有（）A.已知，则数列是递减数列B.数列的通项，若为单调递增数列，则C.已知正项等比数列，则有D.已知等差数列的前n项和为，，，则12.已知a，b为正实数，且，则（）A.的最大值为8 B.的最小值为8C.的最小值为 D.的最小值为三、填空题（共20分）13.已知随机变量X服从两点分布，且，，那么_______________.14.函数的最小值为_______________.15.已知，将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则_______________.16.已知函数，函数，若函数恰有三个零点，则a的取值范围是_______________.四、解答题（共70分）17.某骑行爱好者近段时间在专业人士指导下对骑行情况进行了统计，各次骑行期间的身体综合指标评分x与对应用时y（单位：小时）如下表：身体综合指标评分（x）12345用时（y/小时）9.58.67.876.1（1）由上表数据看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明；（2）建立y关于x的回归方程.参考数据和参考公式：相关系数，，，18.已知等差数列的前n项和为，且，.（1）求的通项公式；（2）试求出所有的正整数m，使得对任意正整数n，均有.19.已知函数.（1）当时，求函数的极值；（2）若函数在区间上单调递增，求实数a的取值范围.20.记为数列的前n项和，已知，.（1）求，并证明是等差数列；（2）求.21.2023年2月2日，第27个世界湿地日中国主场宣传活动在杭州西溪国家湿地公园举行，2023年世界湿地日将主题定为“湿地修复”.某校为增强学生保护生态环境的意识，举行了以“要像保护眼睛一样保护自然和生态环境”为主题的知识竞赛，比赛分为三轮，每轮先朗诵一段爱护环境知识，再答3道试题，每答错一道题，用时额外加20秒，最终规定用时最少者获胜，已知甲、乙两人参加比赛，甲每道试题答对的概率均为，乙每道试题答对的概率均为，甲每轮朗诵的时间均比乙少10秒，假设甲、乙两人答题用时相同，且每道试题是谁答对互不影响.（1）若甲、乙两人在第一轮和第二轮答对的试题的总数量相同，求乙最终获胜的概率；（2）请用统计学的知识解释甲和乙谁获胜的可能性更大.22.已知函数.（1）若，求a的取值范围；（2）证明：若有两个零点，，则.高三暑期质量检测数学参考答案1.C 2.D 3.C 4.D 5.C 6.B 7.A 8.D9.ABD 10.BC 11.ABD 12.ABC13. 14.1 15. 16.17.解（1），，，，.相关系数近似为-1，y与x负相关，且相关程度相当高，从而可用线性回归模型拟合y与x的关系；（2）由（1）中数据，得，，y关于x的回归方程为.18.解（1）设的公差为，则，解得，故.（2）由（1）可知，.当时，取得最小值.由恒成立，得，解得.因为，所以或10或11.19.解（1）函数的定义域为，当时，，求导得，整理得：.令可得，或（舍去）当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，所以当时，函数取极小值，极小值为，函数无极大值；（2）由已知时，恒成立，所以恒成立，即恒成立，则.令函数，由知在单调递增，从而.经检验知，当时，函数不是常函数，所以a的取值范围是.20.解（1）已知当时，，；当时，，，所以.因为①，所以②.得，，整理得，，所以（常数），，所以是首项为6，公差为4的等差数列.（2）由（1）知，，，.当n为偶数时，；当n为奇数时，.综上所述，21.解（1）因为甲、乙两人在第一轮和第二轮答对的试题的总数量相同，且甲每轮朗诵的时间均比乙少10秒，所以第三轮答题中乙要比甲多答对2道题及以上才能获胜.若乙答对2道试题，甲答对0道试题，则，若乙答对3道试题，甲答对0道试题，则，若乙答对3道试题，甲答对1道试题，则，所以乙获胜的概率.（2）由题意设甲在比赛中答错的题的数量为X，乙在比赛中答错的题的数量为Y，则，，则，，则甲因答错试题额外增加的时间的期望值为秒，乙因答错试题额外增加的时间的期望值为秒.因为三轮中，甲朗诵的时间比乙少30秒，所以最后甲所用的时间的期望比乙少18秒，所以甲获胜的可能性更大.22.解（1）的定义域为，则令，得当，，单调递减当，，单调递增所以，若，则，即，所以a的取值范围为（2）由题知一个零点小于1，一个零点大于1，不妨设要证，即证因为，即证又因为，故只需证即证，即证下面证明时，，设，，则设，所以，而所以，所以所以在单调递增即，所以令，，则所以在单调递减即，所以；综上，，所以.